Образцы выполнения практических заданий

ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

Задание 1. Дана матрица Найти матрицу

Решение. Определим матрицу С2:

Транспонируем матрицу С:

и найдём произведение 2СТ:

Определим С–1 по формуле:

Вычислим определитель матрицы С:

Следовательно, С–1 существует. Определим алгебраические дополнения элементов матрицы С и присоединённую матрицу С*:

тогда и обратная матрица С–1:

Проверим правильность нахождения С–1. Для этого перемножим полученную матрицу на данную матрицу С слева и справа и убедимся, что получается единичная матрица:

Матрица С–1 определена правильно.

Найдем произведение матрицы С–1 на 3:

Окончательно получим:

Задание 2. Дана система уравнений

Найти решение системы.

Решение.

Найдём определитель системы:

Так как система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

(5)

где ∆i — определитель, полученный из определителя системы ∆ заменой
i-го столбца матрицы А столбцом свободных членов В.

Вычислим определители:

Итак,

Сделаем проверку, подставив найденные значения х1, х2, х3 в исходную систему, и убедимся, что все три уравнения данной системы обращаются в тождества:

Ответ: х1 = –1, х2 = –1, х3 =1.

Задание 3 Дана матрица Найти обратную матрицу.

Решение.

Найдём определитель матрицы:

следовательно, матрица имеет обратную А–1, которую найдём по формуле .

Для этого вычислим алгебраические дополнения:

Задание 4. Показать, что заданная система векторов образует базис в пространстве R3 и разложить вектор по базису

Решение. Согласно теореме (критерий базиса в Rn), система векторов образует базис, тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат векторов, отличен от нуля. Вычислим этот определитель:

Следовательно, система векторов образует базис в пространстве R3.

Разложение вектора по базису ищем в виде:

Это векторное равенство эквивалентно системе уравнений:

Поскольку определитель этой системы отличен от нуля, используем для её решения формулы Крамера:

Итак,

Сделаем проверку, подставив найденное решение в исходную систему:

Таким образом, разложение вектора по базису имеет вид:

Примеры нахождения базиса и размерности в сумме и пересечении подпространств.

1.  Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порождённых векторами .

Решение. Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства , порождённого векторами , равенство нулю линейной комбинации , эквивалентное системе уравнений , достигается лишь при условии . Следовательно, векторы линейно

57

независимы и размерность подпространства равна 2: . Для подпространства , порождённого векторами , проводя аналогичный анализ, получим .

Вычислим теперь размерность пересечения подпространств и . По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный вектор подпространства является линейной комбинацией базисных векторов : . Аналогично для подпространства имеем , тогда условие принадлежности пересечению есть или .

Это условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов . Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований:

Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдём его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим ,

откуда .

Полагая свободное неизвестное , для остальных имеем

58

. Итак, пересечение подпространств имеет один базисный вектор

.

Размерность пересечения . Следовательно, в соответствии с равенством

размерность суммы подпространств . В качестве базиса суммы подпространств можно взять, например, векторы , дополненные вектором . В линейной независимости векторов убедиться нетрудно.

Пример построения ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

В евклидовом пространстве построить ортонормированный базис по данному

Решение. Проведём вначале ортогонализацию, т. е. построим ортогональный базис . Проверим прежде всего, нет ли среди векторов ортогональных. Вычислим :

.

Откуда следует, что векторы и ортогональны. Они сразу входят в состав ортогонального базиса .

Далее определим , пользуясь процедурой ортогонализации. Ищем в виде .

Из условий ортогональности имеем

.

63

Таким образом

Теперь отнормируем базис , т. е. переведём его в ортонормированный базис , получим

2.  Дополнить до ортогонального базиса пространства систему векторов

Решение. Вначале ортогонализируем . Положим . Исходя из условия ортогональности имеем .

Построим . Пусть . По условиям ортогональности , откуда имеем

.

Общее решение полученной системы есть

ФСР строится стандартным способом и состоит из двух линейно независимых решений:

Вектор ортогонален векторам и, следовательно, входит в ортогональный базис. Вектор также ортогонален , но не ортогонален . Действительно

.

64

Проверим теперь, является ли система векторов линейно независимой. Для установления факта зависимости (независимости) этих векторов вычислим определитель, составленный из их координат (см. пример 1 подраздела «Линейная зависимость и независимость векторов»):

Неравенство нулю этого определителя означает, что однородная система уравнений для коэффициентов линейной комбинации рассматриваемых векторов имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, векторы линейно независимы и составляют базис в пространстве . Остаётся теперь ортогонализировать вектор . Следуя стандартной процедуре, ищем в виде

Таким образом окончательно в качестве ортогонального базиса в имеем .

Построение матрицы линейного оператора.

2.1. Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем ,,…,. Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

.

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор. Отобразим сумму векторов:

Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

.

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1=1, x2=0, а затем x1=0, x2=1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1). Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

.

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Собственные числа и собственные векторы

Пример. Найти все собственные числа и собственные векторы для линейного оператора с матрицей А:

.

Найдём характеристическое уравнение.

=.

. Число –6 делится без остатка на 1,2,3 и 6.Тогда p может принимать значения 1,2,3, 6. q = +1 или –1. Поэтому среди рациональных чисел корни могут быть только +1,-1,+2,-2,+3, -3, 6,-6. Находим 3 характеристических корня: 1,2 и 3. Далее, решаем однородную систему уравнений для каждого из трёх собственных чисел.

1) .

(ранг системы равен 2, рассматриваем 1-е и 3-е уравнения). Первый и второй столбцы не образуют базисный минор, поэтому не может быть свободной переменной. Пусть свободной переменной будет , и далее, решая систему, получаем фундаментальную систему решений: вектор .

Проверка: умножаем матрицу оператора на этот вектор и видим, что он действительно является собственным и соответствует :

.

2) .

Здесь фундаментальная система решений – вектор .

Проверка:

3) .

здесь фундаментальной системой решений будет .

Билинейные и квадратичные формы.

Определение. Билинейной формой на пространстве называется отображение , сопоставляющее каждой паре векторов число, причём:

.

Всякую билинейную форму можно задать с помощью матрицы:

То есть, .

Замечание. Обычное скалярное произведение также является билинейной формой и соответствует единичной матрице .

Если положить для билинейной формы, то полученное отображение называется квадратичной формой на пространстве . Квадратичная форма имеет вид . Поскольку , то на значение квадратичной формы влияют только суммы вида , а не каждое слагаемое в отдельности. Отсюда очевидно, что квадратичную форму всегда можно задать с помощью симметрической матрицы.

Если квадратичная форма имеет вид , то она называется квадратичной формой в каноническом виде.

Теорема. Любую квадратичную форму в можно привести к каноническому виду с помощью перехода к новому базису.

Доказательство. Для симметрического оператора всегда существует n собственных чисел, и, соответственно, n собственных векторов. Отсюда следует, что в новом базисе, составленном из этих собственных векторов, матрица оператора будет диагональной. Такое свойство базиса, состоящего из собственных векторов симметрического оператора, позволяет применять симметрические операторы к преобразованию квадратичных форм. Ведь всякая квадратичная форма задаётся симметрической матрицей, значит, её матрица может быть преобразована к диагональному виду. Это означает, что в новом базисе квадратичная форма не будет содержать произведений различных переменных, а будет состоять только из вторых степеней переменных.

Алгоритм приведения квадратичной формы к главным осям:

1)  Построить матрицу квадратичной формы.

2)  Найти собственные числа и векторы, записать квадратичную форму (коэффициентами при квадратах новых переменных будут найденные собственные числа).

3)  Нормировать собственные векторы и записать матрицу перехода от старого базиса к новому (а именно, состоящему из найденных векторов).

Пример 1. привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка.

.

Построим матрицу этой квадратичной формы:

Найдём собственные числа и векторы: . Простому корню 0 соответствует собственный вектор , кратному корню 3 соответствуют два собственных вектора: , . Запишем матрицу перехода, предварительно поделив каждый вектор на его модуль.

,

а квадратичная форма имеет вид: .