§ 2.2. Примеры движения частиц в магнитном поле

Общие законы кинематики заряженных частиц в сильных магнитных полях можно проиллюстрировать на конкретных примерах. Укажем сначала на один важный результат, вытекающий из закона сохранения отношения . Энергия поперечного ларморовского вращения , где — полная кинетическая энергия частицы, а — угол между векторами и . При движении в постоянном во времени магнитном поле не изменяется. Поэтому постоянство означает, что сохраняется отношение .

Пусть в некоторой точке траектории и . При таких начальных условиях угол в любой точке траектории можно найти с помощью равенства , откуда

, (2.34)

Если частица движется вдоль силовой линии в сторону возрастающего поля и достигает точки, в которой , то угол становится равным и, следовательно, продольная скорость обращается в нуль. Это означает, что в указанной точке направленна продольного движения изменяется. Отразившись от области сильного магнитного поля, частица уходит обратно в сторону более слабого поля. Таким образом, области сильного поля при некоторых условиях могут играть для заряженных частиц роль своеобразных магнитных зеркал. Через такие зеркала могут проходить только частицы с малым начальным углом наклона . Физический механизм, вызывающий отражение частиц от областей с сильным магнитным полем, достаточно ясен. Здесь проявляется действие диамагнитной силы , которая направлена в сторону слабого поля.

Движение заряженных частиц в магнитных полях при определенных условиях может оказаться финитным, т. е. будет происходить в ограниченной области пространства. Это, в частности, может иметь место из-за отражения частицы от магнитных зеркал.

Пусть напряженность поля на, растает вдоль силовых линий в обе стороны от некоторой средней области, где (рис. 2.5)

 

Рис. 2.5. Осевая линия траектории частцы в поле с магнит-

Частица, находящаяся в этой области, будет заперта в пространстве между магнитными зеркалами (зонами сгущения силовых линий), если угол наклона ее траектории превосходит некоторое минимальное значение, и будет колебаться вдоль ограниченных участков силовых линий. Магнитное поле, в котором можно организовать «длительное• хранение» заряженных частиц, используя эффект отражения от магнитных зеркал (или пробок), можно создать, например, с помощью длинного прямого соленоида, плотность намотки в котором увеличивается при приближении к торцам. Роль гигантской магнитной ловушки в природе выполняет магнитное поле Земли, удерживающее заряженные частицы в районе так называемых радиационных поясов.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Частицы, оказавшиеся в ловушке с магнитными зеркалами, совершают не только колебательные движения вдоль силовых линий. В поле с искривленными силовыми линиями они будут также дрейфовать перпендикулярно к .(см. рис. 2.5). Однако такой дрейф не приведет к уходу частиц из ловушки, так как инвариантность при наличии дрейфа не нарушается. В отсутствие электрического поля и при постоянном во времени магнитом поле частица может ускользнуть из ловушки только в результате удачного для нее столкновения с какой-либо другой частицей.

В качестве другого примера рассмотрим траектории заряженных частиц в винтовом тороидальном поле. Такое поле создается в системах для получения высокотемпературной плазмы, используемых в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу. В зтом случае магнитное поле есть суперпозиция двух полей: магнитного поля , создаваемого током, текущим вдоль кольцевого плазменного витка, и продольного магнитного поля внешнего происхождения, замкнутые силовые линии которого параллельны току (рис. 2.6). При этом и радиус поперечного сечения плазменного витка, в котором происходит движение частиц, мал по сравнению с радиусом кольца . Предполагается, что имеет место симметрия по отношению к главной оси тороидальной системы.

 

Рис. 2.6.Тороидальное винтовое магнитное

Рис. 2.7. Проекция траектории поле частицы в тороидальном поле

на плоскость х, у

Для описания траектории частицы в винтовом тороидальном поле введем координаты , и (рис. 2.7). Осевая линия кольцевого тока пересекает плоскость чертежа в точке , где . Координата определяет угол поворота вокруг главной оси тороида. Предположим далее, что - зависит только от . Продольное магнитное поле обратно пропорционально расстоянию до главной оси тороидальной системы и при определяется равенством

, (2.35)

где — напряженность продольного поля в точке .

В рассматриваемой магнитной системе движение центра ларморовской окружности частицы будет складываться из перемещения вдоль силовой линии со скоростью и магнитного дрейфа со скоростью - Нетрудно показать, что если соблюдается условие , то влиянием на дрейфовую слагающую скорости можно пренебречь. В этом случае дрейфовая скорость направлена по оси и равна

, (2-36)

где — неизменная величина вектора скорости частицы. Поскольку , а согласно (2.35) мало изменяется вдоль силовой линии». то также испытывает лишь небольшое изменение при движении частицы и, следовательно, можно считать в первом приближении постоянной величиной. Слагающие результирующей скорости движения по осям и определяются выражениями

, (2.37)

где .

Уравнение траектории в плоскости имеет вид

(2.38).

или

. (2.39)

Следует различать два разных класса траекторий. К первому из них принадлежат траектории так называемых пролетных частиц, у которых вектор скорости составляет не слишком большой угол с вектором , вследствие чего они свободно перемещаются вдоль силовых линий. Ко второму классу относятся траектории так называемых запертых частиц. У таких частиц угол наклона скорости к направлению магнитного поля относительно велик, и поэтому они колеблются вдоль ограниченных участков силовой линии между областями с более сильным полем. Поскольку напряженность магнитного поля вдоль силовой линии изменяется относительно мало, то в силу адиабатического постоянства отношения ларморовская скорость любой частицы испытывает относительно малые колебания вдоль траектории. В частности, для запертых частиц должна в любой точке траектории иметь значение, близкое к результирующей скорости . Определим с помощью уравнения (2.39) форму траектории для пролетных и запертых частиц.

Для того чтобы не усложнять вычислений, рассмотрим траектории таких пролетных частиц, у которых продольная скорость в любой точке траектории не слишком мала по сравнению с , т. е. движение частицы не очень сильно замедляется в областях с максимальным значением (при , близких к ). При указанном условии ввиду практической неизменности значение относительно слабо изменяется при движении частицы. Следовательно, правую часть уравнения (2.39) можно в первом приближении считать величиной постоянной. Обозначим ее . Нетрудно убедиться, что . Действительно,

,

где — ларморовский радиус частицы в поле тока — величина, по общему условию достаточно малая. Заметим, что и практически не зависит от . Из (2.39) следует, что . Если пренебречь членами второго порядка малости относительно , то (2.39) можно привести к виду . Это уравнение окружности, центр которой смещен на расстояние относительно осевой линии винтового магнитного поля (рис. 2.8). При своем движении частица отклоняется от силовой линии на расстояние

 

Рис, 2.8. Траектории пролетных частиц

 

Рис. 2.9. Траектории запретных частиц

,

где — ларморовский радиус в результирующем магнитном поле. При •соблюдении условия это отклонение может в несколько раз превысить ларморовский радиус, но оно остается малым по сравнению с . Следовательно, пролетные частицы с не слишком •малой хорошо удерживаются в винтовом поле. Более детальный анализ показывает, что это имеет место для любых пролетных частиц.

Выясним теперь поведение запертых частиц. В этом случае и продольная скорость сильно изменяется вдоль траектории, обращаясь в нуль в точках отражения от области с более сильным полем (рис. 2.9), между которыми происходит колебание частиц. (В плоскости частица колеблется между точками и ). В данном случае в уравнении (2.39) правая часть уже не является постоянной величиной. Из адиабатической инвариантности следует, что

,

где — абсцисса точки отражения*. Дрейфовую скорость в этом случае также можно считать практически постоянной. Интегрируя (2.39) с учетом указанной зависимости для , получаем

.

Здесь — значение угла в точке отражения. На рис. 2.9 изображена форма траектории в проекции, напоминающая банан. Как нетрудно убедиться, смещение для запертых частиц значительно превосходит смещение для пролетных частиц (в отношении, пропорциональном для двух противоположных предельных случаев). Следует отметить, что компенсация дрейфа при движении запертых частиц происходит в результате того, что точки поворота траектории и расположены симметрично относительно экваториальной плоскости плазменного витка. Такое расположение точек поворота будет иметь место только при наличии аксиальной симметрии по углу . В противном случае траектории могут стать незамкнутыми, что должно ухудшать удержание частиц в магнитной системе рассматриваемого типа, которая может служить простейшим примером «замкнутой магнитной ловушки». В идеальном случае частицы могут уходить из такой ловушки только в результате кулоновских столкновений друг с другом.

Вопрос о влиянии кулоновских столкновений на время удержания частиц и сохранение тепловой энергии в замкнутых ловушках будет обсуждаться ниже (см. § 2.17). Здесь мы ограничимся только одним замечанием по указанному поводу. Поскольку при своем движении в магнитном поле запертые частицы сильнее отклоняются от линии поля, то кулоновские столкновения быстрее выбрасывают их из магнитной ловушки. Для иллюстрации сравним рис. 2.10,а и б. На рис. 2.10,а показана проекция траектории частицы в однородном магнитном поле до и после столкновения с другой частицей, сопровождающегося относительно небольшим изменением вектора . Смещение происходит на расстояние порядка доли ларморовского радиуса.

На рис. 2.10,6 показано, как изменяется форма траектории запертой частицы при столкновении в точке , которое приводит к небольшому повороту вектора скорости с изменением знака . В этом случае траектория смещается по радиусу на расстояние

.

Поскольку и , то смещение запертой частицы при столкновении в винтовом поле во много раз превосходит смещение частицы при столкновении в неискривленном магнитном поле и одинаковых значениях импульса и напряженности магнитного поля.