Лекция №5 по дисциплине: Сопротивление материалов

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ЛЕКЦИЯ №5

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

Сопротивление материалов

Раздел 8. Сложное сопротивление

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

В разделе 6 были получены расчётные формулы по оценке напряжённо-деформированного состояния типовых элементов строительных конструкций при прямом плоском изгибе, когда плоскость действия изгибающего момента совпадает с одной из главных плоскостей бруса. Если же указанные плоскости не совпадают, то изгиб будет косым и для оценки напряжённо-деформированного состояния в этом случае требуются другие расчётные формулы, получению которых и будет посвящена данная лекция.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

8.1. Сложное сопротивление. Косой изгиб. Расчет напряжений. Условие прочности. Определение перемещений. Расчет на жесткость.

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость изгибающего момента (силовая линия) не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения бруса, и моменты инерции относительно главных осей не равны между собой (рис.8.1, а, б).

Рис.8.1.

Особенности косого изгиба рассмотрим на примере. Пусть консольная балка нагружена силой Р, приложенной к центру тяжести торца перпендикулярно продольной оси балки и под углом φ к вертикальной оси, являющейся главной центральной осью поперечного сечения балки. Направление осей х и у выбираем таким образом, чтобы сила Р располагалась в I квадранте системы координат (рис.8.1,а).

Разложим силу Р на Рх=Р·sinφ и Ру=Р·cosφ, которые будут изгибать балку в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно. Таким образом, косой изгиб сводится к комбинации двух плоских прямых изгибов.

Определим нормальные напряжения в т. А(х, у, z).Изгибающие моменты в горизонтальной и вертикальной плоскостях в текущем сечении равны:

. (8.1)

Тогда на основании формулы Навье можно записать:

. (8.2)

Подставив (8.1) в (8.2), получаем формулу для определения нормальных напряжений при косом изгибе:

. (8.3)

Знак «минус» в формуле (8.3) означает, что в I квадранте, где расположена сила Р, имеют место напряжения сжатия. Из формулы (8.3) следует, что нормальные напряжения σ в поперечном сечении балки при косом изгибе распределяются, как и при прямом изгибе, по закону плоскости.

8.1.2 Уравнение нейтральной линии. Условие прочности

Для определения максимальных нормальных напряжений σmax необходимо прежде всего найти опасное сечение – сечение, в котором М=Мmax (по эпюре изгибающих моментов). Затем в опасном сечении находятся опасные точки – точки наиболее удаленные от нейтральной линии (НЛ).

Нейтральная линия (ось) – линия, относительно которой происходит суммарный поворот сечения.

Уравнение нейтральной линии в поперечном сечении балки определяется условием σ=0. Таким образом из формулы (8.3) получаем уравнение НЛ в следующем виде:

. (8.4)

Нейтральная линия при косом изгибе является линией первого порядка, проходящей через начало координат.

Из уравнения (8.4) имеем (рис.8.1,б)

. (8.5)

Из (8.5) следует, что:

-  угол наклона НЛ α отличается от угла φ тем больше, чем больше разница между моментами инерции Áх и Áу;

-  если Áх=Áу, то tga=-tgj и НЛ перпендикулярна силовой линии (СЛ), т. е. имеет место плоской прямой изгиб. Во всех остальных случаях НЛ не перпендикулярна СЛ и возникает косой изгиб.

Проведя касательные к поперечному сечению параллельно нейтральной линии, определим опасные точки 1 и 2 (рис.8.1,б), условия прочности для которых будут иметь вид:

. (8.6)

Если материал балки одинаково работает на растяжение и сжатие, то условие прочности имеет вид:

. (8.7)

8.1.3. Прогибы при косом изгибе

Изогнутая ось балки при косом изгибе представляет собой плоскую кривую. Плоскость, в которой она расположена проходит через ось z и составляет с осью у угол b.

Величину угла b можно определить, рассмотрев соотношение между прогибами fx и fу в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно (рис.8.2).

Рис.8.2.

Прогиб конца консоли от действия Рх направлен по оси х и равен:

. (8.8)

Прогиб конца консоли от действия Ру направлен по оси у и равен:

. (8.8I)

Модуль полного прогиба конца консоли:

. (8.9)

Угол наклона вектора f к оси у с учетом (8.7) и (8.8) будет равен:

.

Следовательно, плоскость изогнутой оси балки перпендикулярна нейтральной линии.

Чем больше отношение Áх/Áу, тем больше разница между j и a. Например, отклонение силовой линии в 50 вызывает при Áх/Áу=11 отклонение плоскости изгиба на b=440. При таком отклонении возникают боковые прогибы, на которые конструкция не рассчитана. Подобное изменение направления силы возможно при неправильной сборке конструкции, когда в результате перекоса деталей изменяется положение главных центральных осей инерции балки.

8.2. Внецентренное растяжение-сжатие. Вычисление напряжений. Условие прочности. Ядро сечения.

8.2.1. Определение нормальных напряжений

при внецентренном растяжении (сжатии)

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной.

Точку приложения равнодействующей продольных сил в поперечном сечении называют полюсом. Координаты полюса обозначим через хр и ур. Оси х и у расположим так, чтобы сила Р находилась в I квадранте (рис.8.3,а).

Внецентренно приложенная сила Р создает моменты относительно главных осей сечения х и у. Эту силу Р можно перенести в центр тяжести сечения точку С с добавлением моментов (рис.8.3,б)

; . (8.10)

Рис.8.3.

Нормальные напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) можно рассматривать как сумму напряжений, вызванных растягивающей (сжимающей) силой Р и двумя изгибающими Мх и Му моментами:

. (8.11)

Подставив выражения (8.10) в формулу (8.11) получим:

. (8.8)

Пространственная эпюра нормальных напряжений s =s(х, у) представляет собой плоскость. Если сила Р является сжимающей, то в формулу (8.8) ее следует подставлять со знаком «минус».

8.2.2. Уравнение нейтральной линии. Условие прочности

Нейтральная линия соответствует условию s = 0. Таким образом, из формулы (8.13) получаем:

(8.13)

или после умножения обеих частей уравнения на F и введения величин (радиусы инерции относительно осей х и у соответственно)

, (8.14)

т. е. нейтральная линия является прямой, не проходящей через начало координат, и ее удобно строить, определив отрезки, которые она отсекает на осях х и у

, . (8.15)

Опасными точками сечения являются точки А и В, как наиболее удаленные от нейтральной линии.

Условия прочности для этих точек, в случае, если материал неодинаково работает на растяжение и сжатие, имеют вид:

. (8.16)

Для стержня, материал которого одинаково работает на растяжение и сжатие, условие прочности имеет вид:

. (8.17)

8.2.3. Ядро сечения

При проектировании конструкций из материалов, плохо работающих на растяжение, основное требование – отсутствие растягивающих напряжений. Решение задачи в этом случае опирается на свойство ядра сечения.

Ядром сечения называют часть плоскости поперечного сечения, расположенную в окрестности центра тяжести, удовлетворяющую условию: если центр давления (полюс) располагается внутри или на границе ядра сечения, то в любой точке поперечного сечения с текущими координатами (х, у) возникают напряжения одного знака.

Чтобы в поперечном сечении возникли напряжения одного знака, нейтральная линия должна располагаться либо вне поперечного сечения, либо быть касательной к поперечному сечению, что используется при определении границ ядра сечения.

8.3. Совместное действие изгиба и кручения. Расчет на прочность

Совместное действие изгиба и кручения является наиболее характерным случаем нагружения валов. В этом напряженном состоянии имеют место пять внутренних силовых факторов (усилий):

.

При расчете сначала строят эпюры изгибающих моментов Мх и Му, суммарного (результирующего) изгибающего момента Мс, а также крутящих моментов Мк и устанавливают опасное сечение. Результирующий изгибающий момент (рис.8.1,а) определяют по формуле:

.

По известным Мс и Мк в опасном сечении определяют максимальные нормальные и касательные напряжения в опасных точках сечения.

При одновременном действии в сечении вала суммарного изгибающего момента Мс и крутящего момента Мк (рис.8.4,а) можно указать на две точки, где нормальные s и касательные t напряжения имеют максимальные значения (рис.8.4,б).

Рис.8.4.

Используем формулы для расчета максимальных нормальных и касательных напряжений для валов:

; . (8.18)

Для круглых валов имеет место равенство:

; , (8.19)

Следовательно, формулы (8.18) можно представить так:

; . (8.20)

Напряженные состояния вала в точках А и В (рис.8.4,б) плоские. Поэтому, полагая ; , на основании формул (3.29) получаем выражения для главных напряжений s1 и s3:

. (8.21)

Третье главное напряжение в точках А и В равно нулю:

.

С учетом формул (8.20) формула (8.21) принимает вид:

, . (8.22)

Определим теперь эквивалентное (расчетное) напряжение по критерию наибольших касательных напряжений. Для этого воспользуемся формулой

.

Подставив сюда полученные значения главных напряжений (8.5), получим:

. (8.23)

Таким образом, влияние крутящего момента на прочность вала можно учесть, если рассчитывать вал на изгиб, но принимать вместо изгибающего момента Мс приведенный момент:

. (8.24)

С учетом (8.7) формула (8.6) принимает вид:

. (8.25)

Определим эквивалентное напряжение по энергетическому критерию, воспользовавшись формулой:

.

Подставив сюда значения главных напряжений (8.5), получим:

, (8.26)

где

. (8.27)

Валы авиационных двигателей обычно рассчитывают по критерию максимальных касательных напряжений или по энергетическому критерию .

Разобрать типовые примеры.

Пример №1

Исходные данные:

Показываем действующие силы и моменты: 0 H; 914,4 H; H; Tвх=312,625 Нм, nвх =242,3 об/мин; FБ =943,7H; .

Cоставляем расчетную схему вала, задаваясь расстоянием между опорами и червяком.

2a1=daм2-20…40=865-20…40=845…825 мм →840 мм; a1=420 мм

l1=(1,5…2)dв1=(1,5…2)42=63…84 мм;

l1/ =1,5=1,5∙34=51 мм; dп=60 мм.

Принимаем подшипник 7312А; Тнаиб=34 мм.

b= Тмах +l1/ +l1/2=34+51+80/2=125 мм.

а) Определяем реакции опор в вертикальной плоскости ZOY от сил Fa, Fr,

F.

;

;

YА+ YВ-Fr - FБ=0; 1811,5+3336,96-4204,4-943,7=0; 0=0.

б) Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости ХOY от сил Ft1.

в) Определяем размер изгибающих моментов в характерных сечениях точках А, В, С в плоскости УОZ.

MD=0; MA =-FBb=-943,7∙0,125=-117,96 Нм.

MС лев=-FB(b +a1)+ YАa1 =-943,7∙(0,125+0,42)+1811,15∙0,42=246,748 Нм.

MС прав=YB∙a1=3336,96∙0,42=1405,52 Нм.

г) Определяем размер изгибающих моментов в характерных сечениях точках А, В, С в плоскости XОZ.

MA =MВ=0;

MС=XAa1=1563,125∙0,42=656,5125 Нм.

г) Расчет на прочность червяка

Н

МПа.

МПа.

МПа.

По III теории прочности вычисляем эквивалентное напряжение и сравниваем его с допускаемым:

, где

Проверка червяка на жесткость

Н.

Допустимый прогиб вала червяка м.

, что значительно меньше

.

Пример №2

Cоставляем расчетную схему вала, снимая расстояние между опорами и шестерней косозубой передачи: dв1=34 мм, d1=53,55 мм; мм; a==42 мм; b=мм.

Предварительно назначаем среднюю узкую серию подшипников мм, № 000 [8], для него dп = 45 мм; B=25 мм; D=100 мм, Сr=61,4 кН, Сr0=37 кН.

мм;

мм;

мм.

Показываем действующие силы и моменты: 1226,4 H; 2280 H; 6140 H; 1572,9 H – сила действующая на вал; T1=164,4 Нм, n=970,26 об/мин.

а) Определяем реакции опор в вертикальной плоскости ZOY от сил Fа1; Fr1 и FВ:

направление реакции противоположное, выбранному.

Проверка: УА - УВ -- FВ=0;

б) Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости ХOY от сил Ft1.

Проверка: - XА - XВ +=0; 4026,2-218,77+6140=0.

в) Определяем размер изгибающих моментов в характерных сечениях в точках D, А, В и С в плоскости УОZ.

MD=0; MВ=0;

MA лев=-FB b1 =-1572,9∙0,104=-163,58 Нм.

MС лев=-FB (b1+a1)+ УА ∙a1 =-1572,9∙(0,104+0,042)+4670∙0,042=-33,5 Нм.

MС прав=-YB b =-817,27∙0,08=-65,38 Нм.

в) Определяем размер изгибающих моментов в характерных сечениях в точках А, В,С в плоскости XОZ.

MA=0; MВ=0; MD=0.

MC лев=-XAa=-4026,2∙0,042=-169 Нм.

MC прав=-XВb=-218,77∙0,08=-169 Нм.

г) Расчет вала на статическую прочность.

Выбираем для вала Сталь 45 с характеристиками прочности: σВ =580 МПа; σТ =320 МПа; σ-1 =250 МПа; t-1 =150 МПа [1], МПа.

Опасным (наиболее напряженным) сечением является сечение С. Шестерня сделана заодно с валом.

Условие статической прочности вала:

Допускаемое напряжение [σ]Т = , где sT =1,3 ….2 – коэффициент запаса прочности. Принимаем sT =1,8; [σ]Т = =178 МПа.

Определяем моменты сопротивления сечения вала.

Осевой момент сопротивления:

.

.

Статическая прочность вала обеспечена.

д) расчет вала на сопротивление усталости.

Опасным является сечение С, так как в этом сечении расположена шестерня, концентратором напряжения являются впадины зубьев, их можно рассматривать совместно с зубьями как шлицевое соединение.

Условие прочности выполняется, если коэффициент запаса прочности не меньше рекомендуемого для валов [s]=1,5…2.5.

.

МПа.

- по табл. 3 [1]

- по табл. 4 [1] для диаметра вала d=40 мм.

.

.

Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:

.

.

Запас прочности не обеспечен на 10%, можно выбрать другую сталь с σВ =600-700 МПа.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

В заключении ещё раз следует напомнить, что:

-косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость изгибающего момента (силовая линия) не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения бруса, и моменты инерции относительно главных осей не равны между собой;

-косой изгиб сводится к комбинации двух плоских прямых изгибов;

-нормальные напряжения σ в поперечном сечении балки при косом изгибе распределяются, как и при прямом изгибе, по закону плоскости;

-для определения максимальных нормальных напряжений σmax необходимо прежде всего найти опасное сечение – сечение, в котором М=Мmax (по эпюре изгибающих моментов). Затем в опасном сечении находятся опасные точки – точки наиболее удаленные от нейтральной линии (НЛ);

-нейтральная линия (ось) – линия, относительно которой происходит суммарный поворот сечения;

-нейтральная линия при косом изгибе является линией первого порядка, проходящей через начало координат;

-угол наклона НЛ α отличается от угла φ тем больше, чем больше разница между моментами инерции Áх и Áу;

-если Áх=Áу, то tga=-tgj и НЛ перпендикулярна силовой линии (СЛ), т. е. имеет место плоской прямой изгиб. Во всех остальных случаях НЛ не перпендикулярна СЛ и возникает косой изгиб.

-условия прочности имеют вид:

-модуль полного прогиба конца консоли:

-угол наклона вектора f к оси у с учетом (8.7) и (8.8) будет равен:

.

Следовательно, плоскость изогнутой оси балки перпендикулярна нейтральной линии;

-внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной;

-нормальные напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) можно рассматривать как сумму напряжений, вызванных растягивающей (сжимающей) силой Р и двумя изгибающими Мх и Му моментами;

-нейтральная линия является прямой, не проходящей через начало координат, и ее удобно строить, определив отрезки, которые она отсекает на осях х и у

, ;

-условия прочности имеют вид:

-при проектировании конструкций из материалов, плохо работающих на растяжение, основное требование – отсутствие растягивающих напряжений. Решение задачи в этом случае опирается на свойство ядра сечения;

-ядром сечения называют часть плоскости поперечного сечения, расположенную в окрестности центра тяжести, удовлетворяющую условию: если центр давления (полюс) располагается внутри или на границе ядра сечения, то в любой точке поперечного сечения с текущими координатами (х, у) возникают напряжения одного знака;

-чтобы в поперечном сечении возникли напряжения одного знака, нейтральная линия должна располагаться либо вне поперечного сечения, либо быть касательной к поперечному сечению, что используется при определении границ ядра сечения.

Методическую разработку составил доцент

кафедры ПМ, к. т.н., доцент

___________________С. Полищук