Основы гидрогазодинамики и тепломоссообмена

«Основы гидрогазодинамики и тепломоссообмена»

Раздел 1. Гидрогазодинамика

Тема 1.2. Динамика жидкости и газа

Лекционный материал

Лекция 2. Анализ процессов движения жидкости будем проводить (если это не будет оговариваться особо) для идеальной жидкости, основным критерием идеальности для которой будет отсутствие вязкости. Такая подвижная жидкость будет обладать целым рядом свойств реальной неподвижной жидкости: в ней возможен лишь один вид напряжения – нормальное напряжение сжатия или то же самое, что и гидромеханическое давление.

Данное давление будет обладать в движущейся жидкости теми же свойствами, что и в реальной неподвижной: на внешней поверхности оно направлено по внутренней нормали, а в любой точке внутри жидкости – одинаково по всем направлениям.

Кроме этого, в основном будет рассматриваться стационарный режим течения, при котором давление и скорость являются функциями лишь координат и не зависят от времени, то есть

при этом

Дальнейшей степенью идеализации, принятой в механике жидкости, является понятие о струйчатой структуре потока жидкости, в соответствии с которым поток представляется как совокупность элементарных струек, прилегающих вплотную друг к другу и образующих сплошную массу движущейся жидкости. В связи с этим вначале вводят понятие линии тока – такой линии, касательные к каждой точке которой совпадают с направление вектора скорости в данной точке. При стационарном режиме течения жидкости линия тока совпадает с траекторией движения частицы жидкости.

Если внутри потока жидкости выделить бесконечно малый замкнутый контур и через каждую точку контура провести линию тока, то получим замкнутую поверхность, называемую трубкой тока. Часть потока жидкости, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой. Таким образом, элементарная струйка оказывается изолированной от остальной массы жидкости и является непроницаемой для жидкости, то есть ни одна части жидкости не может выйти наружу из трубки тока и ни одна частица не может проникнуть внутрь трубки тока из вне. Длина элементарной струйки не ограничена, а площадь ее поперечного сечения может меняться по длине, при этом в виду малости поперечного сечения элементарной струйки скорость во всех точках этого сечения можно считать одинаковой.

Скорость частицы жидкости может меняться по длине элементарной струйки или оставаться постоянной. В первом случае имеем неравномерное течение жидкости, во втором – равномерное. Для возможности сравнительного анализа равномерного и неравномерного течения жидкости введем понятие расхода жидкости.

Пусть в некотором поперечном сечении элементарной струйки площадью скорость жидкости равна . За элементарный отрезок времени частицы жидкости переместятся на расстояние . В силу сплошности жидкой среды, следующие за ними частицы жидкости заполнят все освободившее пространство. Таким образом, за указанный отрезок времени через поперечное сечение элементарной струйки пройдет объем жидкости, равный .

Объем жидкости, протекающий через поперечное сечение элементарной струйки в единицу времени, принято называть объемным расходом жидкости. Обычно его обозначают через . Тогда имеет

(1.33)

Исходя из условия сплошности среды, можно заключить, что объемные расходы в различных сечениях по длине элементарной струйки будут равны. Данное положение называется уравнением расхода для элементарной струйки и записывается в виде

=const (1.34)

Алгебраическая сумма расходов всех элементарных струек, составляющих данный поток, будет представлять собой объемный расход потока

(1.35)

Ранее было условлено, что в силу малости поперечного сечения элементарной струйки скорость жидкости во всех точках поперечного сечения одинакова. Но при этом скорость жидкости в различных элементарных струйках, составляющих поток, может быть различной. Для характеристики движения всего потока вводят в рассмотрение среднюю (одинаковую по всему сечению потока) скорость, которая определяется по выражению

(1.36)

В системах вентиляционных воздуховодов, в системах водоотведения часто применяют трубопроводы не круглого сечения. В этом случае при проведении гидравлических расчетов для характеристики размеров и формы поперечного сечения потока вводится понятие живого сечения, смоченного периметра и гидравлического радиуса.

Живым сечением потока (площадью живого сечения ) называется площадь сечения трубопровода, проведенная нормально к направлениям линий тока (нормально к направлениям скоростей элементарных струек) и заполненную жидкостью. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенами трубопровода полностью или частично (в этом случае часть живого сечения ограничивается открытой поверхностью жидкости). Если стенки трубопровода ограничивают поток полностью, то движение жидкости в этом случае называют напорным. Если же ограничение частичное, то движение называют безнапорным. Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока в общем случае отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше последнего. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному давлению. Примером напорного движения может служить движение жидкости при ее перекачке по трубопроводу за счет энергии, создаваемой насосом. Примером безнапорного движения может служить движение жидкости в открытых каналах, реках.

Часть периметра живого сечения, по которому поток жидкости соприкасается с ограничивающими его стенками, называют смоченным периметром - . Для круглого трубопровода в случае напорного движения смоченный периметр равен длине окружности; в случае безнапорного движения – длине дуги поверхности, по которой жидкость соприкасается со стенками трубопровода, так как свободная поверхность, по которой жидкость соприкасается с воздухом, в длину смоченного периметра на входит.

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру называют гидравлическим радиусом сечения

(1.37)

Следует иметь в виду, что гидравлический радиус и геометрический радиус – разные понятия. Для примера, при напорном движении жидкости в круглом трубопроводе диаметром d геометрический радиус равен , а гидравлический - .

Кроме этих понятий в инженерной практике гидравлических расчетов используют понятие эквивалентного диаметра, который вычисляется по следующему выражению

(1.38)

Выше было введено понятие потока жидкости и газа. В гидрогазодинамике рассматривают три вида потоков: напорный, безнапорный и струи.

Напорный поток – это поток, при котором жидкость занимает все сечение трубопровода, а источником движения жидкости являются внешние источники энергии (например, насос).

Безнапорный поток – это поток с открытой в атмосферу внешней поверхностью и движущийся за счет сил гравитации.

Струи – это поток жидкости или газа со всех сторон окруженный жидкой или газообразной средой.

Аналогия напорным и безнапорным потокам жидкости существует и в газах.

Поток газа в трубопроводе, закрытом канале или воздуховоде запол­няет сечение полностью, соприкасаясь со стенками, поэтому он аналогичен напорному. Такие потоки, например, наблюдаются в системах вентиляции.

Аналогию с безнапорными потоками можно проследить в так назы­ваемых свободных струях. Например, в струях тёплого воздуха - воздуш­ных завесах, устраиваемых зимой при входе в общественные здания.

В аэродинамике для определения площади живого сечения w, м2, расхода потока Q, м3/с, скорости потока v, м/с, можно исполь­зовать зависимости из гидравлики, заменив слово – жидкость на – газ.

Например, для воздуховода прямоугольного сечения со сторонами a и b эквивалентный диаметр находится так:

dэ = 4w/ = 2ab/(a + b) .

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Уравнение Бернулли, помимо уравнения расхода, является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же элементарной струйки жидкости.

Выделим в потоке жидкости одну из элементарных струек и сечениями 1-1 и 2-2 ограничим в ней участок произвольной длины (рис.1 ) .

Для первого сечения зададим следующие параметры: площадь , скорость в сечении и давление , центр тяжести сечения расположен относительно произвольной плоскости сравнения на расстоянии . Для второго сечения соответственно имеем: . Под действием внешних сил за бесконечно малый промежуток времени выделенный участок переместится в положение .

Рисунок 1. К выводу уравнения Бернулли

Применим к выделенному участку элементарной струйки теорему механики о том, что работа внешних сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела, то есть . В нашем случае внешними силами будут силы давления, действующие по нормали к поверхности выделенного участка элементарной струйки, и массовые силы в виде силы тяжести, которые и производят указанную выше работу, то есть (1.39)

Работа сил давления складывается из работы в первом и втором сечениях, а так же работы на боковой поверхности элементарной струйки:

(1.40)

Работа сил давления в первом сечении на пути является положительной и определяется по выражению:

(1.41)

Работа сил давления во втором сечении (отрицательная) равна:

(1.42)

Силы давления, действующие на боковую поверхность работы не производят, поскольку они действуют по нормали к этой поверхности, а следовательно и по нормали к направлению перемещения жидкости. Таким образом

(1.43)

Работа массовых сил (силы тяжести) пропорциональна изменению потенциальной энергии положения выделенного участка элементарной струйки. Для нахождения этого изменения необходимо из потенциальной энергии положения жидкости в объеме 1-2 вычесть потенциальную энергию положения жидкости в объеме . Не трудно заметить, что при таком вычитании потенциальная энергия положения объема жидкости сократится. Поэтому в расчетах будет присутствовать лишь разность потенциальной энергии положения объемов и . Используя уравнение расхода, нетрудно заметить, что объемы, а, следовательно, и веса участков элементарной струйки и равны. Тогда можем записать

где – удельный вес жидкости

В таком случае работу сил тяжести можем записать как

(1.45)

Для определения приращения кинетической энергии выделенного участка элементарной струйки за тот же самый отрезок времени , следует из кинетической энергии объема вычесть кинетическую энергию объема : . Руководствуясь теми же соображениями, что и при подсчете потенциальной энергии, в результате получим

(1.46)

Подставляя выражения для работы сил давления, силы тяжести и приращения кинетической энергии в исходное уравнение, получим

(1.47) Разделив все члены уравнения (1.47) на , и делая соответствующие преобразования, в итоге получим

(1.48)

Группируя члены с одноименными индексами и учитывая, что сечения в элементарной струйке идеальной жидкости выбраны произвольно, имеем

(1.49)

Полученное уравнение (1.49) называется уравнением Бернулли; входящие в него члены имеют линейную размерность и в гидравлике имеют наименование:

- нивелирная высота или геометрический напор;

- пьезометрическая высота или пьезометрический напор;

- скоростная высота или скоростной (динамический) напор.

Соответственно трехчлен называют полным напором.

С геометрической точки зрения уравнение Бернулли говорит о том, что сумма трех напоров – геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль элементарной струйки идеальной жидкости (рис.2).

Рисунок 2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

На рисунке можно выделить три характерные линии и области:

I–я область, расположенная между линией, соединяющей центры сечений идеальной струйки (линия геометрического напора) и линией сравнения, – зона геометрического напора.

II-я область, расположенная между линией геометрического напора и линией пьезометрического напора, – область изменения пьезометрического напора.

III-я зона, расположенная между пьезометрической линией и линией скоростного напора, – область изменения скоростного напора.

Полный напор Н в уравнении Бернулли можно рассматривать как полную удельную энергию (то есть энергию, отнесенную к единице веса) жидкости в данном сечении элементарной струйки.

Тогда входящие в него члены являются удельной энергией положения, удельной энергией давления и удельной кинетической энергией.

В соответствии с этим с энергетической точки зрения уравнение Бернулли можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, то есть сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная во всех сечениях по длине струйки.

Приведённое полное давление

В любой точке движущегося газа действует полное давление

pп = pст + pд ,

где pст - статическое давление ;

pд = rv2/2-динамическое давление, отражающее кинети­ческую энергию потока газа.

Однако величина полного давления pп не охватывает полную энергию точки движущегося газа, так как в ней не содержится давление по­ложе­ния точки rgz. Поэтому в качестве энергетической характери­сти­ки любой точки потока газа введём понятие приведённого полного давления (рис. 26):

pпр. п = rgz + pст + rv2/2 .

Первые два члена rgz + pст представляют собой потенциальную часть энер­гии, а последний rv2/2 - кинетическую.

Уравнение Бернулли для газа

Рассмотрим поток газа, проходящий по трубопроводу переменно­го се­че­ния (рис. 27). В первом сечении приведённое полное давление ра­вно pпр. п1. При прохождении по трубе часть pпр. п1 необратимо потеря­ется из-за проявле­ния сил внутреннего трения газа и во втором сечении энергетиче­ская хара­к­теристика уменьшится до pпр. п2 на величину потерь давле­ния Dpпот.

Уравнение Бeрнулли для газа в простейшем виде записы­вается так:

pпр. п1 = pпр. п2+ Dpпот ,

то есть это уравнение для двух сечений потока в направлении его движения, выраженное через приведённые полные давления и отражающее закон со­хра­нения энергии (часть энергии переходит в потери) при движении газа.

Уравнение Бeрнулли в традиционной записи получим, если в по­следнем ра­венстве раскроем значения приведённых полных давлений pпр. п1 и pпр. п2:

.

Энергетический смысл уравнения Бeрнулли для газа заключается в том, что оно отражает закон сохранения энергии, а геометрический не рассматривается, так как величины в нём выражаются в единицах дав­ления (Па), а не на­пора (м).

Разность давлений и потери давления

Особенности терминов «разность давлений» и «поте­ри давле­ния» поясним на примерах.

Движение газа происходит только при наличии разности приве­дённых полных давлений

pпр = pпр. п1 - pпр. п2

от точки с большим давлением pпр. п1 к точке с ме­ньшим pпр. п2. Например, это является условием работы систем естественной вентиляции зданий: для удаления воз­духа из помещения давление pпр. п внутри должно быть боль­ше, чем снару­жи.

Потери давленияpпот отражают потерю полной энергии потока при движении газа. Например, чем длиннее воздуховод, меньше его про­ходное сечение, шероховатее его стенки, тем больше будут потери давления в системе вентиляции, что может ухудшить удаление несвежего воздуха из помещений. В покоящемся газе никаких потерь давле­ния нет.

При установившемся движении газа разность давлений равна потерям давления:

pпр = pпот,

что является уравнением Бернулли в простейшей записи.

Таким образом, «разность давлений» является причиной движения газа, а «потери давления»- следствием. При движении газа они чис­ленно равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: паскалях (Па).

Два режима движения жидкости (газа).

Исследование вопроса о механизме движения жидкости (газа) показывает, что в природе существуют два вида (режима) движения жидкости: во-первых, слоистое, упорядоченное или ламинарное движение, при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, не смешиваясь между собой, и, во-вторых, неупорядоченное или турбулентное движение, при котором частицы жидкости движутся по сложным, постоянно меняющимся траекториям и в потоке происходит интенсивное перемешивание микро - и макромасс жидкости. Основной особенностью турбулентного режима течения является наличие поперечных к основному направлению движения составляющих скоростей, накладывающихся на основную скорость в продольном направлении.

Выяснению условий существования ламинарного или турбулентного режима течения жидкости, влияния физических характеристик жидкости на переход из одного режима в другой были посвящены опыты Рейнольдса.

Рейнольдс установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются: средняя скорость движения жидкости , диаметр трубопровода , плотность жидкости , абсолютная вязкость , а переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при определенной скорости – критической скорости, различной для труб разных диаметров и возрастающей с увеличением вязкости жидкости и уменьшающейся с уменьшением диаметра трубы.

Для характеристики режима движения жидкости Рейнольдсом был выведен безразмерный параметр , учитывающий влияние перечисленных выше факторов и называемый числом (критерием) Рейнольдса

(1.53)

Так как отношение где - коэффициент кинематической вязкости жидкости (газа), то выражение (1.52) можно записать в виде

(1.54)

Границы существования того или иного режима движения жидкости определяются двумя критическими значениями числа Рейнольдса: нижним критическим числом и верхним критическим числом . При значениях чисел Рейнольдса возможен только ламинарный режим, а при - только турбулентный режим; при наблюдается неустойчивое состояние потока. Таким образом, для определения режима течения необходимо в каждом случае вычислять по выражению (1.53 или 1.54) число Рейнольдса и сопоставлять его с критическим значением.

В опытах самого Рейнольдса значение были следующие: . Последующие эксперименты показали, что критические числа Рейнольдса не являются вполне постоянной величиной и что при определенных условиях неустойчивая зона может быть значительно шире. В настоящее время при практических расчетах принято исходить из одного значения критического числа Рейнольдса, равного , считая, что при всегда имеет место ламинарный режим, а при – всегда турбулентный. При этом движение в неустойчивой зоне исключается из рассмотрения, что приводит к некоторому запасу и большей надежности при гидравлических расчетах в том случае, если в этой зоне в действительности имеет место ламинарный режим течения.

Проведенные исследования особенностей различных режимов движения жидкости показывают, что одновременно с переходом от ламинарного режима к турбулентному изменяется характер распределения скоростей по поперечному сечению потока, а также зависимость потерь энергии (напора). Установлено, что для ламинарного режима характерен параболический закон распределения скоростей по поперечному сечению: скорость жидкости равна нулю непосредственно у стенок трубопровода, а при удалении от них плавно и непрерывно возрастает, достигая максимума на оси трубопровода (рис.3а).

а). б).

Рисунок 3. Характер распределения скоростей по перечному сечению потока при ламинарном (а) и турбулентном (б) режиме движения.

Турбулентному режиму движения присущ более сложный закон распределения скоростей по поперечному сечению: в пределах большей части поперечного сечения скорость весьма незначительно отличается от максимального значения на оси трубопровода, но при этом начинает резко падать вблизи стенок трубопровода (рис.3б).

Причиной такого более равномерного закона распределения скоростей при турбулентном режиме является наличие поперечных составляющих скоростей частиц жидкости. В результате этого частицы жидкости с большими скоростями на оси потока и с меньшими скоростями на удалении от оси непрерывно сталкиваются, что приводит к выравниванию их скоростей. В тоже время вблизи стенок трубопровода такое взаимное перемещение частиц друг относительно другу нейтрализуется наличием твердой границы (стенки трубопровода), что и обуславливает более интенсивное падение скорости жидкости.

Если обеспечить протекание жидкости по трубопроводу с различной скоростью и замерить при этом величину потерь напора, то графическая зависимость будет иметь следующий вид (рис.4).

Рисунок 4. Зависимость потерь напора от скорости потока

В некотором диапазоне скоростей (зона I) потери напора изменяются пропорционально скорости, а затем, при достижении определенного значения скорости, потери напора становятся пропорциональны более высокой степени скорости (зона II). Этот переход от одного закона к другому происходит при значении скорости, равного критическому, то есть в момент перехода от ламинарного режима к турбулентному.

Следовательно, при ламинарном режиме потери напора пропорциональны первой степени скорости, а при турбулентном – степени больше единицы .

Таким образом, ламинарный и турбулентный режимы отличаются не только характером движения частиц (отдельных масс) жидкости в потоке, но и разными законами распределения скоростей по поперечному сечению и разными законами, определяющими зависимость между потерями напора и скоростью жидкости в потоке.

На практике в большинстве случаев (движение жидкости по трубопроводам, каналах и пр.) приходится иметь дело с турбулентным режимом. Ламинарный режим, который встречается гораздо реже, наблюдается при движении очень вязких жидкостей, при движении жидкости по очень узким каналам (фильтрование), в порах естественных грунтов.

Примеры

Пример 1. Определить режим движения жидкости в лотке пря­моугольной формы высотой 0,2 м и шириной 0,5 м при уровне воды 0,15 м и скорости = 1,2 м/c (рис. 5).

 

Рис. 5

Решение: Принимая =0,0110-4 м2/с (для воды), опре­де­ляем:

.

Так как Re > Reкр = 2300, то режим движения потока будет тур­булентным.

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА раздела 1 темы 1.2

1	Давление в движущейся идеальной жидкости обладает свойствами:	А. Не обладает ни какими свойствами Б. Теми же свойствами, что и в покоящейся реальной жидкости В. В идеальной жидкости давление отсутствует. Г. Давление всегда идеальное	Б
2	Линия тока это:	А. Линия, соединяющая два проводника, по которым протекает разный по величине электрический ток Б. Линия в движущейся жидкости, касательные к которой в любой ее точке совпадают с направлением вектора скорости частицы, расположенной на этой линии в данный момент времени В. Линия, по которой в данный момент времени протекает наибольший электрический ток Г. Вообще любая линия электропередачи	Б
3	Трубка тока это:	А. Трубчатая поверхность, образованная путем проведения линий тока через каждую точку замкнутого контура, расположенного в движущейся жидкости Б. Трубчатый проводник, по которому протекает электрический ток В. Трубчатая поверхности, через боковую поверхность протекает жидкость	А
4	Живое сечение потока это:	А. Сечение, которое живее всех живых Б. Сечение, которое проявляет признаки жизни в данный момент времени В. Часть поперечного сечения канала (трубопровода), заполненного жидкостью В. Сечение, через которое протекает «живая вода»	Б
5	Уравнение расхода определяет:	А. Как наилучшим образом расходовать имеющуюся наличность Б. Постоянство расхода жидкости по длине трубопровода В. Изменение расхода жидкости по длине трубопровода	Б
6	Смоченный периметр это:	А. Периметр любой геометрической фигуры на чертеже, опущенной в воду Б. Периметр любой геометрической фигуры, который является самым мокрым среди других В. Часть периметра живого сечения, по которой жидкость соприкасается со стенками канала	В
7	Гидравлический радиус это:	А. Величина, которой в гидравлике измеряют давление Б. Понятие, не имеющее смысла В. Радиус окружности, очерченной гидравлическим циркулем Г. Отношение площади живого сечения к смоченному периметру	Г
8	Уравнение Бернулли для идеальной жидкости записывается следующим образом:	А. Б. В. Г.	Б
9	Энергетический смысл уравнения Бернулли для идеальной жидкости:	А. Полная удельная энергия вдоль элементарной струйки идеально жидкости убывает Б. Полная удельная энергия вдоль элементарной струйки идеально жидкости постоянна В. Полная удельная энергия вдоль элементарной струйки идеально жидкости возрастает	Б
10	При выводе уравнения Бернулли для потока реальной жидкости допускается, что	А. Гидростатическое давление равно нулю Б. Гидростатическое давление одинаково по всему поперечному сечению потока В. В пределах поперечного сечения потока справедлив основной закон гидростатики	В
11	Скоростной напор в уравнении Бернулли для потока реальной жидкости выражается через:	А. Среднюю скорость потока Б. Через первую космическую скорость В. Значение скорости в нем отсутствует Г. Через максимальную скорость на оси потока	А
12	Условие существования ламинарного режима	А. Re2300 Б. Re2300	Б
13	Условие существования турбулентного режима	А. Re2300 Б. Re2300	А
14	Для какого режима течения распределение скоростей по поперечному сечению более равномерное	А. Для ламинарного Б. Для турбулентного В. Одинаково для обоих режимов	Б

1. Для проверки умений определять гидравлические характеристики потока найдите гидравлический радиус для трех трубопроводов следующих форм поперечного сечения: 1. квадратное со стороной «а», 2. прямоугольное со сторонами «ав», 3. равносторонний треугольник со стороной «а».

2. Продемонстрируйте умения применять знания темы 1.1, 1.2 на примере решения следующих задач:

а). Жидкость плотностью 900 кг/м3 и кинематической вязкостью =3,3м2/с перекачивается на расстояние 1,5 км по горизонтальной трубе диаметром 0,075 м. Массовый расход G=кг/час. Доказать, режим течения является ламинарным.

Доказательство проводится путем сравнения расчетного значение числа Re c критическим значением.

б). Жидкость ( кг/м3, = Пас) течет по вертикальной трубе диаметром 3 см. Давление на высоте Z1=100 мм составляет 250кПа. Определить направление движения, если давление на высоте Z2=85 мм равно 250 к Па. Какова скорость течения жидкости на оси трубы и на расстоянии 6 мм от ее оси, если режим движения ламинарный?