Раздел 2
Простые портфельные сделки.
В предыдущей главе мы подробно рассмотрели простейшие сделки, характерной особенностью которых, является участие в таких сделках активов только одного вида.
Хотя на практике такие сделки весьма распространены, значительно чаще приходится рассматривать ситуации, когда инвестор обладает не одним, а несколькими видами активов. В этом случае говорят, что он обладает портфелем активов. Даже если он приобретал эти активы по отдельности, совершенно ясно, что для инвестора определяющим является финансовый результат, обусловленный поведением всех имеющихся в его распоряжении активов. Таким образом, необходим анализ поведения портфеля активов. Эта глава посвящена такому анализу в рамках однопериодной модели. Иными словами считается, что инвестор формирует портфель актива в начале некоторого инвестиционного периода (открывает портфельную сделку), и реализует активы из портфеля в конце периода (закрывает сделку). Такие сделки мы будем называть простыми портфельными сделками.
Перейдем теперь к подробному анализу портфельных сделок..
2.1 Простые портфельные сделки.
Простая портфельная сделка – это однопериодная сделка с набором ( пакетом) активов.
Временные параметры простой портфельной сделки те же что и в простейшей сделке
- t0 - начальный момент сделки,
- t1 - конечный момент сделки,
- Т = t1 - t0 - срок сделки.
Важнейшим финансовым параметром простой портфельной сделки является ее портфель - набор активов участвующих в сделке, с указанием абсолютных или относительных их количеств. Задавая портфель, инвестор указывает абсолютную или относительную позицию по каждому активу из заданного набора активов, участвующих в сделке.
Портфели активов и их представление. Имеется несколько способов описания портфеля активов сделки:
1) Указываются активы и их количество.
2) Указываются активы и величина денежных средств, вкладываемых в каждый актив
3) Указывается относительная доля общего инвестируемого капитала, вкладываемая в каждый актив.
Для формального описания этих способов обозначим через
A = {A1, A2,..., An}
- набор (пакет) активов участвующих в портфельной сделке.
Тогда первый или абсолютный способ состоит в задании позиционного вектора
z = (z1, z2,..., zn)
где zk - позиция инвестора в сделке по активу Ak, k = 1, 2, …, n.
Заметим, что в портфельных сделках типы позиции по различным активам могут отличаться друг от друга, так что по одним активам позиция может быть длинной (инвестор покупает их), а по другим - короткой (инвестор берет взаймы и продает их). Содержательно можно считать, что выручка от продажи взятых взаймы активов идет на покупку дополнительных единиц активов в длинной позиции. Напомним, что длинная позиция представляется положительным числом, а короткая – отрицательным.
Пример 2.1 Пусть в момент открытия портфельной сделки цены акций IBM и GM равны $100 и $50 соответственно. Инвестор покупает 20 акций IBM и 10 акций GM. В этом случае набор (состав) активов
A = {IBM, GM}
а представляющий (начальный) портфель сделки вектор имеет вид
z0 = (20, 30).
При этом инвестор вложил в сделку
K0 = 20 × $100 + 30 × $50 = $3500
собственных средств.
С другой стороны, если инвестор открывает сделку продажей 30 акций GM и покупкой
20 акций IBM, то портфель сделки будет иметь вид
z0 = (20, -30).
Для финансирования (открытия) такой сделки инвестору необходим начальный собственный капитал
K0 = 20 × $100 - 30 × $50 = $500.
Заметим, что владея $500, он может купить лишь 5 акций IBM, тогда как на покупку 20 штук ему необходимо $2000, дополнительные $1500 инвестор получает от продажи 30, взятых в кредит, акций GM. █
В простых портфельных сделках, абсолютные позиции (т. е. компоненты вектора z) инвестора по активам не меняются в течение периода сделки (следовательно, неизменным остается и представляющий портфель вектор z). В дальнейшем при изучении многопериодных сделок, структура портфеля будет меняться, например инвестор может продать одни активы и купить другие, реинвестировать текущую прибыль, вложить дополнительные средства ит. п. Все эти операции приводят к изменению структуры портфеля и, значит, вектора z. Но мы будем считать, что в каждый момент времени структура портфеля определена и представляется зависящим от времени вектором
z(t) = (z1(t), z2(t),..., zn(t))
или, в индексных обозначениях
zt = (z1, t, z2, t,..., zn, t)
где zk(t) = zk ,t – число единиц актива Ak , входящих в портфель в момент t.
Стоимостное представление портфеля. Два других способа представления портфеля зависят от цен активов, участвующих в сделке, а поскольку цены активов, как правило, постоянно меняются, то эти представления непосредственно зависят от момента времени. Пусть
Pt1, Pt2, …, Ptn,
цены активов в момент t ( Ptk = P(Ak , t) –цена актива Ak в момент t). Тогда вектор
z(t) = (z1(t), z2(t),..., zn(t))
определяет и стоимости позиций по каждому из активов Ak :
Sk(t) = zk(t)P(Ak , t), k = 1, 2, …, n.
Набор (вектор) S(t) этих стоимостей
S(t) = (S1(t), S2(t), …, Sn(t))
- есть второй способ представления портфеля (в момент t).
Пример 2.2 Так, для приведенного выше примера 1, вектор z0 = (20, 30) в начальный момент времени порождает вектор
S0 = ($2000, $1500),
а вектор z0 = (20, -30) - вектор
S0 = ($2000, -$1500)
- начальных стоимостей позиций по акциям IBM и GM соответственно. █
Алгебраическая сумма стоимостей позиций
S(t) = S1(t) + S2(t) + …+ Sn(t)
представляющая собой разность суммы средств, вложенных в покупку акций из длинных позиций и суммы выручки от продажи акций из коротких позиций, есть собственный капитал K(t) инвестора, вложенный в портфель в момент t:
K(t) = S(t).
Не следует путать обозначение S(t) (полужирный шрифт) вектора стоимости позиций, представляющего портфель, с обозначением S(t) алгебраической суммой стоимостей позиций (скалярная величина).
Портфель называется инвестиционным в момент t, если его капитал положителен (K(t)>0), и кредитным, если он отрицателен (K(t)<0). Если капитал равен нулю (K(t) = 0), то портфель называется нейтральным. Портфель с ненулевым капиталом называется собственным.
Оба начальных портфеля из примера 1 - собственные, причем оба инвестиционные. С другой стороны начальный портфель z = (-20, 30) из акций IBM и GM, с теми же ценами
будет кредитным с отрицательным начальным капиталом (долгом) в
K0 = - 20 × $100 + 30 × $50 = - $500.
Относительное (весовое) представление портфелей. Предыдущие два способа задания портфеля – абсолютные, в первом случае указываются количество единиц активов, с соответствующими знаками, во втором – денежные суммы. В финансовом анализе наиболее распространен третий, относительный способ задания портфеля, с помощью (относительных) весов активов, равных отношению стоимости позиции по данному активу к собственному капиталу портфеля в момент t. Таким образом, относительный способ представления портфеля сводится к заданию вектора весов
w(t)= (w1(t), w2(t),…, wn(t))
где
wk (t) = Sk(t) / K(t) = Sk(t) / S (t)
относительный вес актива Ak в портфеле в момент t. Поскольку по определению
S(t) = S1(t) + S2(t) + …+ Sn(t)
то сумма весов всех активов всегда равна 1:
w1(t) + w2(t) +…+ wn(t) = 1. (2.1)
Равенство (2.1) называется основным портфельным ограничением (условием). Оно выделяет портфели среди всевозможных n –мерных арифметических векторов – произвольных наборов из n чисел.
Содержательно вес актива в портфеле означает долю собственного капитала инвестора вложенного в этот актив. Важно понимать, что даже если абсолютная структура портфеля не изменяется с течением времени, то в силу возможного изменения цен активов, стоимость позиций активов, капитал и относительные веса активов в портфеле могут со временем меняться.
Пример 2. Начальные (т. е. вычисленные по начальным ценам) вектора весов для акций IBM и GM из примера 1 имеют следующий вид:
для вектора z0 = (20, 30), соответствующий (начальный) вектор весов равен
w0 = ($2000 / $3500, $1500 / $3500) = (4/7, 3/7),
для вектора z0 = (20, -30) -
w0 = ($2000 / $500, - $1500 / $500) = (4, -3),
для вектора z0 = (-20, 30) -
w0 = (-$2000 / -$500, $1500 / -$500) = (4, -3).
Во всех случаях сумма весов (компонент) равна 1. █
2.2 Анализ и доходность простых портфельных сделок.
Разобравшись с понятием портфеля, вернемся к анализу простых сделок. Теперь мы дать точное определение простой сделки: это однопериодная портфельная сделка, с набором активов A1, A2,..., An и неизменяемым в течение периода сделки ее портфелем z. Портфель z называемым портфелем сделки.
Параметры простой портфельной сделки. Простая сделка полностью описывается:
своими временными параметрами
- t0 - начальный момент сделки,
- t1 - конечный момент сделки,
- Т = t1 - t0 - срок сделки.
набор активов
A1, A2, ..., An ,
портфелем сделки
z = (z1, z2,..., zn)
финансовыми параметрами активов: начальными ценами
P01, P02 ,…, P0n,
( P0k = P(Ak , t0) – начальная цена актива Ak.), конечными ценами
P11, P12 ,…, P1n,
( P1k = P(Ak , t1) – конечная цена актива Ak.), а также текущими доходами активов
I1, I2, ,…, In
где Ik = I(Ak, t0,t1) – текущий доход актива Ak. за период сделки.
Временные параметры сделки, параметры активов и вектор z – основные параметры простой портфельной сделки. Они определяют другие ее финансовые параметры:
вектор начальных стоимостей позиций:
S0 =(S01, S02 ,…, S0n),
где S0k = z(Ak )×P(Ak , t0) = zk × P0k –начальная стоимость позиции по активу Ak. Этот вектор представление портфеля сделки в денежных единицах в момент ее открытия.
Сумма компонент вектора S0 , т. е.
S01 + S02 +…+ S0n
представляет собой начальную стоимость S0 портфеля, мы будем предполагать ее равной начальному собственному капиталу инвестора K0. Иными словами мы будем считать, что этот капитал полностью инвестируется в начальный момент сделки. Формально это условие задается равенством
K0 = S0= S01 + S02 +…+ S0n (3.2)
смысл которого очевиден – суммарные затраты на открытие длинных позиций (покупку активов) равны собственным начальным средствам инвестора и выручке от продажи активов при открытии коротких позиций.
Аналогично вектору стоимости начальной позиции сделки определяется вектор стоимости конечной позиции сделки
S1 =(S11, S12, …, S1n),
где S 1k = z(Ak )×P(Ak,t1) = zk × P1k –конечная стоимость позиции по активу Ak. Ему соответствует конечная стоимость портфеля
S1 = S11 + S12 +…+S1n, (3.3)
Разность начальной и конечной стоимостей портфеля
DS = S1 - S0 = DS1+ DS2 +…+ DSn ,
представляет собой ценовой доход сделки. Поскольку очевидно, что
DS = S1 - S0 = DS1+ DS2 +…+ DSn ,
где DSk = S1k – S0k = zk (P1k – P0k) – ценовой доход по активу Ak, то ценовой доход сделки равен (алгебраической) сумме ценовых доходов активов из портфеля сделки.
Сумма текущих доходов активов
I = I1 + I2 + … + In, (3.4)
где Ik = zkI(Ak, t0,t1) – текущий доход актива Ak , представляет собой текущий доход сделки.
Наконец сумма ценового и текущего доходов
TI = DS + I (3.5)
называется ее полным доходом. Поскольку
TI = DS + I = (DS1+I 1 ) + (DS2 + I2)+…+ (DSn + I n ) = TI 1 +TI2 +…+ TI n
то полный доход сделки равен сумме полных доходов активов за ее период.
Все указанные параметры – абсолютные параметры сделки. Выше мы ввели относительный способ представления портфеля с помощью вектора весов активов. Вектор весов
w0 = (w1, w2,…, wn),
определяемый начальными ценами активов, где
wk = S0k /K0
- доля начального капитала, инвестируемая в актив Ak. Поскольку по условию
K0 = S01 + S02 +…+ S0n
то для вектора весов выполняется основное портфельное соотношение (условие)
Вектор начальных весов активов, т. е. вектор w0 называется относительным портфелем сделки. Часто о нем говорят просто как о портфеле простой сделки, но всегда следует помнить, что в этом случае речь идет о начальных весах активов и в отличие от абсолютного вектора z, который не изменяется в течение периода сделки, вектор весов с течением времени может меняться.
Доходность простых портфельных сделок. Ценовой, текущий и полный доходы сделки – абсолютные характеристики эффективности простой портфельной сделки.
Относительными характеристиками эффективности инвестиционной сделки, т. е. сделки с положительным начальным инвестированным капиталом являются
Ценовая доходность портфеля
r (p) = DZ/K0 (3.6)
Текущая доходность портфеля
r (с) = I/K0 (3.7)
Полная доходность портфеля
r = ТI/K0 (3.8)
Доходность простой портфельной сделки часто называют доходностью портфеля за период равному периоду сделки.
Для кредитных сделок, т. е. для сделок с отрицательным начальным капиталом, эти показатели являются характеристиками не доходности, а стоимости (кредитной процентной ставки) сделки. Если в случае инвестиционной сделки инвестор стремится максимизировать (при прочих равных условиях) показатель r (полную доходность), то в случае кредитной сделки, лицо ее осуществляющее (должник) стремится минимизировать этот показатель.
Наконец для нейтральной (несобственной) сделки, т. е. сделки с нулевым капиталом, эти показатели вообще неопределенны.
Основная теорема о доходности портфеля. Существует линейная связь между доходностью портфеля и доходностями активов участвующих в сделке. Эта связь выражается широко используемой в финансовом анализе формулой
rp = r1w1 + r2w2+ …+ rnwn (3.9)
или в сокращенном виде
Таким образом, доходность (или кредитная ставка) портфеля за период равна взвешенной сумме доходностей, составляющих портфель активов. Важно также помнить, что веса активов в формуле (3.9) определяются по их начальным стоимостям, т. е. по ценам в начале инвестиционного периода.
Все доходности, о которых говорилось выше – это доходности за период сделки! Как и в случае простейших сделок, доходности простых портфельных сделок можно нормировать, т. е. приводить к базовому периоду, например году. Для нормирования доходностей портфельных сделок применяются обе стандартные схемы – простых и сложных процентов. Если r доходность портфеля (или портфельной сделки) то простая нормированная
(например годовая) доходность равна
yпр = r /T,
а эффективная (сложная нормированная)
yef = (1+ r)1/T –1.
Пример 2.4.
Рассмотрим портфели из примера 1. Пусть начальная цена акций IBM - $100, акций - GM - $50. Конечная цена этих акций $78 и $60 соответственно. Наконец, пусть по этим акциям в течение периода сделки были выплачены дивиденды $10 по акциям IBM и $5 по акциям GM. Найдем параметры сделок. Срок сделки будем считать равным 1 кварталу.
Решение
Для сделки с портфелем z = (20, 30) имеем вектор стоимости начальных позиций
S0 =(20×$100, 30×$50) = ($2000, $1500),
начальная стоимость портфеля
S0 = $2000 + $1500 = $3500.
Таким образом - это инвестиционная сделка. Вес акций IBM в портфеле равен
wIBM = 2000/3500 = 4/7 ,
а вес акций GM
wGM = 1500/3500 = 3/7 ,
вектор весов портфеля
w =(4/7; 3/7).
Вектор конечной стоимости позиции
S1 =(20×$78, 30×$60) =($1560, $1800),
конечная стоимость портфеля
S1 = $1560 + $1800 = $3360,
ценовой доход
DS = $2400 - $3360 = - $140,
текущий доход сделки
I = 20 × $10 + 30 × $5 = $200 + $150 = $350,
полный доход
ТI = $350 - $140 = $210.
Ценовая доходность портфеля
r (p) = -140/3500 = -0,04 или 4%
Текущая доходность портфеля
r (с) = 35/3500 = 0,1 или 10%
Полная доходность портфеля
r портф. = 210/3500 = 0,06 или 6%.
Полная доходность акций IBM равна
rIBM = [($78 - $100) + $10]/$100 = - 0,12 или -12%,
а акций GM
rGM = [($60 - $50) + $5] / $50 = 0,3 или 30%.
Легко видеть, что выполняется равенство
r портф. = wIBM rIBM + wGM rGM
поскольку
0,06 = 4/7× (-0,12) + 3/7 × 0,30
Наконец простая годовая доходность сделки равна
yпр = 0,06/ (1/4) = 0,24,
или 24%, а эффективная годовая
yэф = (1+ 0,06)4 –1 = 0,2625
или 26,25%.
С другой стороны для сделки с портфелем z = (20, -30) вектор начальных стоимостей позиций
S0 =(20×$100, -30×$50)=($2000, -$1500),
и начальная стоимость портфеля
S0 = $2000 - $1500 = $500.
Это также инвестиционная сделка. Начальный вес акций IBM в портфеле будет равен
wIBM = 2000/500 = 4,
а акций GM
wGM = -1500/500 = -3 ,
и, значит начальный вектор весов (относительный портфель)
w0 = (4; -3).
Вектор стоимости конечной стоимости позиций
S1 =($1560, -$1800),
конечная стоимость портфеля
S1 = $1560 - $1800 = - $240,
ценовой доход
DS = - $240 - $500 = -$740,
текущий доход сделки
I = $200 - $150 = $50,
полный доход
ТI = -$740 + $50 = -$690.
Ценовая доходность портфеля
r (p) = -740/500 = -1,48 или 148%
Текущая доходность портфеля
r (с) =50/500 = 0,1 или 10%
Полная доходность портфеля
r = -690/500 = -1,38или -138%.
Легко видеть, что и в этом случае выполняется равенство
r портф. = wIBM rIBM + wGM rGM
поскольку
-1, 38 = 4 × -0,12 + (-3) × 0,3. █
3.5 Учет комиссионных налогов и инфляции.
Проведенный выше анализ портфельных сделок не учитывал многих важных факторов. Речь идет, прежде всего, о комиссионных, налогах и инфляции. В портфельных сделках учет этих факторов осуществляется в целом примерно по тем же правилам что и в простейших сделках. При этом в качестве базы для начисления комиссионных и налогов используются агрегированные характеристики сделки. Так на практике комиссионные, конечно, берутся с каждой отдельной операции покупки или продажи порции (лота) активов, но поскольку эти расходы суммируются то при постоянной ставке комиссионных можно считать, что они берутся с суммарного объема всей портфельной сделки. Налоговая база портфельной сделки получается естественно сальдированием соответствующих доходов и расходов сделки. Если налог начисляется на полный доход (без разделения на текущий и ценовой) то сальдируются все доходы и расходы сделки за период. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример 3.9. Найти реальную посленалоговую доходность (за период и эффективную) для сделки из примера 3.7. Ставка комиссионных 2%, а ставка налога 25% . Темп инфляции 8% годовых.
Решение. Будем считать, что налог начисляется на сумму полного дохода без учета его текущей и ценовой компонент.
Выручка от продажи акций 3900 = 120×20 + 50×30
Комиссионные за продажу 78 = 3900 × 0,02
Чистая выручка 3822 = 3900 - 78
Стоимость купленных акций 3800 = 100×20 + 60×30
Комиссионные за покупку 76 = 3800 × 0,02
Затраты на покупку 3876 = 3800 + 76
Ценовой доход (с учетом комиссии) -54 = 3822 - 3876
Полученные дивиденды 200 = 10×20
Выплаченные дивиденды 150 = 5 ×30
Сальдо денежных средств 1250 = 1,5×50×30 – 0,5×100×20
Плата за кредит -125 = 1250×0,1
Текущий доход 175 = 200 – 150 + 125
Полный доход 121 = -54 + 175
Налог 30,25 = 121× 0,25
Чистый доход 90,75 = 121 – 30,25
Инвестированный капитал 1820 = 1750 + 0,02×(2000 + 1500)
Доходность за период 4,99% = 90,75/1820
Реальная доходность за период -2,79% = (0,0499-0,08)/1,08 █
Вопросы и упражнения
Дать определение простой портфельной сделки и ее параметров. Какие способы представления портфелей вы знаете? Неизменность структуры какого портфеля предполагается в простой сделке? Как зависит доходность портфеля от доходности составляющих активов? Как интерпретируется простейшая сделка с маржой в терминах портфельной сделки? Что такое эффективное плечо сделки? Как оно влияет на доходность сделки?Задачи к главе 3.
1. В начале года инвестор купил 20 акций компании А по $50 и 40 акций компании В по $80.
Через три месяца он продал все акции компании А по цене 60 и все акции компании В по $100. За период владения акциями инвестор получил дивиденды: $5 на акцию А и $2 на акцию В. Найдите ценовой, текущий и полный доход полученный инвестором. Рассматривая сделку инвестора как портфельную, укажите три способа представления портфеля этой сделки. Каковы простая и эффективная доходности сделки.
2. По данным прошлых периодов акции А и В имели следующие дивиденды и цены (в $ ):
Акция А | Акция В | |||
Цена в конце года | Дивиденд (выплачен в конце года) | Цена в конце года | Дивиденд (выплачен в конце года) | |
1987 | 22,50 | - | 45,75 | - |
1988 | 16,00 | 2,00 | 35,50 | 3,50 |
1989 | 17,00 | 2,50 | 38,75 | 3,00 |
1990 | 20,25 | 3,00 | 50,75 | 3,50 |
1991 | 17,25 | 2,60 | 42,50 | 4,20 |
1992 | 18,75 | 2,80 | 45,25 | 4,25 |
а) Подсчитайте доходность акций за каждый год.
б) Рассмотрите портфель состоящий из 100 акций А и 200 акций В. Найдите текущий,
ценовой и полный доход этого портфеля за 88-92 гг.
в) Найдите текущую, ценовую и полную доходность портфеля за 88-92 гг.
г) Найдите веса акций этого портфеля для начала каждого года.
д) Проверьте выполнимость соотношения между доходностями акций и портфеля для
каждого года, используя веса, полученные в пункте г).
е) Пусть в начале 1990 года инвестор формирует портфель с вектором весов (0,2; 0,8).
Каковы начальная и конечная стоимость портфеля. Каков ценовой, текущий и полный
доход портфеля. Вычислите доходность портфеля двумя способами: по определению и
используя формулу (3.9).
3. Начальный капитал инвестора $100000. В начале года он формирует портфель из акций А
и В с вектором весов (40%, 60%). Ожидаемая (простая) доходность акций А и В 20% и 24%
годовых соответственно. В конце года инвестор продает все акции. Каков чистый доход
инвестора, если комиссионные составляют 2% и инвестор платит подоходный налог по
ставке 25%. Какова реальная доходность портфеля за период сделки, если инфляция
составляет 12% в год.
4. Инвестор осуществляет полугодовую портфельную сделку с акциями А и В. Вектор
позиций сделки равен (80, -50). Начальные цены акций А и В $50 и $40, а конечные $60 и
$50 соответственно. Дивиденды за период сделки – $4 на акцию А и на $2 акцию В.
Каков начальный капитал инвестора. Каков ценовой, текущий и полный доход сделки.
Найти доходности сделки: за период, простую и эффективную годовую. Как изменятся
показатели доходности, если учесть 2% комиссионных и выплату налогов по ставкам: 10%
на прирост капитала и 20% на текущий доход.
