МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
ПРЕДЕЛЫ
Методические указания
для проведения практических занятий
Новокузнецк
2003
УДК 519.872 (075.8)
Рецензент:
Доктор технических наук, профессор НФИ КемГУ
Пределы: Метод. указ./ Составители: , .–Новокузнецк: ГОУ ВПО «СибГИУ», 2003.
Рассмотрены основные методы вычисления пределов. Приведены варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы.
Методические указания рекомендованы для проведения практических занятий по теме «Пределы», а также студентам всех специальностей, самостоятельно изучающих материал.
Предел переменной величины. Предел функции.
Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной x, становятся как угодно близкими к некоторому постоянному числу a – пределу этой переменной величины. Дадим более подробно соответствующее определение.
Переменная величина x стремится к пределу a, если абсолютная величина |x-a| разности между x и a становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой.
Тот факт, что число a является пределом переменной величины, записывается следующим образом:
a = lim x или x® a.
Определение 1. Число b называется пределом функции y=f(x) при x® a, если для любого как угодно малого положительного числа e можно указать такую окрестность точки a, для всех точек которой выполняется неравенство
|f(x)-b|<e .
Когда x стремится к a произвольным способом, то пишут 
, если же x стремится к a слева, оставаясь меньше a, или справа, оставаясь больше a, то такие пределы (если они существуют) называются соответственно левым или правым и обозначаются: 
– предел слева; 
– предел справа. Из того, что в точке a существует предел 
, следует, что существуют односторонние пределы и оба они равны : 
=
=. Если же односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и .
Определение 2.Функция f(x) называется бесконечно малой при x® a, если =0.
Если f(x) – бесконечно малая, то 
– бесконечно большая.
Определение 3. Функция f(x) называется бесконечно большой при x®a, если для любого как угодно большого положительного числа М можно указать такую окрестность точки a, для всех точек которой выполняется неравенство 
>M.
Если f(x)– бесконечно большая, то – бесконечно малая.
Две бесконечно малые функции 
и 
называются эквивалентными, если 
.
Таблица эквивалентных бесконечно малых при x®0
1. sin x ~ x 6. 
~
2. tg x ~ x 7. ln(1+x) ~ x
3. arcsin x ~ x 8. ax-1 ~ x×lna
4. arctg x ~ x 9. ex-1 ~ x
5. 1-cos x ~ 10. 
~
Основные теоремы о пределах.
1. lim (u(x)±v(x))=lim u(x) ± lim v(x)
2. lim u(x)×v(x) = lim u(x) × lim v(x)
3. 
, если lim v(x)¹ 0.
В математике важную роль играют два специальных предела, которые ввиду их важности названы «замечательными»:
– первый замечательный предел;
– второй замечательный предел.
Если положим 
, то второй замечательный предел можно записать и так: 
.
Вычисление пределов.
Пример 1. 
.
Под знаком предела имеется дробная рациональная функция, знаменатель которой при x=3 отличен от нуля. Так как данная функция является непрерывной, то чтобы найти ее предел при x®3 достаточно аргумент x заменить его предельным значением:
.
Пример 2. 
.
При x = -2 знаменатель дроби равен нулю, а числитель отличен от нуля. Числитель и знаменатель – непрерывные функции. Следовательно, при x = -2 знаменатель есть величина бесконечно малая, а числитель – ограниченная величина. Данная дробь является бесконечно большой, она не имеет предела; условно это обозначается символом µ.
Таким образом, 
.
Пример 3. 
.
При x = 2 числитель и знаменатель дроби равны нулю. Следовательно, непосредственная подстановка предельного значения аргумента x = 2 приводит к неопределенному выражению вида 
. Чтобы раскрыть неопределенность вида , необходимо дробь преобразовать. Разложив на множители числитель и знаменатель и сократив, получим:
Пример 4. 
.
При x®µ получаем неопределенное выражение вида 
. Чтобы найти предел дробной рациональной функции 
при x®µ, необходимо предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на xn , где n – наивысшая степень многочленов P(x) и Q(x). Деля числитель и знаменатель данной дроби на x2, применяя основные теоремы о пределах и свойствах бесконечно малых величин, будем иметь:
.
Пример 5. 
.
Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на произведение 
. Такое преобразование даст возможность сократить дробь на выражение (x-2), которое стремилось к нулю при x®2.
.
Пример 6. 
.
При нахождении предела бесконечно малую величину, стоящую в числителе можно заменить эквивалентной. Так как arctg2x~2x имеем:
.
Пример 7. 
Введем новую переменную y=5x; y®0 при x®0.
.
Пример 8. 
.
Данный предел находится путем применения второго замечательного предела.
.
Введем замену 
, получим
Задание: найти указанные пределы.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
Вариант 11.
Вариант 12.
Вариант 13.
Вариант 14.
Вариант 15.
Вариант 16.
Вариант 17.
Вариант 18.
Вариант 19.
Вариант 20.
Вариант 21.
Вариант 22.
Вариант 23.
Вариант 24.
Вариант 25.
План 2003
Пределы
Методические указания
для проведения практических занятий
Напечатано в соответствии с авторским оригиналом
Изд. лиц. г. Подписано в печать.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Ризография.
Усл. печ. л. 0,8. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 50 экз. Заказ
ГОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный
университет». 654007, 2.
Издательский центр ГОУ ВПО «СибГИУ»
Металлургический факультет
Кафедра высшей математики
ПРЕДЕЛЫ
Новокузнецк
2003
Кафедра высшей математики
Варианты индивидуальных заданий
по линейному программированию
Новокузнецк
2003
