Лекция 4

Лекция 4

IV.1. Оптические солитоны

В 1965 году ученые Н. Забуски и М. Крускал обнаружили, что решения уравнения Кортевега-де Фриза, описывающие распространение уединенных волн на мелкой воде, обладают замечательными свойствами: они не испытывают дисперсионного уширения и упруго взаимодействуют, т. е. сохраняют свою форму после столкновения и прохождения друг сквозь друга. Чтобы подчеркнуть исключительный элементарный характер этих уединенных волн, им дали название “солитон” (от английского слова solitary – “уединенный”).

Существует качественное объяснение причины образования солитона. Так, в случае распространения световой волны в нелинейной, диспергирующей, диэлектрической среде показатель преломления среды изменяется в том месте, где напряженность электромагнитного поля достаточно велика. Если показатель преломления возрастает, то может произойти самозахват световой волны. При самофокусировке увеличение показателя преломления в центре светового пучка ведет к линзовому эффекту и подавляет дифракционную расходимость. В общем случае говорят, что происходит подавление дисперсии или дифракции нелинейными процессами.

Теперь вновь вернемся к нелинейному уравнению Шредингера (НУШ) и проанализируем его устойчивые к малым возмущениям решения. Для начала, напомним, как простым способом можно получить солитонное решение НУШ.

При обсуждении явления фазовой самомодуляции (ФСМ) мы уже имели дело с нормализованной формой НУШ. Напомним его еще раз, положив для простоты, что рассматриваемая нами среда не обладает оптическими потерями. В этом случае уравнение имеет вид

(1)

где - А – медленно меняющаяся, комплексная амплитуда огибающей поля; - дисперсия групповых скоростей; - исходная длительность импульса; u – групповая скорость; - мощность излучения при z=0; - нелинейный коэффициент.

Параметр N в (1), как мы помним, называется порядком солитона или количеством полюсов (собственных значений) в методе обратной задачи рассеяния. Этот параметр может быть исключен из уравнения заменой

Тогда (1) приобретает каноническую форму НУШ

(2)

Найдем стационарную форму импульса. С этой целью положим и для амплитуды получим

(3)

где точки сверху означают дифференцирование по

Умножением на и одним интегрированием это уравнение приводится к виду

(4)

где В – постоянная интегрирования, которую далее полагаем равной нулю. При этом (4) приобретает вид

(5)

В случае аномальной дисперсии <0, и (5) имеет решение

sech (6)

при этом решением (2) является

sech (7)

В отношении этого решения заметим, что, если решением (2) является то и также является решением; m - произвольный нормировочный множитель, называемый форм-фактором, определяющим амплитуду импульса и его длительность .

Для волоконных световодов решение (7) означает, что импульс в форме гиперболического секанса с длительностью и пиковой мощностью - такими, что N=1, будет распространяться в идеальном световоде (без потерь) без искажения своей формы на произвольно большие расстояния. Значение пиковой мощности фундаментального солитона определяется из условия соответствующего равенству N=1

(8)

где ; - обычно используемая на практике длительность импульса на полувысоте его интенсивности.

Для примера, возьмем типичные для одномодовых световодов значения параметров, соответствующие длине волны излучения мкм: -20 пс2/км, 4 (Вт·км)-1. Тогда, в соответствии с (8), для импульсов с начальной длительностью 1 пс мощность фундаментального солитона составляет 5 Вт, тогда как для импульсов с 10 пс она уменьшается до 50 мВт. Если же использовать световоды со смещенной дисперсией, для которых -2 пс2/км, то приведенные значения P0 уменьшатся в 10 раз. Иными словами, мощность импульса, при которой реализуется солитонное распространение, можно минимизировать, выбирая длину волны, наиболее соответствующую нулевой дисперсии групповых скоростей. Формально, при следует и солитон исчезает. Однако на практике близость к нулю определяется двумя требованиями. Во-первых, необходимо, чтобы весь спектр импульса ~ находился в пределах области аномальной дисперсии. Во-вторых, влияние дисперсии более высокого порядка (третьего) должно быть мало в сравнении с . Приближенно эти два требования сводятся к условию накладывающему ограничение на минимальное отличие длины волны излучения от длины волны нулевого значения дисперсии , где - асимптотическая ширина импульса в случае, когда его исходная мощность отличается от сбалансированного значения, даваемого выражением (8).

Весьма привлекательные свойства фундаментального солитона определяют естественный вопрос – как такой солитон возбудить? В общих словах ответ звучит следующим образом. Пусть на вход световода подается импульс вида

sech (9)

Число солитонов N, порождаемых таким импульсом на входе, зависит от амплитуды a (которая имеет размерность площади в пространстве переменной ) и равно ближайшему целому числу, которое удовлетворяет условию

(10)

Таким образом, если 1/2≤a≤3/2, то 1 и возбуждается один солитон. Отсюда следует, что, например, при 1,3 мкм в отсутствие оптических потерь входной импульс формой (9) с длительностью 1 пс и пиковой мощностью в пределах 0,4-3,6 Вт возбуждает фундаментальный солитон. Однако заметим, что такой же импульс (9) c той же длительностью, но лишь с мощностью 1,6 Вт возбуждает солитон, который при распространении в точности повторяет форму входного. Ширины и амплитуды прочих импульсов в указанном диапазоне мощностей на выходе отличаются от их начальных значений.

Фундаментальный солитон (7) является лишь одним из частных решений (1). Многочисленные солитоны высших порядков также описываются решением обратной задачи рассеяния. Различные комбинации собственных значений задачи и связанных с ними вычетов дают бесконечное множество форм солитонов. Среди них особую роль играют солитоны, имеющие начальную форму при x=0 sech где порядок солитона N – целое число. Значение пиковой мощности, необходимой для создания солитона N-го порядка, оказывается в раз больше мощности, необходимой для возбуждения фундаментального солитона. Интересным свойством многосолитонных решений является то, что интенсивность солитона периодична с периодом Используя определение пространственный период солитона записывается как

(11)

Например, для N=3 распространение импульса происходит по следующему сценарию. Первоначально его длительность уменьшается, затем на расстоянии полпериода он расщепляется на два, далее обе компоненты сливаются, формируя в конце периода первоначальный импульс. Эта картина повторяется на каждом периоде солитона. Эффект сокращения длительности импульса на начальном этапе его распространения может быть использован для сжатия импульсов. Изменения в форме импульса и его спектре возникают при совместном действии фазовой самомодуляции (ФСМ) и дисперсии групповых скоростей. При ФСМ возникает положительная частотная модуляция так, что передний фронт смещается в стоксову (относительно несущей частоты) область, а задний фронт – в антистоксову область. При отсутствии дисперсии групповых скоростей, как мы помним, форма импульса оставалась бы неизменной. Отрицательная дисперсия, однако, сжимает импульс, так как он имеет положительную частотную модуляцию. В случае фундаментального солитона дисперсия и ФСМ компенсируют друг друга таким образом, что ни форма импульса, ни его спектр не изменяются при распространении по световоду. В случае солитонов высших порядков на начальном этапе доминируют эффекты, связанные с ФСМ, но вскоре дисперсионные эффекты их восполняют, что приводит к сжатию импульса. Теория солитонов показывает, что для импульсов с формой в виде гиперболического секанса, имеющих пиковую мощность, определяемую из выражения для , совместное действие ФСМ иДГС приводит к периодичной динамике импульса с периодом Опять-таки, при типичном для плавленого кварца значении -20 пс2/км на длине волны 1,55 мкм и при длительности импульса 1 пс период солитона составляет величину порядка 80 м и изменяется как становясь равным 8 км при 10 пс. Для световодов со смещенной дисперсией в десять раз меньше, и возрастает на порядок при тех же длительностях импульсов.

Важное свойство фундаментального солитона быть устойчивым к ряду возмущений определяет тот факт, что импульсы с начальной формой вовсе не в виде гиперболического секанса, если только они обладают достаточной начальной мощностью, на некотором расстоянии от входа в световод становятся солитоном, в частности, фундаментальным. Например, в случае гауссова импульса при его ширине и мощности соответствующим N =1 форма импульса изменяется при распространении, поскольку вначале она отличается от гиперболического секанса. Однако асимптотически такой гауссовский импульс стремится к фундаментальному солитону. Импульс в процессе распространения по световоду “подстраивает” свою длительность, становясь солитоном. При этом часть его энергии рассеивается. Эволюция фактически заканчивается примерно на трех периодах солитона. Похожая картина наблюдается и для импульсов с другими начальными формами, например, с супергауссовой. Импульс асимптотически преобразуется в солитон, порядок которого есть целое число ближайшее к начальному значению N. Длительность солитона в конечном состоянии и расстояние, необходимое для эволюции импульса в солитон, зависит от начальной формы, но качественно поведение остается одним и тем же. Ясно, что солитон может быть сформирован в том случае, когда пиковая мощность начального импульса превышает некоторую пороговую величину.

Впервые в экспериментах оптические солитоны наблюдались Молленауэром с соавторами в 1980 году. В этом эксперименте использовался лазер на центрах окраски, генерирующий импульсы длительностью 7 пс на длине волны 1,55 мкм, что, как известно, соответствует минимуму оптических потерь световода. Опыты проводились с одномодовым световодом длиной 700 м, диаметр сердцевины которого составлял 9,3 мкм, а прочие, необходимые параметры были таковы: -20,4 пс2/км, 1,3 (Вт·км)-1. В соответствии с перечисленными параметрами и формулами (8),(11) для пиковой мощности, соответствующей фундаментальному солитону, получаем значение порядка 1 Вт, а для периода солитона 1,26 км так, что полная длина световода соответствовала примерно половине периода. В эксперименте же мощность варьировалась в пределах 0,3-25 Вт. Форма импульсов и их спектр измерялись на выходе световода. Результаты оказались следующими: при малых уровнях вводимой мощности (0,3 Вт) импульсы при распространении испытывали лишь дисперсионное уширение. При возрастании вводимой мощности импульсы на выходе сжимались, причем конечная их длительность совпадала с начальной при значении вводимой мощности 1,2 Вт, что весьма близко к только что приведенной величине критической мощности фундаментального солитона. Различие в этих величинах мощности обусловлено тем, что, скорее всего, форма импульсов на входе в световод не является гиперболическим секансом. При более высоких уровнях вводимой мощности в форме импульсов на выходе световода обнаруживается многопичковая структура. Например, при мощности 11,4 Вт, что практически в 9 раз превышает мощность фундаментального солитона, наблюдалась трехпичковая структура, отвечающая расщеплению самого импульса на два и соответствующая поведению именно трехсолитонного импульса на расстоянии распространения в полпериода. Аналогичный результат был получен при мощности входных импульсов 22,5 Вт. Наблюдавшаяся для этой мощности на опыте пятипичковая структура соответствует расщеплению лазерного импульса на три, что отвечает возникновению солитона четвертого порядка (N=4).

Периодичность солитонов высших порядков означает, что такие импульсы должны восстанавливать первоначальную форму и спектр на расстояниях, кратных периоду солитона.

Поскольку для формирования солитонов требуется отрицательное значение дисперсии групповых скоростей, солитоны не могут существовать в волоконных световодах на длинах волн, меньших длины волны нулевой дисперсии (»1,3 мкм). Тем не менее, существование другого типа солитона, известного как “темный” солитон, было предсказано теоретически как решение уравнения (1) для >0. Решение имеет вид отдельного провала на однородном фоне квазинепрерывного излучения. Если наложить такое граничное условие, что стремится к конечному значению при больших , то для нахождения солитонных решений можно пользоваться методом обратной задачи рассеяния (напомним, что время в сопутствующей системе координат отсчитывается в обе стороны от центра импульса, расположенног при ). Фундаментальный солитон в этом случае имеет вид

tanh (12)

Поведение солитонов высших порядков в случае положительной дисперсии групповых скоростей коренным образом отличается от случая отрицательной. Существование темных солитонов было подтверждено в экспериментах. Импульсы имели параметры, предсказываемые уравнением (1). Однако здесь мы на этом классе солитонов подробно останавливаться не будем.

Солитонные решения возникают также в том случае, когда импульс распространяется в точности на длине волны нулевой хроматической дисперсии (0). Тогда дисперсионные эффекты низшего порядка определяются коэффициентом при третьей степени в разложении волнового вектора

(13)

Если пренебречь потерями в световоде и считать, что коэффициент положителен, динамика импульса определяется уравнением

(14)

где определяется как

(15)

Уравнение (14) трудно решить методом обратной задачи рассеяния. Численное решение показывает, что в случае 1 начальный импульс, имеющий форму гиперболического секанса, преобразуется на длине ~ в фундаментальный солитон, в котором содержится примерно половина энергии начального импульса. Оставшаяся часть энергии переносится осцилляционной структурой у заднего фронта, постепенно рассеиваясь при распространении. Именно задняя часть импульса рассеивается, так как при ФСМ спектральные компоненты на заднем фронте сдвигаются в коротковолновую область.

Отметим также, что солитонам на длине волны нулевой дисперсии требуется мощность меньшая, чем тем, которые распространяются в области отрицательной дисперсии групповых скоростей. Это видно из сравнения (1) и (15) для и . Для достижения одинаковых значений и для случая длины волны нулевой дисперсии требуется мощность в раз меньше. В обычном световоде для формирования 1-пикосекундного солитона на 1,3 мкм требуется в 100 раз меньшая мощность, чем на 1,55 мкм, если длина волны излучения в первом случае хорошо совпадает с длиной волны нулевой дисперсии.

В заключение зададимся вопросом – можно ли создать солитонный лазер?

Ответ на этот вопрос достаточно прост, однако экспериментальная реализация такого лазера требует определенного искусства. Во-первых, в чем состоит основное отличие усилителя от лазера? - наличием положительной обратной связи в последнем. Для усилителя не столь важны форма и длительность усиливаемого излучения. На выходе из усилителя импульс в значительной степени по форме и длительности повторяет входной, меняясь лишь по амплитуде. Многократное же прохождение света в резонаторе лазера формирует свои выходные параметры излучения. Поэтому, включив в систему обратной связи в лазере волоконный световод определенной длины с известными дисперсионными и нелинейными свойствами, солитоны могут быть получены как результат генерации в лазере.

Литература

1.  Г. Агравал. Нелинейная волоконная оптика. М., Мир, 1996.

2.  A. Hasegawa, F. Tappert. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. Appl. Phys. Lett., 23, 142 (1973).

3.  L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, J. P. Gordon. Phys. Rev. Lett., 45, 1095 (1980).