Конечномерные разрезания многомерных шаров и сфер.
г. Москва, ГОУ ЦО № 000, 11 класс.
1.Вычислимая постановка задачи.
Пусть 
–размерность пространства,
-число плоскостей (гиперплоскостей
).
*Гиперплоскость по определению разбивает пространство на два полупространства
Как функции переменных (
) вводим:
максимально возможное число областей, на которое может быть разбит шар;
аналогичное число для камуфлетов (см. выше)
аналогичное число на сфере (границе шара)
Радиус шара, естественно, ненулевой (при 
).
Теорема 1.
Реализация максимального числа камуфлетов 
гарантировано реализует максимальное число областей разбиения для шара 
и для его границы (сферы) 
при всех 
.
Доказательство:
Очевидно, что при 
имеем 
, тогда как 
при всех 
(нульмерный случай здесь опускаем). Далее по индукции по 
от нуля.
При 
теорема очевидна (действительно, максимальное число внутренних областей разбиения, например, 2-мерного пространства (круг) 3-мя плоскостями (прямыми) равно 1).
Допустив, что теорема верна при 
, рассмотрим поведение 
–й секущей плоскости. Для решения 
– задачи она должна (и может!) пересечь все предыдущие плоскости. При этом рассматриваемая плоскость не может пересекать какую-либо вершину 
–гранного угла, т. к., вписав в этот угол достаточно малый шар, мы сколь угодно малым параллельным переносом увеличим на 1 числа 
и , сохранив величину
, равную количеству тех областей разбиения, которые не камуфлеты, т. е. имеют часть границы на сфере.
Следовательно, реализация -задачи, реализует -задачу, сохраняя .
Следствие.
Из доказательства теоремы имеем соотношение:
(1)
1.1.Из предыдущего имеем:
Для максимального числа областей :
(2)
Для максимального числа камуфлетов 
:
(3)
2. Решение 
и -задач.
2.1. Ставим задаче (2) в соответствие так называемую производящую функцию:
(4)
(при таких 
данный ряд является сходящимся)
Из краевых условий (2) находим:
 |
(5)
Умножая уравнение
(из (2))
на 
и суммируя (при 
), получим:
значит,
(6)
С помощью (5) из (6) находим:
Разложим производящую функцию в ряд по формулам для геометрической прогрессии и бинома Ньютона:
(7)
где 
(8)
Из (4) и (7), учитывая (8), получим:
то есть:
(9)
2.2.
Обозначим 
. Так как по доказанной выше теореме при .
Теперь перепишем соотношения (3) :
(10)
Аналогично предыдущим вычислениям зададим производящую функцию:
Из краевых условий (10):
, 
(11)
Умножая (10) на 
и суммируя (при ), получим:
Откуда:
Учитывая (11), получим:
,
где 
Значит,
,
И, так как (см. выше) 
, т. е. 
,
получаем решение - задачи:
(12)
Из (1), (9), (12) находим решение -задачи:
(13)
Найденное решение будет удовлетворять и задаче по нахождению максимального разбиения гиперплоскостями пространства (достаточно устремить радиус шара к бесконечности). Ясно, что смысл будет иметь только решение -задачи.
