Задания для практических занятий и текущего контроля

Задания для практических занятий и текущего контроля

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

1. Найти , , , если , .

2. Решить СЛАУ a) методом Крамера, b) методом обратной матрицы.

3. Решить СЛАУ методом Гаусса.

Векторная алгебра

1. Построить вектор , .

2. Найти орт вектора .

3. Найти угол между векторами , .

4. Найти , если , .

5. При каких и векторы и коллинеарны?

6. При каком t векторы , ортогональны?

7. Определить работу силы , , которая, действуя на тело, вызывает его перемещение на под углом к направлению действия силы.

8. Под действием силы тело переместилось из начала вектора в его конец. Вычислить работу А силыи угол между направлением силы и перемещения.

9. Найти угол A треугольника ABC, где , , .

10. Найти площадь треугольника ABC, где , , .

11. Найти высоту параллелограмма, построенного на векторах , .

12. Сила приложена к точке . Вычислить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки .

13. Найти объём пирамиды ABCS, если , , , .

14. Найти высоту SH пирамиды ABCS, если , , , .

15. Лежат ли точки , , , в одной плоскости?

16. Проверить являются ли векторы , ,

компланарными.

17. При каком t векторы , , компланарны?

18. Найти направляющие косинусы вектора .

19. Найти , если , .

20. Найти высоту SH пирамиды ABCS, если , , , .

21. При каком t векторы ортогональны , ?

Аналитическая геометрия

1.  Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно

плоскости .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно

плоскости .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и

параллельно вектору .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку С (3, 4, -5) параллельно двум векторам и

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку К (-3,2,1) и ось .

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки (5,-1,3),

(-2,7,-1), (8,-2,-4).

7. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно

прямой , если .

9. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

перпендикулярно плоскости .

10. Найти угол между прямыми и .

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

и .

12. Проверить лежат ли точки на одной прямой.

13. При каком значении прямая параллельна оси ?

14. Найти угол между плоскостями и .

15. Привести к каноническому виду общее уравнение прямой

16. Найти точку пересечения прямой и плоскости , если

, .

17. Найти расстояние точки от прямой

18. В треугольнике с вершинами найти длину высоты,

проведённой из вершины .

19. При каком значении плоскость параллельна прямой

?

20. Найти угол между прямой и плоскостью .

21. При каком значении плоскости и

перпендикулярны?

23. Составить каноническое уравнение медианы треугольника с вершинами

, проведённой из вершины .

24. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно

прямой , если .

25. При каком значении плоскость параллельна прямой

?

26. Найти угол между прямой и плоскостью .

Теория пределов

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8.; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14.; 15. ;

16. ; 17. ; 18. .

19. Доказать, что функции и при являются

бесконечно малыми одного порядка малости.

20. Исследовать функцию на непрерывность в точках , .

21. 22. 23.

24. 25.

Дифференциальное исчисление

Найти производную функции:

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. .

13. Определить угловой коэффициент касательной к кривой в точке .

14. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

15. Закон движения материальной точки . Найти её скорость и ускорение в момент времени .

16. , 17. ,

18. , 19. ,

20. , . 21. ,

22. Показать, что функция при любых постоянных и удовлетворяет уравнению .

Неопределённый интеграл

Найти интегралы:

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18 ,

19. , 20. ,

21. , 22. ,

23. , 24. ,

25. , 26. ,

27. , 28.

29. , 30. ,

31. , 32.

Определённый интеграл и его приложения

Вычислить интегралы:

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

, , ;

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями:

, , , ;

7. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми в полярной системе координат , .

8. Найти длину дуги кривой: , .

9. Найти длину дуги кривой: , , .

10. Найти длину дуги кривой: , .

11. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .

12. Найти путь , пройденный точкой, движущейся со скоростью , за промежуток времени , если , , .

13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

, , ;

14. Найти длину дуги кривой: , ,

15. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , ;

16. Найти путь , пройденный точкой, движущейся со скоростью , за промежуток времени , если , , ;

Функции нескольких переменных

1. Найти если ;

2. Найти частные производные ,, если ;

3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке ;

4. Найти градиент функции в точке ;

5. Исследовать функцию на экстремум .

6. Найти если ;

7. Найти частные производные ,, если .

8. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке .

9. Найти градиент функции в точке .

10. Исследовать функцию на экстремум .