Основы Численных методов расчета конструкций
Контрольная работа № 2.
Расчет стержня переменного сечения на устойчивость
1.
|
Данные для задания выбираются из табл. 1, 2 согласно варианта задания.
Модуль упругости Е = 2×105 Мпа.
Схемы закрепления стержней
Указания:
При потере устойчивости использовать дифференциальное уравнение продольного изгиба оси стержня переменного сечения
. (1)
Начало координат в формуле (1) принято на верхней опоре (где приложена сжимающая сила). R0 - реакция в верхней опоре, возникает в несимметричных конструкциях (все схемы кроме I-й, в схемах II, IV - при несимметричном изменении момента инерции вдоль оси стержня); М0 – опорный момент в защемлении в схеме IV.
Принять изменение момента инерции вдоль оси по формуле
, (2)
где 
принимается по табл. 2 в соответствии с вариантом задания.
Разностное уравнение устойчивости стержня при постоянном шаге 
(n – число разбиений стержня) записывается в виде
, (3)
где 
; 
; 
, 
; 
; 
;
; 
- разностный оператор для второй производной.
Уравнение (3) составляется для точек i = 0 (только для схемы IV), i = 1, 2, … n-1 - для всех схем, i = n - для схем с защемлением нижней опоры. Для схем III, IV, при симметричном изменением момента инерции вдоль оси стержня, используется условие симметрии в середине стержня.
Разностное уравнение (3) приводит к системе однородных алгебраических уравнений. Однородные системы алгебраических уравнений имеют ненулевые решения, если определитель системы равен нулю.
Приравнивая определитель системы уравнений нулю и раскрывая его, получаем полином n-1 –го порядка относительно собственных чисел b уравнения устойчивости (1). Искомым значением является минимальное значение - bmin. Собственное число позволяет определить значение критической силы
. (4)
В расчете принять число разбиений для схем:
схемы I, II - n = 4; схема III при несимметричной функции - n = 5; схема III при симметричной функции - n = 8; схема IV при симметричной функции - n = 6. Несимметричная функция для схемы IV в работе не используется, несимметричная функции вариантов N = 1-5 из табл. 2, для этой схемы заменяются симметричными функциями вариантов N + 5.
Для всех вариантов получается определитель 4-го. Корень определителя может быть определен точно, или приближенно. Для приближенного определения корней можно предварительно раскрыть определитель и находить корни полинома последовательными приближениями. Можно применить метод последовательных приближений непосредственно к определителю, т. е. задаваясь значениями b, и вычисляя значения определителя. Далее значения b уточняются так, чтобы значения определителя стремились к нулю.
Вилка значений b может быть задана из критической из формулы Эйлера критической силы 
стержней постоянного сечения для значений момента инерции 
и 
Из сравнения формулы Эйлера с формулой (4) получим
,
откуда
. (5)
Таблица 1
№ п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
схема стержня | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 |
J0, см4 | 1250 | 2300 | 5600 | 3500 | 7500 | 15000 | 1200 | 2500 | 3000 | 5500 |
l, м | 6 | 7,5 | 5,0 | 6,5 | 4,5 | 8,5 | 4,5 | 6,0 | 7,0 | 8,0 |
Таблица 2
№ п/п |
| № п/п |
|
1 | 1 + 0,6х/l | 6 |
|
2 | 1 – 0,6х/l | 7 |
|
3 |
| 8 |
|
4 |
| 9 |
|
5 |
| 0 |
|
