Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение “Гимназия №8”

Графический метод решения задачи о наилучшем рационе питания

ученица 8 класса

учитель математики

Пермь 2011

Оглавление

Введение. 3

Глава I. Понятие модели. Этапы построения математической модели. 5

Глава II. Модель задачи о нахождении наилучшего рациона питания. 6

Глава III. Графический метод решения задачи о наилучшем рационе питания. 9

Глава IV. Возможные варианты графического решения задач линейного программирования. 12

Заключение. 13

Список литературы.. 14

Приложение

Введение

Моделирование является одним из способов изучения окружаю­щей действительности.

Моделирующими методами ныне широко пользуются предста­вители самых разных, как естественнонаучных, так и гуманитарных областей знания. Математические знания необходимы и будущим биологам, и фи­лологам, экономистам и юристам, агрономам и инженерам.

В последнее время актуальны проблемы производства, планирования народного хозяйства, автома­тизации промышленности и управления всеми отраслями. Все это сделало понимание путей использования математического аппарата при нематематических исследованиях, чуть ли не одним из важнейших элементов общей культуры, а владения терминами «математическая структура» и «математическая модель» - необходимыми атрибутам образованного человека. Ряд математических моделей уже нашли практическое при­менение, а многие на пути к нему. Исследуя модель, можно получить новую информацию об интересующем нас объекте. Критерием применимости модели служит практика: выводы, полученные на основе модели, должны подтверждаться на деле.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

К числу моделей, нашедших практическое применение, принадлежат задача линейного про­граммирования, транспортная задача, сетевое планирование, ба­лансовые модели и многие, многие другие. Современный человек часто питается не рационально – потребляет лишние калории, ест много жирной пищи и вообще тратит много денег на еду. Объектом исследования данной работы является процесс нахождения оптимального рациона питания по заданным условиям. Задача о рационе питания относится к классу задач линейного программирования.

Предметом нашего исследования является графический метод решения задачи о наилучшем рационе питания.

Цель работы: апробация графического метода решения задачи о наилучшем рационе питания (по заданным условиям).

Для решения задач линейного программирования разработан симплекс-метод. Гипотеза: если задача о рационе питания содержит не более двух переменных, то ее можно решить графическим методом.

Задачи работы:

·  изучить этапы построения математической модели;

·  составить модели трех задач о нахождении рациона питания наименьшей калорийности, состоящего из двух продуктов: рыбы и курицы. В первой задаче ввести ограничение по количеству белка, во второй - ограничение по количеству белка и по бюджету, в третьей - ограничение по жирам и белкам;

·  решить задачи о наилучшем рационе графическим способом;

·  составить алгоритм решения задачи о наилучшем рационе питания.

В работе использованы методы:

·  математического моделирования;

·  анализа;

·  обобщения.

Заключение

Задачей линейного программирования общего вида называется задача нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной целевой функции при ограничениях, являющихся линейными неравенствами или уравнениями. Задача о наилучшем рационе питания относится к этому типу. Так как задача содержит только две переменные, ее можно решить графическим методом. Таким образом, наша гипотеза подтвердилась.

Мы апробировали метод при решении трех задач о наилучшем рационе питания ( по заданным условиям). В результате получили, что

·  Если составить рацион наименьшей калорийности, учитывая, что потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм, оптимальным решением будет 285 грамм курицы и 0 грамм рыбы.

·  Eсли составить рацион наименьшей калорийности, учитывая, что потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм и денежная сумма не должна составлять больше 50 рублей, то оптимальным решением будет 250 грамм курицы, 42 грамма рыбы.

·  Если составить рацион наименьшей калорийности, учитывая, что суточные потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм и жиров не менее 30 грамм, то оптимальным решением будет 285 грамм курицы и 32 грамма рыбы.

Решая графическим способом задачу о наилучшем рационе, нуж­но проделать следующие действия:

·  преобразовать задачу к стандартной форме, если это необ­ходимо.

·  для каждого неравенства выполнить действия:

а) для неравенства ах + bу < с (или ах + bу > с)
постройте прямую ах + bу = с (l);

б) возьмите «пробную» точку, которая не лежит на прямой
(1), и выясните, какое из неравенств выполняется: ах + bу < с или ах + bу > с;

в) отметьте стрелками (или любым другим способом),
какая из двух полученных полуплоскостей является решением
данного неравенства.

·  найти область допустимых планов задачи как пересе­чение всех полуплоскостей:

если D = 0, то решений нет;

если D 0, то изобразите линии уровня целевой функции, которые образуют семейство параллельных прямых.

·  определить по чертежу точку максимума или минимума (точку выхода или входа).

·  вычислить значение целевой функции в точке экстремума (максимума или минимума)

Областью решений задачи может быть, либо ограниченный выпуклый многоугольник, либо неограни­ченная выпуклая многогранная область.

Если задача имеет оптимальное решение, то оно достигается, по крайней мере, в одной из вершин об­ласти допустимых решений.

Если задача не имеет решения, то это происходит:

·  из-за несовместности системы ограничений;

·  из-за неограниченности целевой функции.

Список литературы

1.  , «Математика в экономике», «Вита-Пресс», 1996.

2.  Книга о вкусной и здоровой пище. М.: Агропромиздат.

3.  Солодовников в линейную алгебру и линейное программирование.-М.,Просвешение,1966.

Приложение

Задача1

Для обеспечения себя белками человеку нужно не менее 60 грамм в день. В 100 граммах сайры содержится 18 грамм белка, а в 100 граммах куриного филе 21 грамм белка. Составить рацион наименьшей калорийности, если в 100 граммах сайры 262Ккал, а в 100 граммах курицы 166 Ккал.

Задача 2

Для обеспечения себя белками человеку нужно не менее 60 грамм в день. В 100 граммах сайры, которая стоит 12 руб. содержится 18 грамм белка, а в 100 граммах куриного филе, которое стоит 18 руб. 21 грамм белка. Составить рацион наименьшей калорийности, если денежная сумма составит не более 50 руб.

Задача 3

Для обеспечения себя питательными веществами человеку нужно не менее 60 грамм белков и не менее 30 грамм жиров в день. В 100 граммах сайры содержится 18 грамм белка, 21 грамм жира, а в 100 граммах куриного филе 21 грамм белка, 9 грамм жира. Составить рацион наименьшей калорийности, если в 100 граммах сайры 262Ккал, а в 100 граммах курицы 166 Ккал.