Вариант1.
1. В середине длинной, цилиндрической трубки с глицерином находится небольшой воздушный пузырек. Если поставить трубку вертикально, то пузырек будет двигаться с постоянной по величине скоростью V0=10м/с. Трубку расположили горизонтально и разогнали ее вдоль длинной стороны до скорости V = 20м/с. Где остановится пузырек? Куда он сместится, если скорость плавно увеличить до V1 = 30 м/с? Где он окажется после того, как трубку затормозят?
Возможное решение:
Рассмотрим движение пузырька в вертикально расположенной трубке. Он будет подниматься под действием силы Архимеда: FА= ρgV (1) где ρ - плотность глицерина, V - объем пузырька, g - ускорение свободного падения.
Так как глицерин достаточно вязкая жидкость, то на пузырек будет действовать сила вязкого трения, пропорциональная скорости движение пузырька n - F c = −β n (2) , гдеβ - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров пузырька и вязкости глицерина.
Таким образом, на основании второго закона Ньютона можно записать
ma =FА - FС –mg= ρgV - βn - mg (3), где m - масса пузырька.
Очевидно, что она крайне мала, поэтому можно положить ее равной нулю. Тогда из (3) следует, что подъем пузырька будет проходить с постоянной скоростью
(4), где k - постоянный для данного пузырька коэффициент.
Рассмотрим движение пузырька в горизонтальной трубке, в системе отсчета, связанной с самой трубкой. Во время разгона эта система отсчета является неинерциальной, на пузырек и на глицерин действует сила инерции. Так как сила инерции пропорциональна массе тела, то ее действие полностью подобно действию силы тяжести, и уравнения, описывающие движение в такой системе отсчета, будут аналогичны уравнениям движения в поле тяжести, если только ускорение свободного падения заменить на величину ( −a ), где a - ускорение системы отсчета относительно какой-нибудь инерциальной системы. Поэтому во время разгона на пузырек будет действовать сила Архимеда, направленная в ту же сторону, что и ускорение трубки (глицерин будет стремиться сместиться в противоположную сторону под действием силы инерции, заставляя тем самым двигаться пузырек). Скорость пузырька относительно трубки можно найти из уравнения аналогичному уравнению (4): v =ka(5), то есть скорость смещения пузырька пропорциональна ускорению трубки.
Учитывая, что
( v1 - скорость трубки в инерциальной системе отсчета), а в начальный момент разгона скорость пузырька равна нулю, получим ∆x =kv1
Таким образом, смещение пузырька пропорционально скорости трубки, причем это смещение не зависит от характера изменения скорости (можно сказать, что такой прибор работает как измеритель скорости - спидометр). Расчеты по формуле (6) приводят к следующим результатам: при скорости 20 м/с смещение равно 2,0 см, при скорости 30 м/с смещение 3,0 см; если трубку затормозить, то пузырек вернется в исходное положение.
2. В герметичном сосуде постоянного объема находится двухатомный газ. В результате значительного повышения температуры часть молекул диссоциировала на атомы, и удельная теплоемкость всего газа возросла на 8%. Какая часть молекул диссоциировала? Считайте содержимое сосудов смесью идеальных газов. Теплоемкость одного моля двухатомного идеального газа при неизменном объеме CV= 2,5R.
Возможное решение:
Пусть масса всей смеси m, а диссоциировавших молекул – ( km), где k – искомая часть диссоциировавших молекул. Молярная теплоемкость одноатомного газа: 
двухатомного:
, где µ – молярная масса одноатомного газа.
Для удельной теплоемкости смеси имеем: 
По условию C = C2⋅ 108 .
С учетом (1) и выражений для C1 и C2 найдем: k = 0 4.
Таким образом, диссоциация увеличивает удельную теплоемкость газа, а, поскольку его масса при этом не меняется, запас внутренней энергии также возрастает (за счет внешнего источника)
3. 
В схеме на рисунке после установления токов мгновенно перебрасывают ключ из положения 1 в положение 2. Считая катушки L1 и L2 идеальными, определите количество теплоты, которое выделится на резисторе R
Возможное решение:
До переключения силу тока в катушках найдем из условия:
(В этом случае ток через R не идет, т. к. катушки шунтируют его). После переключения ток в катушке 1 сохранит свое значение, двигаясь по замкнутому контуру, а в катушке 2 спадет до нуля. Таким образом, в тепло перейдет энергия этой катушки: 
.
Теплота выделится на резисторе R, т. к. во втором положении ключа участок цепи с резистором r и источником тока разомкнут.
4. 
Однородный стержень положен на два быстро вращающихся блока, как показано на рисунке. Расстояние между осями блоков l = 20см, коэффициент трения между стержнем и блоками µ = 0 18. Найдите период колебания стержня.
Возможное решение:
Причина возникновения колебаний становится явной из рисунка. Сдвинем однородной стержень на расстояние x, например, вправо. Поскольку центр тяжести (точка О на рисунке) стержня при этом приблизится к правому цилиндру, то сила реакции опоры r N1 станет по величине больше r N2
Уравнения (1) достаточно легко можно получить из условия равновесия стержня по вертикали (движение отсутствует) и отсутствия его вращения относительно центра масс. Так как цилиндры вращаются навстречу друг другу, то силы трения скольжения F1 и F2 также направлены навстречу друг другу. Их геометрическая сумма направлена к точке начального равновесия О и равна:
Таким образом, уравнение движения стержня принимает хорошо известный вид: ma=- kmg 
(3) Уравнение (3) описывает гармонические колебания с периодом 
Интересно отметить, что приведенный пример гармонических колебаний не нуждается в традиционном критерии малости: в однородном гравитационном поле мы должны побеспокоится только о том, чтобы центр тяжести стержня не вышел за цилиндр:
x (4)
При этом величина амплитуды ограничивается только нашими «техническими» возможностями при демонстрации, а не принципиальными теоретическими положениями, как это было в случае математического и пружинного маятников.
5. Два металлических шара радиусы, которых r1 и r2 соединены тонкой проволокой. Второй шар окружен концентрической проводящей оболочкой, находящейся на расстоянии d от его поверхности, и соединенной с землей. Шарам сообщается заряд Q. Как распределится этот заряд между шарами? Считать, что d << r2 , и расстояние между шарами значительно больше их радиусов.
Возможное решение:
Перераспределение зарядов (т. е. электрический ток) в любой системе прекратится после выравнивания потенциалов всех ее частей. Строгий расчет приведенной системы (с учетом электроемкости провода, взаимного влияния и т. д.) в общем случае достаточно сложен, однако особенности данной схемы дают нам возможность считать, что взаимным влиянием шаров можно пренебречь, а на поверхности концентрической проводящей оболочки будет индуцирован заряд обратной по знаку и равный по модулю заряду Q2 шара r2 (как в плоском конденсаторе). Пусть заряд шара r1 будетQ1 . Тогда по закону сохранения заряда:
Q=Q1 + Q2 (1)
 |
Потенциал первого шара
Второго шара
Вывод: электроемкость сферического конденсатора значительно возрастает, что позволяет ему сконденсировать на себе практически весь электрический заряд.
Вариант 2.
1. Для поддержания в комнате постоянной температуры Tx = 210C используется кондиционер. Температура наружного воздуха Tн = 420C. Насколько нужно увеличить мощность, потребляемую кондиционером от сети, чтобы после включения в комнате электрической лампы мощностью P = 150Вт температура не изменилась? Считайте, что кондиционер является идеальной тепловой машиной, работающей по обращенному циклу Карно.
Возможное решение:
Для тепловой машины, работающей по идеальному тепловому циклу (циклу Карно) с температурами нагревателя TH и холодильника TX, коэффициент полезного действия можем рассчитать по формуле:
Если цикл обратить (то есть за счет мощности электродвигателя P забирать в единицу времени QX теплоты у комнаты и отдавать QH ), то соотношения между механической и тепловой мощностями останутся прежними. Понятно, что в первом случае нужно забирать из комнаты на 150 Вт меньше, чем после включения лампы:
2. 
На непроводящий гладкий стержень, изогнутый под прямым углом, насажаны две бусинки равных масс m, несущие заряды противоположных знаков Q1 и Q2. В начальный момент бусинки неподвижны и находятся на расстоянии d и 2d от угла. Отпустим их. Где окажется вторая бусинка в тот момент, когда “ближняя” бусинка доедет до вершины угла?
Возможное решение:
Пусть в некоторый момент одна бусинка находится на расстоянии x1 от угла, вторая – на расстоянии x2.
Так как |F1|= |F2|, то из второго закона Ньютона следует:
то есть отношение ускорений равно отношению расстояний до вершины угла.
За некоторый промежуток времени (малый) бусинки сместятся на
(1) и в новом положении соотношение
(1) сохраняется.
Следовательно, обе бусинки доберутся до угла одновременно.
3. Найдите сопротивление между точками A и B в цепи, изображенной на рисунке. Сопротивление каждого из ребер составляет R. Цепь бесконечна в обе стороны. 
Возможное решение:
При подключении источника напряжения между точками А и В схема оказывается симметричной относительно плоскости, содержащей ребра АА1 и ВВ1 . Следовательно, ребра СD и ЕF являются эквипотенциальными и их можно «выбросить», так как ток по ним не течет. После этого схема упрощается. 
Полученная схема состоит из 2 бесконечных цепочек, соединенных параллельно друг другу и резистора R AB = R, параллельного им. Для вычисления сопротивления бесконечной цепочки r используем известный прием: сопротивление не поменяется, если уберем одно звено.
Тогда: 
И сопротивление всей цепи:
Решая уравнения совместно получаем: 
4. Тонкий металлический стержень массой m и длиной l подвешен горизонтально на двух легких проводящих нитях длиной a. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле индукции B. По стержню протекает постоянный электрический ток I. Найти период малых колебаний стержня.
Возможное решение:
Прежде всего определим новое положение равновесия стержня (при включении магнитного поля). Под действием силы Ампера нить отклониться на угол α такой, что
Можем считать, что система находиться в некотором «эффективном поле r g* », где вектор r g* ориентирован под углом α к r g и имеет величину
Тогда искомый период найдем по аналогии
5. На расстоянии a = 20см от точечного источника света помещена собирающая линза диаметром d = 1см с фокусным расстоянием F1 = 5см, а на расстоянии b = 50см от источника – собирающая линза диаметром D = 10см с фокусным расстоянием F2 = 20см. Главные оптические оси линз совпадают, источник находится на оси. На каком расстоянии за большой линзой нужно поместить экран, чтобы световое пятно на нем имело минимальный внешний диаметр? Найдите диаметр этого пятна
Возможное решение:
После преломления лучей в малой линзе изображение источника оказывается между линзами на расстоянии: 
А после преломления в большой линзе: L = 140см.
Из анализа чертежа видно, что малая линза не полностью заслоняет большую, а значит, часть лучей от источника сразу преломляется в большой линзе. Причем после подобного преломления изображение оказывается за большой линзой на расстоянии
Минимальный внешний радиус пятна достигается при положении экрана в точке А. Пусть расстояние до плоскости А равно x. Тогда
где D и d – диаметры линз. Из подобных геометрических рассуждений определим и диаметр пятна
Рекомендации к оцениванию:
все задания школьного этапа олимпиады 11 класса оцениваются в 1 балл;
максимальный балл за работу-5
