Некоторые старинные задачи

«Величие человека –

- в его способности мыслить».

Б. Паскаль

( 1623 – 1662 )

Некоторые старинные задачи.

1.  В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, еще более тонкая, - в три часа. Узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполнят бассейн. (Ананья из Ширака, армянский математик VII В. )

Решение. За 6 часов первая труба наполнит 6 таких водоемов, вторая – 3, а третья – 2, всего 11 водоемов. Значит, три трубы вместе наполнят один водоем за 6 \ 11 часа.

2.  Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (Магницкий.)

Ответ : За 35 дней.

3.  Вол съел копну одним часом, а конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа. Сколько бы они скоро, все три – вол, конь и коза – ту копну съели, сочти. ( Математические рукописи XVII в. )

Решение. За 12 часов вол съест 12 копен, конь – 6, коза – 4, всего 22 копны. Поэтому одну копну вол, конь и коза вместе съедят за 6\11 часа.

4.  Собака усмотрела в 150 саженях зайца ( 1 сажень ≈ 2,13 м ), который перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен; спрашивается, в какое время собака догонит зайца. ( Задачник Войтяховского.)

Ответ: за 15 минут.

Решение задач с конца.

5.  У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: « Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдавать мне по 24 копейки». Три раза проходил лодырь через мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Ответ: 21 копейка.

6.  Один биолог открыл удивительную разновидность амеб. Каждая из них через минуту делится на две. В пробирку биолог кладет одну амебу, и ровно через час вся пробирка оказывается заполненной амебами. Сколько потребовалось бы времени, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее положили вначале не одну амебу, а две?

Ответ : 59 минут.

Задачи на составление уравнений и их систем.

7.  30 пирожных стоят на 3 рубля дороже, чем 40 пирожков. Те же 30 пирожных стоят на 2 рубля 10 копеек дороже, чем 50 таких же пирожков. Сколько стоят одно пирожное и один пирожок?

Ответ : пирожное стоит 22 копейки, а пирожок 9 копеек.

8.  На три склада доставлен груз. На первый и второй склады доставлено 400 тонн, на второй и третий – 300 тонн, а на первый и третий – 440 тонн. Сколько тонн груза было доставлено на каждый склад в отдельности?

Ответ : 1 - 270 т., 11 – 130 т, 111 – 170 т.

9.  Поезд проходит мост длиной 450 метров за 45 секунд, а мимо столба – за 15 секунд. Вычислите длину поезда и его скорость.

Ответ : Длина поезда 225 м, скорость его 54 км \ ч.

10.  Яша идет от дома до школы 30 минут, а брат его Петя – 40 минут. Петя вышел из дома на 5 минут раньше Яши. Через сколько минут Яша догонит Петю?

Ответ : Через 15 минут.

11.  Для экскурсии нужно было собрать определенную сумму денег. Если каждый участник экскурсии внесет по 7 р. 50 к., то на расходы не хватит 44 р., а если же каждый внесет по 8 р., то останется 44 р. сколько всего экскурсантов?

Ответ : 176 экскурсантов.

12.  У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько сестер и сколько братьев в этой семье?

Ответ : 4 брата и 3 сестры.

13.  Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 р. и кафтан, но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойные платы с кафтаном ; он же даде ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был. (Магницкий.)

Ответ : 4р. 80 коп.

14.  На памятнике древнегреческому математику Диофанту имеется надпись : «Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни эаняло детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекло половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался ». Сколько лет жил Диофант?

Ответ : 84 года.

15.  Из множества чистейших цветков лотоса третья была принесена в дар Шиве, пятая – Вишну, шестая часть – Солнцу. Одну четвертую всех цветков получил Бхавани, а оставшиеся шесть цветков были даны высокочтимому учителю. Скажи, сколько было цветков лотоса? (Индусская задача.)

Ответ : 120 цветков.

16.  Из некоего роя пчел одна третья опустилась на цветы кадамба, одна пятая – на цветы шилиндха. Утроенная разность этих двух чисел полетела, чтобы сесть на цветы кутайи, и осталась одна пчела, которая носилась в воздухе, привлекаемая одновременно очаровательным благоуханием жасмина и пандануса. Скажи, сколько было пчел? (Индусская задача ).

Ответ : 15.

17.  Отец сказал сыну : «10 лет назад я был в 10 раз старше тебя, а через 22 года я буду только в два раза старше тебя». Сколько лет теперь отцу и сколько сыну?

Ответ : 50 и 14 лет.

Переливания

18.  Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5 литров, набрать из водопроводного крана 4 литра воды?

Ответ : можно, сначала нужно отлить 2 литра в трехлитровый сосуд.

19.  Имеются два сосуда емкостью 9 литров и 4 литра. Как с их помощью набрать из бака 6 литров воды? ( Жидкость можно сливать обратно в бак )

Ответ : следует в сосуд, емкость которого 4 литра, набрать 1 литр воды.

Арифметическая викторина.

·  На какое число нужно разделить 2, чтобы получить 4 ? (1\2)

·  Когда делимое и частное равны между собой? (Когда делитель равен 1 ).

·  Запись шестизначного числа такова, что одинаковы первая и четвертая цифры, вторая и пятая, третья и шестая. Делится ли это число : а) на 7, б) на 11, в) на 13 ? (Делится на 7, 11, 13 )

·  К данному трехзначному числу дважды приписывают точно такое же число и полученное число делят на данное. Каким будет частное? ( 1 001 001 ).

·  Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом? А двух? А четырех? (Сумма двух последовательных чисел может быть простым числом, в остальных случаях – составное число.)

·  Существует ли простое число, являющееся четным? ( 2 – простое число ).

·  Какой цифрой оканчивается сумма: 1216 + 2346 + 166 ? ( 3 ).

·  Какой цифрой оканчивается обычная запись числа : а) 666, б) 333, в) 77 ? ( а) 6, б) 3, в) 3 ).

·  В десятичной записи числа 73 цифры и все они единицы. Делится ли это число на 18 ? ( Не делится )

·  Какую цифру нужно приписать к числу 10 справа и слева, чтобы получилась запись числа, делящегося на 72 ? ( 4 )

·  Если к числу прибавить 6, то оно разделится без остатка на 8. Чему равен остаток от деления этого числа на 8 ? (2)

·  1\3 от 1,5 некоторого числа равна 50. Какое это число? ( 100 )

·  Как с помощью одного знака неравенства можно записать, что число а больше -2, но меньше 2 ? ( / а / < 2, или а2 < 4 )

·  Каждое из трех данных натуральных чисел разделили на сумму их и получившиеся числа сложили. Что получилось?(1)

·  Сколько гектаров в оном квадратном метре? ( 0,0001 га )

·  Из двух селений одновременно на встречу друг другу выехали два велосипедиста : первый со скоростью 20 км\ч, второй – 15 км\ч. каким будет расстояние между ними за 2 ч до встречи? ( 70 км, если велосипедисты ехали по прямолинейной дороге )

·  Для устройства прямолинейной изгороди вкопали 100 столбов с расстоянием между осями соседних столбов в 3 м. Какой длины получится изгородь? ( 297 )

·  Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько в одной стопке тетрадей больше, чем в другой? ( На 20 тетрадей )

·  За книгу заплатили 60 рублей и еще 1\3 стоимости ее. Сколько стоит эта книга? ( 90 к. )

·  Половина от половины числа равна половине. Какое это число? ( 2 )

·  На третий этаж дома ведет лестница в 36 ступеней. Сколько ступеней ведут на шестой этаж этого дома? (Счет ступеней начинается с уровня пола первого этажа, и число ступеней между каждыми двумя соседними этажами одинаково. ) ( 90 ступеней )

·  Наполненный доверху водой сосуд имеет массу 5 кг, а заполненный наполовину – 3 кг 250 г. Сколько воды вмещает сосуд? ( 3, 5 л. )

·  Скорость течения реки 2 км \ ч. На сколько скорость плывущего по течению катера больше скорости его при движении против течения ( собственная скорость катера остается неизменной ) ? ( На 4 км \ ч )

·  Товарный поезд имеет длину 1 км и движется со скоростью 50 км \ ч. За какое время поезд пройдет тоннель длиной в 1 км? ( За 2, 4 мин. )

Веселые вопросы.

·  В одной семье два отца и два сына. Сколько это человек? ( Дед, отец, сын. Всего трое )

·  Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу ; первый их пункта А со скоростью 20 км \ ч, второй из пункта Б со скоростью 15 км \ ч. Который из велосипедистов будет ближе к пункту А в момент их встречи ?( Велосипедисты встретятся на одном и том же расстоянии от пункта А ).

·  В семье 5 сыновей и у каждого есть сестра. Сколько детей в этой семье? (6 )

·  Блокнот с оберткой стоят 11 рублей. Сам блокнот на 10 рублей дороже обертки. Сколько стоят блокнот и обертка в отдельности? ( 10,5 руб. и 0,5 руб. )

·  Часы с боем отбивают один удар за 1 с. Сколько времени потребуется часам, чтобы они отбили 12 ч? ( 11 с. )

·  Три курицы за три дня снесут три яйца. Сколько яиц снесут 6 куриц за 6 дней? А 4 курицы за 9 дней? ( 36, 24 )

·  2\3 числа равняются 3 \ 5 его. Какое это число? ( 0 )

·  Чему равно произведение последовательно взятых целых чисел, начинающихся числом -5 и оканчивающихся числом 5 ? ( 0 ).

·  Как можно истолковать равенства : а) 19 + 23 = 18, б) 9 + 8 = 5, в) 12 + 12 = 0, г) 7 × 3 = 9 ?( На языке часов )

· Одно яйцо варят 4 минуты. Сколько минут нужно варить 5 яиц? ( 4 мин. )

·  Половина – треть числа. Какое это число? ( 1,5 )

·  Сколько будет трижды сорок и пять? (3 × 45 = 135, или 3 × 40 + 5 = 125 ).

·  Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвое больше прошедшей? ( 8 часов )

·  Сколько раз нужно к наибольшему однозначному числу прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трехзначное? (10 раз )

·  Когда полусумма двух положительных чисел равна их разности? (Когда одно из чисел больше другого в три раза ).

·  Когда произведение двух чисел равно их частному? (когда одно из чисел равно 1 или -1)

·  Кем было предложено обозначать отношение длины окружности к ее диаметру буквой π (пи) ? ( Леонардом Эйлером (в 1736 году) и У. Джонсоном (в 1706 году).

·  Кем были предложены знаки умножения и деления « ·», «:» ? (Немецким математиком Лейбницем )

·  Когда в нашей стране была введена метрическая система мер в качестве обязательной? (14 сентября 1918 г. Советом Народных Комиссаров под председательством )

·  Заглавия каких литературных произведений начинаются с чисел 3, 20,12, 80 000 ?

·  Какой русский писатель окончил физико – математический факультет университета? ( )

Рациональные числа.

·  Запишите и вычислите разность между наибольшим двузначным числом и противоположным ему числом.

·  Вычесть из числа - 2 такое число, чтобы получилось число, противоположное уменьшаемому.

·  Пусть а и в - числа либо противоположные, либо равные. В каком случае а – в = 0 ? а – в = 2 а? а – в = - 2в

·  При каких значениях множителей произведение ав обращается в нуль?

·  Записать в клетках квадрата числа -1,+2, -3, -4, +5, -6, - 7, +8, - 9 так, чтобы их произведения по всем горизонталям, вертикалям, и диагоналям были отрицательными.

+2	- 1	+4
- 3	- 5	- 7
+6	- 9	+8

·  Числа 2,4,8,16,32,64,128,256,512 записать в клетки квадрата так, чтобы их произведения по всем вертикалям, горизонталям и диагоналям были равны.

22	27	26
29	25	21
24	23	28