Учебный аэрокосмический центр
«Буран»
особенности орбиты космического аппарата «кассини»
выполнил Каменских Владимир,
11 класс гимназии №1 им. ,
руководитель , к. ф.-м. наук
Ульяновск
2003
Цель работы
Рассмотрение следующих особенностей орбиты космического аппарата (КА) «Кассини», предназначенного для исследования Сатурна (Рис. 1):
- почему он был направлен в сторону, противоположную цели (к Венере);
- почему его орбита – спираль, а не гомановский эллипс, движение по которому теоретически считается наиболее экономичным.
Этапы выполнения работы
1. Вычисление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну и Венере по гомановским эллипсам.
2. Рассмотрение механики пертурбационного маневра (ПМ).
3. Сопоставление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну по гомановскому эллипсу и по спиральной орбите «Кассини».
Результат работы
Получено, что для достижения Сатурна по спиральной орбите «Кассини» скорость выхода из сферы действия Земли примерно в 4 раза меньше, чем при запуске непосредственно к Сатурну по гомановскому эллипсу. Соответственно, ниже затраты энергии и больше объем полученной информации о телах Солнечной системы.
Дальнейшие исследования
Расчет скоростей КА «Кассини» при пертурбационных маневрах в полях тяготения Венеры, Земли и Юпитера.
Рисунок 1
1. Вычисление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну и Венере по гомановским эллипсам
Эллипс Гомана – траектория перелета с минимальной характеристической скоростью между двумя планетами, имеющими компланарные круговые орбиты и движущимися в поле тяготения центрального тела массой M (Солнца). В перигелии и афелии гомановский эллипс касается круговых орбит. Угловая дальность полета равна 1800.
Большая полуось a гомановского эллипса при запуске с Земли определяется формулой:
a = ( rЗемли + rпланеты ) / 2,
где, rЗемли ‑ радиус орбиты Земли, rпланеты – радиус орбиты планеты назначения.
Скорость Vвых, необходимая космическому аппарату на выходе из сферы действия Земли для перехода на гомановский эллипс, равна:
Vвых = VКА ‑ VЗемли,
где VКА и VЗемли – скорости относительно Солнца в точке касания орбит КА и Земли.
Из решения уравнений задачи гравитационного взаимодействия двух тел Ньютон нашел соотношение для вычисления скорости движения VКА тела массой m в поле тяготения тела массой M в любой точке эллиптической орбиты:
V2КА = G(MСолнца + mКА)×(2/r – 1/a),
где MСолнца – масса тела, создающего поле тяготения, mКА ‑ масса космического аппарата, r – радиус–вектор, a ‑ большая полуось эллипса.
Так как масса космического аппарата очень мала по сравнению с массой Солнца, ею можно пренебречь.
Для полета по гомановскому эллипсу с Земли к Сатурну требуется скорость VКА относительно Солнца, вычисляемая по формуле:
V2КА = GMСолнца (2/rКА – 1/aКА),
где r = 1 а. е., т. к. запуск производится Земли,
a = (rафелия + rперигелия)/2 = (rЗемли + rСатурна)/2 = (1а. е. + 9,55а. е.)/2 = 5,27 а. е.
Для упрощения вычислений применим искусственный прием: найдем отношение квадратов скоростей космического аппарата и Земли. Из данного отношения, зная скорость Земли относительно Солнца (30 км/с) и то, что rЗемли = aЗемли = 1 а. е., можно найти скорость космического аппарата:
Вычислим скорость космического аппарата:
VКА = 1,35 VЗемли = 1,35 × 30 км/с = 40,5 км/с.
Значит, для полета к Сатурну космический аппарат на выходе из сферы действия Земли должен иметь скорость 40,5 км/с относительно Солнца.
Скорость выхода из сферы действия Земли должна равняться:
Vвых = VКА ‑ VЗемли = 40,5 км/с – 30 км/с = 10,5 км/с.
Эта скорость должна быть направлена в сторону движения Земли по орбите. В точке запуска КА будет находиться в афелии своей орбиты.
Для полета к Венере по гомановскому эллипсу требуемую скорость VКА относительно Солнца можно рассчитать по формуле:
V2КА = GMСолнца(2/rКА ─ 1/aКА),
где rКА = 1 а. е.,
aКА = (rафелия + rперигелия)/2 = (rВенера + rЗемли)/2 = (0,72 а. е. + 1 а. е.)/2 = 0,86 а. е.
Применив искусственный прием, получим:
Откуда можно найти скорость космического аппарата:
VКА = 0,92VЗемли = 0,92 × 30 км/с = 27,6 км/с.
Для полета к Венере по гомановскому эллипсу космический аппарат должен иметь скорость 27,6 км/с относительно Солнца, т. е. меньшую, чем скорость Земли относительно Солнца. Поэтому запуск необходимо производить в сторону, противоположную направлению движения Земли по орбите.
Vвых = VКА ‑ VЗемли = 27,6 км/с – 30 км/с = ‑2,4 км/с.
Итак,
2. Рассмотрение механики пертурбационного маневра (ПМ)
Еще одной важной особенностью КА «Кассини» является реализация четырех пертурбационных маневров, позволивших развить скорость, достаточную для достижения Сатурна. Идею ПМ предложил в 1916 году. ПМ неоднократно применялись при запусках КА к телам Солнечной системы.
Суть ПМ состоит в том, что при попадании КА в поле тяготения планеты изменяются направление и величина скорости КА относительно Солнца. КА входит в сферу действия планеты с ΔVвхода, равной геометрической разности VКА относительно Солнца и Vпланеты относительно Солнца, при этом ΔVвхода должна быть гиперболической относительно планеты. ΔVвыхода из сферы действия будет равна ΔVвхода по модулю, но повернута на угол 2γ, определяемый формулой:
,
где ρmin – минимальное расстояние КА от центра притяжения планеты, Мпланеты – масса планеты, G – гравитационная постоянная. Поворот вектора происходит на угол 2γ, т. е. угол поворота зависит от ΔVвхода и минимального расстояния орбиты КА от планеты. Для вычисления результирующей скорости 
относительно Солнца нужно получить геометрическую сумму ΔVвыхода из сферы действия планеты и Vпланеты относительно Солнца. Полученная скорость будет больше скорости 
относительно Солнца до входа в сферу действия планеты (Рис. 2).
Таким образом, КА без затраты энергии, используя поле тяготения планеты, получает дополнительную скорость относительно Солнца.
Возможен и ПМ и с торможением КА.
Сопоставление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну по гомановскому эллипсу и по спиральной орбите «Кассини»
Наши расчеты показывают, что энергетически гораздо выгоднее послать КА не непосредственно к Сатурну, а направить его в противоположную сторону к планете Венере. При этом скорость выхода из сферы действия Земли уменьшается примерно в 4 раза. Запуск к Венере производится по эллиптической (более вытянутой, чем гомановская) орбите. Это обеспечивает вход в ее сферу действия с гиперболической скоростью относительно планеты. После этого КА выходит по орбите, пересекающей орбиту Земли. Пертурбационные маневры при втором приближении к Венере, и затем в поле тяготения Земли позволяют КА направиться к Юпитеру, отстоящему в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля. ПМ в сфере действия Юпитера направляет КА «Кассини» к Сатурну и через 6,75 лет после старта, 1 июля 2004 года «Кассини» достигнет Сатурна.
Литература
1 Космонавтика, энциклопедия, М., «Советская энциклопедия», 1985
2 Сайт http://www. nasa. gov/
