XIII Международная олимпиада «Эрудит. Зима-весна 2016»
Математика
Ответы и решения
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Одна из лучших работ участников олимпиады.
Тимофеев Герман, 4 класс, ГБОУ ДОД ЗДДТ Курортного района Санкт-Петербурга, педагог-куратор
Задача 1 (5 баллов)
Ответ: При правильной игре выиграет первый.
Пояснение:
Рассмотрим возможные варианты:
Начнем с 9 | Начнём с 8 | Начнём с 7 | Начнём с 6 | Начнём с 5 | Начнём с 4 |
9*4+5-1 9*4+6-2 9*4+7-3 9*4-1+5 9*4-2+6 9*4-3+7 9*5-6+1 9*5-7+2 9*5-8+3 9*5+1-6 9*5+2-7 9*5+3-8 9*8:2+4 9*8:2+5-1 9*8:2+7-3 9*8:2-1+5 9*8:2-3+7 | 8*4+9-1 8*4-1+9 8*9:2+4 8*9:2+5-1 8*9:2+7-3 8*9:2-1+5 8*9:2-3+7 8*5 | 7*5+6-1 7*5+8-3 7*5+9-4 7*6-2 7*6-3+1 7*6-4+2 7*6-5+3 7*6+1-3 7*6+2-4 7*6+3-5 | 6*7-2 6*7-3+1 6*7-4+2 6*7-5+3 6*7+1-3 6*7+2-4 6*7+3-5 | 5*9-6+1 5*9-7+2 5*9-8+3 5*9+1-6 5*9+2-7 5*9+3-8 5*7+6-1 5*7+8-3 5*7+9-4 5*8 | 4*9+5-1 4*9+6-2 4*9+7-3 4*9-1+5 4*9-2+6 4*9-3+7 |
Варианты 8*5 или 5*8 самые быстрые, но маловероятные. Соперник не даст выиграть за1 ход.
Варианты 7*6 -2 или 6*7-2 быстрые, но маловероятные. Соперник просчитает и не даст выиграть за 2 хода.
Больше всего вариантов, если начнём с цифры 9.
Задача 2 (5 баллов)
Ответ: № 1 – 45; №2 – 36; №3 – 42; №4 – 35; №5 – 43; №6 - 32
Пояснение:
По условию в сундуке №4 35 камней.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
35 |
В сундуке № 4 на три камня больше, чем в одном из крайних сундуков.
В сундуке № 1 не может быть меньше всего камней, т. к. в нём на 2 камня больше, чем в сундуке № 5.
Значит в сундуке № 6 32 камня, а в сундуке № 1 – на 13 больше, чем в № 6.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
45 | 35 | 32 |
В сундуке № 5 на 2 камня меньше, чем в № 1 (по условию 3).
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
45 | 35 | 43 | 32 |
В указанных сундуках (№1, №4, №5, №6) всего: 45 + 35 + 43 + 32 = 155 (камней)
В 6 сундуках, по условию, 233 драгоценных камня.
Значит, в сундуках № 2 и № 3: 233 – 155 = 78 (камней)
В сундуке №3 на 6 камней больше, чем в сундуке №2.
(78-6):2=36 – камней в сундуке №2
36 + 6 = 42 - камней в сундуке №3.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
45 | 36 | 42 | 35 | 43 | 32 |
Задача 3 (5 баллов)
Ответ:
Пояснение:
9000 г крупы +200 г гиря = 9200 г
9200 : 2 = 4600 г на каждой чаше весов
1 взвешивание
4600 г крупы | 4400 г крупы + 200 г гиря |
Ссыпаем 4600 г крупы обратно в пакет.
Убираем гирю. 4400 г крупы делим поровну на две чаши.
2 взвешивание
2200 г крупы | 2200 г крупы |
Ссыпаем 2200 г крупы в пакет.
3 взвешивание
На одну чашу весов ставим гирю 200 г. На второй чаше оставляем 200 г крупы, а 2000 г = 2 кг крупы ссыпаем в кастрюлю.
200 г крупы | 200 г гиря |
2200 -200 =2000 (г)
Задача 4 (5 баллов)
Ответ:
Весельчак | Скромник | Простак | |
1 вариант | 2 | 1 | 9 |
2 вариант | 1 | 4 | 7 |
Пояснение:
Весельчак | Скромник | Простак | |
За 1 день | 28 | 30 = 28 + 2 | 31 = 28 +3 |
Всего за месяц | 365 | ||
Количество дней | х | у | z |
28*х + (28+2)*у + (28+3)*z = 365
28*x + 28*y + 2*y + 28*z + 3*z =365
Одинаковый множитель можно вынести за скобку.
28*(x + у + z) + 2*y + 3*z = 365
365 : 28 = 12 (ост. 29)
Вместе гномы помогали Белоснежке 12 дней, т. к. x + у + z – общее количество дней.
Остаток от деления равен 2*y + 3*z.
2*y + 3*z = 29
Если z = 9, то у = 1, а х =12 – (1+9) = 2
2*y + 27 = 29, 2*y = 29-27; 2*у = 2;
Если z = 8, то … Значит Простак не мог ходить чётное число раз.
2*y + 24 = 29, 2*y = 29-24; 2*у = 5;нацело не делится
Если z = 7, то у = 4, а х =12 – (4+7) = 1
2*y + 21 = 29, 2*y = 29-21; 2*у = 8;
Если z = 5, то у = 7, а х =12 – (7+5) = 0 – противоречит условию
2*y + 15 = 29, 2*y = 29-15; 2*у = 14;
Задача 5 (5 баллов)
Ответ: 75 см2
Пояснение:
Нужно определить размеры заплатки, площадь которой неизвестна.
Ширина этой заплатки равна ширине голубой заплатки, с площадью 20см2, а длина – длине зелёной заплатки с площадью 9 см2.
20 = 4*5
20 = 2*10
Голубая заплатка, с площадью 20 см2, и жёлтая заплатка, с площадью 10 см2, имеют общую длину.
10 = 2*5
Значит длина голубой заплатки 5 см, а ширина 4 см.
Зелёная заплатка может иметь размеры: 9 = 3*3
Соседняя с ней жёлтая заплатка с площадью 21 см2, может иметь размеры: 21 = 3*7.
Значит длина зелёной заплатки 3 си.
Следовательно, площадь жёлтой заплатки: 3*4 = 12 см2.
Общая площадь жёлтых заплаток: 12 + 10 + 32 + 21 = 75 см2.
Задача 6 (5 баллов)
Ответ: красных тарелок – 2; оранжевых тарелок – 4; жёлтых тарелок – 8;
зелёных тарелок – 9.
Пояснение:
№1 (красные) | №2 (оранжевые) | №3 (жёлтые) | №4 (зелёные) | |
Ворчун | 2 | 5 | 7 | 9 |
Скромник | 2 | 4 | 9 | 8 |
Чихун | 4 | 2 | 8 | 9 |
Всего тарелок у гномов было 23.
2 + 5 + 7 + 9 =23
2 + 4 + 9 + 8 = 23
4 + 2 + 8 + 9 = 23
красный | оранжевый | жёлтый | зелёный | |
Ворчун | не отличает | не отличает | ||
Скромник | не отличает | не отличает | ||
Чихун | не отличает | не отличает |
Так как Ворчун и Скромник на 1 полку поставили одинаковое количество тарелок, значит, Чихун не отличает красный цвет и оранжевый.
Значит, он правильно поставил зелёные и жёлтые.
Скромник не отличает зелёный цвет, т. к. поставил на 4 полку меньше тарелок, чем Ворчун и Чихун. Ещё Скромник не отличает жёлтый цвет.
Сравнив две таблицы, делаем вывод: красных тарелок – 2; оранжевых тарелок – 4; жёлтых тарелок – 8; зелёных тарелок – 9.
