Распространение те-поляризованных волн в неоднородном цилиндрическом волноводе с нелинейностью среды керровского типа

(к. ф.-м. н., доцент)

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ СРЕДЫ КЕРРОВСКОГО ТИПА

г. Пенза, Пензенский Государственный Университет

Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью . В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод неоднородного заполнения с образующей, параллельно оси , и поперечным сечением . Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в виде (см. [1]):

,

,

где – круговая частота, , , , – вещественные искомые функции. Образуем комплексные амплитуды полей ,

Везде ниже множители , будем опускать.

Пусть диэлектрическая проницаемость внутри цилиндра определяется по закону Керра. (см. [5]).

Среда предполагается изотропной и немагнитной, .

Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, то есть собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла

 (1)

   (2)

условиям непрерывности касательных составляющих поля и при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания поля на бесконечности.

Перейдем к цилиндрической системе координат . Тогда уравнения Максвелла примут вид:

, (3)

,   (4)

, (5)

, (6)

,  (7)

. (8)

В случае ТЕ-поляризации предположим [10], что , . В результате уравнения (3) – (8) приведутся к виду

, (9)

, (10)

,   (11)

, (12)

.  (13)

Из (11) и (13) следует, что и не зависят от . Из уравнений (9) и (10) находим

, .   (14)

Подстановка и в (12) дает

 (15)

Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн , где γ – вещественная постоянная распространения волны. Будем предполагать, что – вещественная функция.

Таким образом, (15) может быть переписано в виде

, (16)

где производная означает дифференцирование по . Во внешней области, учитывая, что , получаем уравнение Бесселя

, (17)

где .

Внутри волновода, где , получаем кубическое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

,  (18)

где , . Условия сопряжения на поверхности волновода преобразуются к виду: и , что дает

,  , (19)

где – скачок предельных значений функции в точке . Спектральным параметром задачи является .

Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения , к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать ненулевую, ограниченную и непрерывно-дифференцируемую на полубесконечном полуинтервале и функцию и соответствующие собственные значения такие, что удовлетворяет уравнениям (17) и (18), условиям сопряжения (19)и условиям экспоненциального убывания функции на бесконечности при .

Запишем решение уравнения Бесселя (17) в виде

,     (20)

где – произвольная действительная неисчезающая константа, а – функция Ханкеля. Принимая во внимание условия излучения, выберем решение уравнения в форме

, (21)

где – функция Макдональда. Условия излучения выполняются, потому что экспоненциально, при .

Перепишем нелинейное уравнение (18), в виде

 (22)

и рассмотрим линейное уравнение Бесселя

. (23)

Перепишем последнее в операторной форме

,  . (24)

Используя стандартный метод, построим функцию Грина для краевой задачи

,

 

в виде (см., например, [2])

,

где

,  . (25)

Функция Грина существует при таких значениях параметров, что .

Запишем уравнение (18) в операторном виде

,  . (26)

Используя вторую формулу Грина (см. [4])

   (27)

и, полагая , получаем

Используя уравнение (26) имеем

, (29)

и получаем интегральное представление решения уравнения (18):

,

.    (30)

Принимая во внимание условия сопряжения

,

перепишем уравнение (30) в виде

,, (31)

где

  (32)

и

. (33)

При этом существенно, что не зависит от . Из (31) и условий сопряжения следует дисперсионное соотношение

. (34)

Положим и рассмотрим интегральное уравнение в (см. также [3])

. (35)

Предполагается, что и . Нетрудно видеть, что ядро является непрерывной функцией в квадрате .

Таким образом, справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Линейный интегральный оператор

. (36)

ограничен, вполне непрерывен в и

. (37)

Утверждение 2. Нелинейный оператор

 (38)

является вполне непрерывным на каждом ограниченном в множестве.

Действительно, это следует из утверждения 1 и того, что нелинейный оператор ограничен и непрерывен в .

Для расчета собственных значений и соответствующих им собственных функций предлагается два численных алгоритма.

Реализация первого из них предполагает использование итерационного процесса на основе интегрального представления собственной функции. При использовании этого метода спектральный параметр изначально не фиксируется, а для каждого его значения решается уравнение краевой задачи, решение которого затем подставляется в дисперсионное соотношение.

В формуле итерационного процесса

n = 0,1, … .

полагаем

где - решение .

Дисперсионное соотношение запишем в виде

где

и

Рассмотрим последовательность дисперсионных соотношений

.

 Подстановка нулевой итерации

 в приближенное дисперсионное соотношение дает уравнение

 решениями которого является соответствующее нулевое приближение Первое приближение функции поля внутри волновода достигается путем подстановки нулевых приближений и в формулу итерационного процесса:

Итак, функции

являются первыми приближениями собственных функций соответственно внутри и вне волновода.

Второй численный метод решения подразумевает полное решение поставленной краевой задачи на собственные значения на сетке с заданной точностью .

Сначала выбирается интервал поиска собственных значений, потом определяется шаг деления рассматриваемого интервала и вычисляются промежуточные собственные значения в каждом узле. Для каждого такого значения параметра решается итерационное уравнение, пока собственная функция не будет определена с требующейся точностью. После этого каждая пара собственного значения и соответствующей собственной функции подставляется в дисперсионное уравнение на предмет проверки знака последнего в узле. Заключительным процессом является нахождение интервала разбиения, на концах которого дисперсионное уравнение меняет знак. Полагаем корнем уравнения среднюю точку этого отрезка.

Пусть собственные значения ищутся на отрезке Введем на этом отрезке сетку с узлами , где N удовлетворяет условию , если собственное значение требуется найти с точностью . Вычисляем значения функции в узлах , причем при каждом решаем интегральное уравнение (3) с помощью итерационного алгоритма (1) с требуемой точностью. Далее определяем перемену знака в последовательности чисел . Если , то приближенно полагаем .

Алгоритм метода состоит из следующих шагов:

1. Выбираем значения параметров: радиуса волновода, коэффициента нелинейности, диэлектрической проницаемости среды внутри и вне волновода. В соответствии с выбранными параметрами определяются границы интервала поиска собственных значений спектрального параметра

, таких, что .

3. Определяем шаг поиска решений на каждом интервале:

,

где N – число разбиений интервала.

4. Вычисляем значение параметра в каждом узле:

 где

5. Для каждого значения параметра вычисляем соответствующее значение функции с заданной точностью по формуле итерационного процесса:

.

6. Для каждого вычисленного значения и в k-том узле вычисляем значение дисперсионного соотношения

( )( ),

 которое затем сравниваем с нулем. Затем фиксируем два соседних узла, где происходит перемена знака дисперсионного отношения.

7. Полагаем корнем среднюю точку отрезка, на концах которого была зафиксирована перемена знака.

8. Вычисляем соответствующее значение собственной функции итерациями с требующейся точностью.

 Таким образом, следуя вышеприведенным алгоритмам, можно определить собственные значения и соответствующие им собственные функции, определяющие распространение ТЕ-поляризованных волн в цилиндрическом диэлектрическом волноводе.

Список литературы.

1. Никольский и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978.

2. Stakgold, I. Green's Functions and Boundary Value Problems. – Wiley. 1998. – New York.

3. Треногин анализ. – М.: Наука, 1993.

4. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968.

5. , Куприянова электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой. // Журнал вычислительной математики и математической физики,

2004, т. 44, №10, с. 1850-1860.