Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»
Институт математики и информационных технологий
Кафедра математического анализа и теории функций
УТВЕРЖДЕНО УЧЕНЫМ СОВЕТОМ ИМИТ Протокол № от «___» _________ 2013 Директор института математики и информационных технологий __________________________ «___» ___________ 2013 | РЕКОМЕНДОВАНО КАФЕДРОЙ МАТФ Протокол № от «___» __________ 2012 Заведующий кафедрой МАТФ __________________________ «___» ___________ 2012 |
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Изопериметрические задачи
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Основной образовательной программы по направлению подготовки: бакалавров
010200 Математика и компьютерные науки
Число зачетных единиц 2
Составители рабочей программы:
Доц. каф. МАТФ
к. ф.-м. н.
Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины
1.1. Цель преподавания дисциплины – введение в современные методы (на примере изучения симметризационных методов) в геометрической теории функций в пространстве; ознакомление студентов с применением геометрических методов для установления изопериметрических неравенств, широко применяемых в современной теории функций. Эти методы применяются как на кафедре математического анализа ВолГУ, так и в других исследовательских центрах.
1.2. Задачи изучения дисциплины: научить студента использовать симметризационные методы для построения различного рода изопериметрических неравенств и их приложения к решению различных экстремальных задач.
1.2.1. Студент должен знать: понятие преобразования множеств, метрики Хаусдорфа, сходимости по этой метрике, определение k-мерной штейнеровой и сферической симметризации (основные их частные случаи), непрерывность сферической и штейнеровой симметризации, сохранение связности при преобразованиях
симметризации, понятие сходимости преобразования множества, индуктивные свойства симметризации, сглаживающие свойства симметризаций, неравенства Брунна-Минковского в евклидовой и сферической геометрии. Связь между сферической и штейнеровой симметризациями. Понятие конденсатора и p-емкости, его свойства. Определение симметризованной функции. Поведение емкости конденсатора при симметризации, изопериметрическое неравенство для емкости кольцеобразного конденсатора. Понятие кольца Греча и Тейхмюллера и их свойства. Применение симметризационных методов к установлению экстремальных свойств
этих колец.
1.2.2. Студент должен уметь: осмыслить постановку той или иной математической задачи, подобрать специальную литературу, посвященную задаче, сделать сообщение по теме, разобравшись в методах, применяемых в литературе, указав основные понятия и важнейшие факты.
1.3. Методы, изложенные в спецкурсе, в дальнейшем используются в спецкурсах, связанных как с квазиконформными отображениями, так и в спецкурсах по нелинейным задачам в теории уравнений
математической физики.
Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины
«Изопериметрические задачи»
№ п/п | Исходный уровень компетенций, знаний и умений, которыми должен обладать студент, приступая к изучению данной дисциплины |
ОК - 8 | Способность и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям |
ПК-3 | Умение формулировать результат |
ПК-4 | Умение строго доказать утверждение |
ПК-7 | Умение грамотно пользоваться языком предметной области |
ПК-8 | Умение ориентироваться в постановках задач |
ПК-16 | Выделение главных смысловых аспектов в доказательствах |
Раздел 2. Содержание учебной дисциплины
"ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К АНАЛИЗУ"
2.1 Объем дисциплины и виды учебной работы
Курс | 3 |
Семестры | 5 |
Всего аудиторных занятий, час | 34 |
Лекции, час | 34 |
Лабораторные занятия, час | |
Практические (семинарские) занятия, час | |
СРС, всего часов по учебному плану | |
Орг. СРС | 4 |
Экзамен | |
Зачет | 1 |
Номер темы | Название темы изучаемой на лекции | Количество часов отводимых на леции по теме |
1. | Преобразование множеств и их основные свойства | 2 |
2. | k-мерная штейнерова симметризация и k-мерная сферическая симметризация и их непрерывность изнутри и извне | 2 |
3. | Сохранение связности при симметризации, регулярность и цикличность преобразования множества | 2 |
4. | Композиция) (k-1)-мерных симметризаций, сходимость (k-1)-мерных симметризаций к k-мерной симметризации | 6 |
5. | Сглаживающее свойство одномерных симметризаций, связь между одномерной сферической и штейнеровой симметризациями | 4 |
6. | Сглаживающее свойство k-мерных преобразований, неравенство Брунна-Минковского | 2 |
7. | Конденсаторы и p-емкость, свойства p-емкости | 2 |
8. | Симметризация функций и ее свойства | 2 |
9. | Поведение p-емкости при симметризации | 2 |
10. | Определение колец Греча и Тейхмюллера и их основные свойства | 2 |
11. | Модуль кольца и его связь с емкостью экстремальных свойства колец Греча и Тейхмюллера | 4 |
12. | Изопериметрические неравенства для некоторых других интегральных функционалов, полученных симметризационными методами | 4 |
Раздел 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ
Методические указания [1] - [6].
3.2. Организуемая самостоятельная работа студентов.
Доказательство некоторых простых упражнений, формулируемых по ходу чтения спецкурса. Подготовка докладов по теме спецкурса в течение семестра.
3.3. Список основной литературы:
1. Изопериметрические неравенства в математической физике, ГИФМЛ., М. 1962
2. , Залгалллер неравенства, Л.: Наука, 1980.
3. Лекции об объеме, площади и изопериметрии, ГИФМЛ, 1966.
4. Неравенства, ИЛ. 1948.
5. Квазиконформные отображения в n-мерном пространстве и жесткость пространственных гиперболических форм, Математика, сб. переводов ин. статей, 1972, 16, 5, 105-157.
6. Ботвинник основной частоты пространственных областей в Rn. Нелинейные проблемы анализа. Материалы 1-й научной конференции ВолГУ, 1963.
