ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
Исследование движения заряженных частиц в зеркальной магнитной ловушке в условиях электронного циклотронного резонанса на трехмерной численной модели.
Центрированная разностная схема уравнения движения заряженных частиц имеет следующий вид
, (1)
где 
- соответственно заряд и масса покоя электрона, 
- напряженность высокочастотного электрического поля, 
- индукция магнитного поля, 
- временной шаг, верхние индексы обозначают номер временного шага.
Следуя методу, предложенному Борисом, введем 
и 
так, что
, (2)
. (3)
Тогда для перехода от 
к 
можно использовать алгоритм малого числа арифметических шагов и настолько мало арифметических регистров, насколько это возможно в оптимизированной программе движения частиц
(4)
,
где 
, a 
. (5)
Для релятивистского обобщения вместо скорости частицы используется импульс 
.
Конечно-разностный аналог уравнения (1) в безразмерной форме в релятивистском случае имеет вид:
, (6)
где u - импульс электрона в единицах m0c, 
безразмерное электрическое СВЧ поле в момент времени n, bn – безразмерное магнитное поле, нормированное на 
, g - релятивистский фактор, t=wt - безразмерное время, Dt - временной шаг.
Прибавление импульса электрических сил производится без изменений
(7)
(8)
В релятивистком случае схема (4) остается без изменений, за исключением введения релятивистского фактора в выражение (5), которое имеет в безразмерной формке следующий вид:
, (9)
где 
, a 
.
Координаты частицы нормированные на релятивистский радиус циклотронного вращения электрона 
пересчитываются в соответствии с равенством
, (10)
где 
. Эта процедура обратима и приводит к погрешности второго порядка в определении траектории частицы.
Последовательность реализации схемы Бориса:
1. Прибавление половины импульса электрических сил к импульсу частицы в момент времени n-1/2
(11)
2. Вращение заряженной частицы в магнитном поле
(12)
.
3. Прибавление второй половины импульса электрических сил.
(13)
4. Пересчет координат частицы
(14)
ЗАДАНИЕ.
Создать программу для изученя движения заряженных частиц по схеме Бориса:
1. В однородном магнитном поле. Магнитное поле направлено вдоль оси Z.
2. В неоднородном магнитном поле. Магнитное поле имеет вид 
.
3. В скрещенных E и B полях.
Оценить точность сохранения энергии заряженной частицы, радуса циклотронного вращения. Сравнить полученные результаты с аналитическими расчетами.
Дополнение.
Геометрическая трактовка схемы Бориса
Для решения релятивистского уравнения движения электронов можно использовать следующую центрированную разностную схему:
, (15)
где 
, 
, 
- номер шага по времени.
Уравнение (15) может быть разрешено как система трех линейных уравнений для проекций вектора 
. Борис предложил использовать более простой метод решения уравнения (15), основанный на специальном преобразовании вектора скорости. Введем новые переменные 
, 
посредством соотношений
, (16)
. (17)
Подставляя (16), (17) в (15), получим уравнение в котором отсутствует электрическое поле :
. (18)
Соотношение (18) описывает процедуру получения вектора посредством вращения вектора на некоторый угол 
. Из рисунка 1 видно, что
.
В случае произвольного направления векторов и удобно произвести переход от к в два этапа. Сначала можно получить вектор 
, перпендикулярный векторам 
и 
,
где вектор 
определяется следующим образом:
.
После этого вектор может быть получен с помощью преобразования
,
где вектор 
связан с вектором соотношением
.
Он параллелен и его величина определяется условием 
.
Перейдем к компьютерным безразмерным переменным
, 
,
, 
,
где 
- пространственный шаг численного интегрирования уравнений Максвелла.
В этих переменных схема Бориса для решения уравнений движения может быть представлена в следующем виде:
,
,
,
,
,
где 
, 
, 
, 
.
