Общее домашнее задание №2.
Тема: Текстовые задачи
Знания:
Задачи на движение: движение по прямой, по окружности, по реке. Задачи на работу, соотношение, связывающее производительность труда, время и работу. Задачи на числовые зависимости. Понятие концентрации вещества в смеси. Процентное содержание вещества в смеси. Формула сложных процентов.Решите следующие текстовые задачи из школьного курса математики:
№1. Путь от пункта А до пункта В, по которому едет велосипедист, состоит из трех участков, причем длина первого в 6 раз больше длины третьего участка. Найти среднюю скорость движения на всем пути АВ, если известно, что она равна скорости движения на втором участке, на 2 км/ч меньше скорости движения на первом участке и на 10 км/ч больше половины скорости движения на третьем участке.
Решение. Обозначим 
, первый участок равен 6х км, третий х км (0 < 7x <l); второй участок имеет длину 
км. Если 
- скорость движения на третьем участке, то по условию 
; или 
, скорость движения на втором участке 
, скорость движения на первом участке 
По определению средней скорости движения, время прохождения пути есть 
часов. Оно складывается из суммы времен прохождения каждого из трех участков.
Решаем получившееся уравнение и видим, что «лишние» неизвестные сокращаются:
Ответ: 14км/час.
№2. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч, на обратный путь – 15ч. Найти расстояние от пункта В до пункта С, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч.
Решение. Обозначим ВС=l, АВ=80, скорость течения притока v. На путь 80 км вниз по притоку катер затратил 
часов. На путь l км вверх по реке – затратил 
часов, что в сумме составляет 18 часов, т. е. 
.
Аналогично описывая обратный путь, имеем 
.
Решаем получившуюся систему уравнений:
Ответ: 210км.
№3. По окружности, длина которой 100 м, движутся равномерно две точки. Они встречаются через каждые 4 с, двигаясь в противоположном направлении, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Найти скорости этих точек.
Составим систему уравнений:
Ответ: 10м/с и 15м/с.
№4. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч меньше, чем третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое время на вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трех тракторов?
Решение.
Примем величину работы (в данном случае это вспашка всего поля) за единицу. Пусть x ч – время, необходимое для вспашки поля первому трактору, y ч – второму и z ч – третьему. Тогда 
– производительность первого трактора, 
– второго и 
– третьего. Так как при совместной работе первого и второго тракторов выполняется 
часть работы в час, а вся работа выполняется ими за 1 ч 12 мин, т. е. за 
ч, то 
Решив, получим (3; 2; 5), (-0,4; -0,6; 2,4). По смыслу задачи x> 1, y> 0 и z> 2. Из найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое решение. При совместной работе трех тракторов производительность составит 
, т. е. 
На вспашку поля тремя тракторами затрачено ч.
Ответ: 31/30 ч.
№5. Найти двузначное число, если известно, что единиц в нем на 2 больше, чем десятков, и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Пусть x десятки, y единицы. Известно, что y=x+2 и что (10x+y)(x+y)=144.
Ответ: 24.
№6. Найти два двузначных числа, о которых известно следующее: если к первому числу приписать справа второе число, а затем еще цифру 0, то получится пятизначное число, которое при делении на квадрат второго числа дает в частном 39, а в остатке 575; если же к первому числу приписать справа второе и затем из составленного таким образом числа вычесть другое число, полученное приписыванием справа первого числа ко второму, то разность будет равна 1287.
Решение. Пусть x - І число, y - ІІ число.
После приписывания справа числа у к числу х получится четырехзначное число 
, а после приписывания к этому числу справа цифры 0 получится 
, при делении этого числа на число 
в частном получается 39 и в остатке 575, то 
Это первое уравнение составляемой системы уравнений. После приписывания справа двузначного числа х к двузначному числу у получится четырехзначное число 
получаем второе уравнение: . Итак, приходим к системе уравнений
которая имеет два решения: (48;35) и 
. По смыслу задачи x и y - натуральные числа, причем 
и 
, т. е. искомыми являются числа 48 и 35.
Ответ 48, 35
№7. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали одного и другого сорта следует взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?
Решение: Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 - х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%, значит, в х т стали первого сорта содержится х·0,05 т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%, значит, в (140 - х) т стали второго сорта содержится (140 – х)0,4 т никеля. По условию после объединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 140·0,3 т никеля. Но это количество никеля складывается из х·0,05 т, содержащихся в стали первого сорта, и из (140 – х)0,4 т, содержащихся в стали второго сорта.
Таким образом, запишем уравнение х · 0,05 + (140 – х)0,4 = 140 · 0,3,
из которого находим х = 40. Следовательно, стали с 5%-ным содержанием никеля надо взять 40 т, а стали с 40%-ным содержанием – 100 т.
Ответ: 40 т, 100 т.
№8. Влажность свежескошенной травы составляет 80%. Влажность полученного из нее сена равна 10%. Сколько нужно скосить травы, чтобы получить 2 т сена?
Ответ: 9 тонн.
№9. Цену товара сперва повысили на 400%, затем новую цену товара повысили еще на 300%. На сколько процентов нужно теперь снизить цену товара, чтобы получить первоначальную?
X – 100%, стало сперва – x+4x, во второй раз – 5x*3. После последнего повышения цена на товар составила x+4x+15x=20x. Осталось выяснить процент повышения первоначальной цены. Цена была повышена на 20x-x=19x, что составляет 190% от первоначальной цены.
Ответ: 190.
№10. Население страны ежегодно увеличивается на 1/80 своего числа. Через сколько лет
население этой страны удвоится?
Возьмем условно, что население страны составляет 1000 чел.
1000 : 80 = 12,5 чел. в год
1000 : 12,5 = 80 лет нужно, чтобы население этой страны удвоилось.
Ответ: 80.
Дата сдачи: конец ноября 2014 года
