6.5 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим важный для технических приложений случай линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами A и B :
.
Если в этом уравнении f(x)¹ 0, то уравнение называется неоднородным, если же f(x) º 0, то – однородным:
.
В теории дифференциальных уравнений доказана следующая теорема.
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения у равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения 
. и некоторого частного решения 
неоднородного уравнения:
Линейно зависимые и линейно независимые функции. Общее решение однородного уравнения
Для описания общего решения однородного уравнения нам понадобится понятие линейно зависимых и линейно независимых функций.
Определение. Две функции j1 (х) и j2 (х) называются линейно зависимыми, если 
, в противном случае они называются линейно независимыми.
Пример 1. Пусть j1 (х)= sin x, j2 (х)= 2sin x . Эта система функций линейно зависима при любом х.
Действительно, 
.
Пример 2. Пусть j 1 (х) = 
, j 2 (х)= 
.
Эти функции при k1 ¹ k2 являются линейно независимыми, т. к. 
Приведем без доказательства две теоремы, которые используются при отыскании общего решения однородного уравнения.
Теорема. Если функция j1 (х) является решением уравнения, то и функция Сj1 (х) есть решение этого уравнения, где С – некоторая постоянная.
Теорема. Если линейно независимые функции j1 (х) и j2 (х) являются решениями уравнения, то и функция j1 (х)+ j2 (х) есть решение этого уравнения.
Следствие двух последних теорем. Пусть j1 (х) и j2 (х) – два линейно независимых частных решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению. Тогда их линейная комбинация С1j1 (х)+С2 j2 (х) также есть решение этого уравнения. Здесь С1 и С2 – произвольные постоянные.
Определение. Выражение уо. о. = С1 j 1 (х) + С2 j 2 (х), где j 1 (х) и j 2 (х) – линейно независимые функции, называется общим решением однородного дифференциального уравнения.
Таким образом, для отыскания общего решения однородного дифференциального уравнения будем сначала искать его частные решения j1 (х) и j2 (х). Вид уравнения показывает, что частные решения этого уравнения следует искать прежде всего среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным.
Среди элементарных функций этим свойством обладает показательная функция y=j 1 (х) = 
:
=k , =k2 .
Подставив функцию и её производные в дифференциальное уравнение, получим:
или
.
Очевидно, что функция y = тогда и только тогда удовлетворяет дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, когда число k является корнем последнего уравнения.
Алгебраическое уравнение 
называется характеристическим уравнением однородного дифференциального уравнения.
Корни характеристического уравнения:
.
В зависимости от вида корней k1 и k2 получим разные виды общего решения однородного уравнения.
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные
Нет ни кратных, ни комплексных корней. Этот случай возникает, если дискриминант 
> 0. Каждому из этих корней соответствует частное решение дифференциального уравнения:
j 1 (х) = 
, j 2 (х)= 
.
Как было показано, эти решения являются линейно независимыми. И общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде:
Пример.
Найти общее решение для однородного уравнения:
.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
Корни: k1 = 1 и k2 = 2.
Частные решения:
j 1 (х) = 
, j 2 (х)= 
.
Общее решение дифференциального уравнения:
.
2. Корни характеристического уравнения кратные.
(D=0; k = – 
, B =
; k1 = k2 = k ).
Если характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, то ему соответствует не два, а лишь одно решение дифференциального уравнения:
y = ,
Недостающее частное решение в этом случае выбирают в виде j2(x) 
. Подстановкой можно убедиться в том, что при k= – и B = это решение удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению, так как последнее при этом обращается в тождество:
=
+ x – A x +A+ x) 
º 0.
Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения принимает вид:
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение:
;
корни характеристического уравнения: 
.
Общее решение дифференциального уравнения:
.
3. Корни характеристического уравнения разные, но комплексные
(
).
В этом случае выражение для общего решения дифференциального уравнении справедливо, но неудобно, так как содержит комплексные функции вида 
Вместо этих двух решений рассмотрим их линейные комбинации, которые, согласно двум последним теоремам, также будут решениями уравнения
.
Применяя известные формулы Эйлера [1]
,
преобразуем эти выражения:
,
.
Таким образом, паре комплексных сопряженных корней характеристического уравнения 
можно поставить в соответствие пару действительных частных решений дифференциального уравнения 
. Общее решение в этом случае примет вид:
.
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Решение.
Характеристическое уравнение:
.
Его корни:
.
Общее решение дифференциального уравнения:
.
Частное решение неоднородного уравнения
Чтобы найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения, необходимо, согласно теореме, к общему решению однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, прибавить одно какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
Вид частного решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части данного дифференциального уравнения.
Несколько формул для частного решения в зависимости от специального вида правой части неоднородного уравнения и корней характеристического уравнения приведены в нижеследующей таблице.
Таблица 1.− Частные решения неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью
Вид правой части | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения |
1 | 2 | 3 |
|
|
|
Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности __________________________
|
| |
|
Число _________________________
|
________________
|
|
|
. 
:
, 
,
ÎR
, 
, 
1 | 2 | 3 |
| Числа уравнения |
|
Числа __________________________
|
_____________________________
| |
| Числа уравнения |
|
Числа |
|
не являются корнями характеристического
:
не являются корнями характеристического
1 | 2 | 3 |
| Числа уравнения |
|
Числа __________________________
|
_____________________________
| |
| Числа уравнения |
|
Числа |
|
Здесь – многочлены степени m .
Пример.
Найти общее решение неоднородного уравнения:
.
Решение.
Решаем однородное уравнение:
.
Характеристическое уравнение:
,
Корни характеристического уравнения 
вещественные, разные.
Общее решение однородного уравнения:
.
Правая часть заданного уравнения − полином первой степени: 
= 3x и корни характеристического уравнения соответствуют первой строке приведенной выше таблицы.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде полинома первой степени:
где b0 , b1 – неизвестные коэффициенты.
Подставив эту функцию в исходное уравнение, получим:
Последнее равенство должно выполняться для любого x.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x (коэффициент при 
в левой части уравнения равен 
, а в правой − нулю, коэффициент при 
в левой части равен 
, а в правой − трём):
Решение системы:
Частное решение:
Искомое общее решение неоднородного уравнения:
Для определения произвольных постоянных C1, С2 необходимо иметь дополнительные условия, например, начальные, тогда, как и в предыдущих примерах, будет решена задача Коши.
Пусть заданы начальные условия, например, в точке 
:
Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования будут иметь вид:
Решение системы:
Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям:
Задания
Решить уравнения [Задачник по высшей математике: уч. пособие для вузов/ . − М.: Высшая школа, 2003. − 304 с.]:
1. 
(№84, глава 14).
2. 
(№86).
3. 
(№88).
4. 
(№90).
5. 
(№92).
Ответы (установить соответствие):
(№…)
(№…)
(№…)
(№…)
(№…)
