ТЕМа:
«Моделирование прохождения
лучей света через реальную линзу»
Выполнили: Волохов Николай, Чурсин Геннадий
Ученики 10 класса МБУ «Лицей при ТПУ»,
Руководитель: А. С. Скрипин, аспирант ТПУ
Томск - 2012
ВСТУПЛЕНИЕ
В школьной физике рассказывается, как с помощью тонкой линзы можно сфокусировать пучок параллельных лучей света в точку, как с ее помощью построить изображение предмета — его полное подобие [1]. Однако во всех без исключения фотоаппаратных объективах, в окулярах микроскопов и телескопов используются несколько линз.
Возможно, это делают потому, что реальная линза не является тонкой. Проверить это можно, если рассчитать ход лучей света через настоящую линзу.
РАСЧЕТЫ
Изобразим это на рисунке
Рис. 1 Ход луча через реальную линзу (y0 — положение «источника» лучей, α0 — угол луча, l — расстояние от источника до линзы, r1 и r2 — радиусы поверхностей линзы, d — толщина линзы, n — показатель преломления, характеристика материала линзы)
В соответствии с тем, как все обозначено на рисунке, луч света задается уравнением прямой линии, который в нашем случае выглядит так
Каждая поверхность линзы является дугой окружности, которую можно описать уравнением
Здесь xC и yC — координаты центра окружности. Договоримся, что первая поверхность линзы на рис. 1 соответствует r1 > 0, а вторая поверхность соответствует r2 < 0. С учетом этого уравнение первой поверхности запишется так
| (1) |
,а уравнение второй поверхности — так
| (2) |
Найдем точку пересечения луча с поверхностью линзы. Для этого выразим y-переменную из уравнения (1) и приравняем его уравнению луча.
Возведем левую и правую части уравнения в квадрат и получим квадратное уравнение относительно x-переменной
Если дискриминант уравнения больше нуля, то у уравнения будут два корня. Они соответствуют двум точкам пересечения луча и окружности. Если r > 0, то следует выбирать меньший корень уравнения, если r < 0, то больший. Далее легко можно вычислить y-координату точки пересечения, подставив найденный корень в уравнение луча.
Изменение направления распространения луча после пересечения поверхности линзы происходит по закону преломления [2].
В нашем случае расчет угла падения зависит от знака радиуса и от того, больше или меньше нуля y-координата точки пересечения луча с поверхностью линзы. Если y > 0 и r > 0 или y < 0 и r < 0, то угол падения (γ) рассчитывается следующим образом
,
а во всех других случаях — по такой формуле
.
Выполним переприсвоение
y0 = y, l = l + d, r = r2, n = n−1
если y > 0 и r > 0 или y < 0 и r < 0, то
иначе 
В результате мы можем рассчитать взаимодействие со второй поверхностью линзы, не меняя формулы.
Для того чтобы разобраться, пересекаются ли параллельные лучи после линзы в одной точке, определим расстояние, на котором луч света после прохождения линзы пересекет оптическую ось.
|
|
Рис. 3 Определение расстояния, на котором
луч пересекает оптическую ось
Разумеется, что по пересечению с осью можно судить о ходе лучей, параллельных оптической оси (α0 = 0). Для упрощения расчеты были проведены в программе, написанной на языке Паскаль.
Рис. 4 Зависимость положения фокуса линзы от расстояния между
осью линзы и источником при r1 =20000, r2 = 50, d = 5, n = 1,5
Из графика видно, что каждый луч в параллельном пучке пересекает оптическую ось в разных точках. Отсюда же видно, что чем дальше луч от оптической оси, тем ближе к линзе он пересекется с оптической осью. Интересно еще и то, что при уменьшении расстояния от источника до оси «фокусное расстояние» приближается к истинному, рассчитанному по формуле [2]
= 100,25
Таким образом, лучи через реальную линзу идут не так, как через тонкую линзу.
Список литературы
1. А. В. Перышкин, Н. А. Роднина. Физика: учебник для 8 класса ср. школы. — 12-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 1993. — 191 с.: ил.
2. В. А. Касьянов. Физика. 11 класс: учебник для общеобр. учреждений. — 4-е изд., стереотипное. — М.: Дрофа, 2004. — 416 с.: ил., 8 л. цв. вкл.
