Чертёж

в стереометрических задачах

Умение решать стереометрические задачи является одной из важных составляющих, совокупность которых определяет уровень образованности студента. И поэтому очевидным является наличие этого умения у каждого преподавателя. Однако нередко при решении таких задач преподаватель испытывает серьёзные трудности, связанные с построением чертежа.

В данной разработке излагается принцип решения стереометрических задач на вычисление, суть которых сводится к проведению обоснования чертежа рассматриваемой фигуры. Раскрывается сущность этапа обоснования чертежа и даётся иллюстрация его проведения на достаточном числе примеров. Для самостоятельного решения предлагается набор задач с ответами, для каждой из которых указывается, какие элементы чертежа требуют обоснования.

Хорошо известно, что решение большинства геометрических задач начинается с чертежа и что умение строить хороший грамотный чертеж, помогающий решению задачи, является важнейшим элементом геометрической культуры студентов. Особенно важно это при решении стереометрических задач.

Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные задачи, если не освоить принципы и технику построения чертежей пространственных фигур. При этом теория и практика изображения на плоскости фигур, расположенных в пространстве, является необходимым источником для получения навыков в решении таких задач.

Как правило, в задачах средней и повышенной сложности чертёж содержит не только известные студентам фигуры (многогранники, цилиндры, конусы, шары и др.), но и связанные с ними элементы (углы между прямыми и плоскостями, двугранные углы, перпендикуляры к прямым или плоскостям и пр.), а также сочетания различных фигур. Построить чертёж в таких задачах оказывается делом непростым, а иногда и малодоступным для многих студентов из-за недостаточной подготовленности их к этой деятельности.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для построения такого нетривиального чертежа требуется глубоко изучить зависимости между отдельными элементами фигуры, чертёж которой нужно выполнить в задаче, привлечь необходимые теоретические понятия (свойства, признаки, теоремы) и использовать известные правила и свойства изображения на проекционном чертеже пространственных фигур.

Если речь идёт о стереометрической задаче на вычисление, то все это и составляет отдельный этап её решения, который называется обоснованием чертежа. Таким образом, решение стереометрической задачи на вычисление разбивается на два этапа:

1)  этап обоснования чертежа;

2)  вычислительный этап.

Главным из этих двух этапов является первый, после которого второй настолько упрощается, что в ряде случаев его можно проводить устно.

Оказывается, что обоснование чертежа к задаче сводится к обоснованию некоторых отдельных построений, связанных с данной в задаче фигурой, т. е. к обоснованию построения отдельных частей чертежа. При этом каждое локальное обоснование представляет собой анализ к небольшой конструктивной задаче. Как же узнать, в каких задачах следует проводить обоснование чертежа, а в каких можно обойтись без него? Ответ на этот вопрос прост.

Если словесную формулировку задачи можно реализовать в символической записи ( дано - вычислить), то это означает, что чертёж к задаче можно выполнить без обоснования. В таких задачах сразу делается краткая запись условия в символах, выполняется чертёж, а решение состоит только из вычислительных выкладок.

Если же в условии встречаются понятия или их сочетания, для которых нельзя сделать символическую запись по той простой причине, что соответствующих геометрических объектов нет на чертеже основной фигуры, то это признак того, что указанный элемент должен строиться с предварительным обоснованием. Например, угол между прямой и плоскостью можно показать на чертеже только тогда, когда будет построена проекция прямой на эту плоскость, а двугранный угол – когда будет построен его линейный угол.

В задачах, в которых необходим этап обоснования чертежа, можно рекомендовать следующую структуру решения.

1.  Прочесть текст задачи, провести его подробный анализ, вычленить условия и требования и попытаться записать краткую запись условия задачи в символах.

2.  Выявить те ситуации условия, которые необходимо обосновать.

3.  Сделать черновой набросок чертежа ( точнее, тех его элементов, построение которых не требует обоснования).

4.  Провести обоснование построения необходимых элементов чертежа.

5.  Скорректировать черновой чертёж с учётом проведённого обоснования и выполнить беловой чертёж.

6.  Провести вычислительную часть решения.

Вопрос о том, делать ли обоснование чертежа к каждой задаче столь подробно и скрупулезно, как показано далее, записывать ли его устный вариант так же подробно или можно ограничиться более короткой записью, должен решаться каждым учителем индивидуально в зависимости от субъективных условий.

Примеры обоснования чертежа

Задача № 1 (опорная). Доказать, что если:

А) все боковые ребра пирамиды равны между собой или

Б) все боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания,

то вершина пирамиды проецируется на плоскость основания в центр окружности, описанной около многоугольника основания.

Дано: SABC…- пирамида с вершиной S и основанием АВС…; О –ортогональная проекция S на пл. АВС…

Доказать: О –центр окружности, описанной около многоугольника АВС…

Доказательство. А) По условию О –ортогональная проекция вершины S данной пирамиды на плоскость её основания; это означает, что SO (ABC), а следовательно, SO –перпендикуляр к любой прямой из плоскости АВС ( рис.1).

Соединим точку О со всеми вершинами многоугольника основания. Теперь будем иметь SO , SO OB, SO OC, …, ввиду чего SOA, SOB, SOC,… будут прямоугольными. Так как по условию SA= SB= SC=…, то SOA= SOB=SOC=… ( по катету и гипотенузе), откуда ОА=ОВ=ОС=…

Последнее означает, что точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, лежащего в основании данной пирамиды, и потому является центром описанной около него окружности, что и требовалось доказать.

Замечание. А) Доказательство случая а) можно провести короче, если учесть, что отрезки ОА, ОВ, ОС, … являются ортогональными проекциями на плоскость АВС равных наклонных SA, SB, SC,… и потому также равны.

Б) Доказательство случая б) основывается на том, что прямые ОА, ОВ, ОС,… являются проекциями на плоскость АВС прямых SA, SB, SC,… (наклонных по отношению к этой плоскости), откуда на основании определения угла между прямой и плоскостью … - углы, которые образуют боковые ребра пирамиды с плоскостью её основания. По условию эти углы равны, что приводит к равенству треугольников ( …) и последующему равенству отрезков ОА, ОВ, ОС,… а это, в свою очередь, даёт нужный результат.

Задача № 2 (опорная). Доказать, что если:

А) двугранные углы при всех ребрах основания пирамиды равны или

Б) апофемы всех боковых граней пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется на плоскость основания пирамиды в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Дано: SABC…- пирамида с вершиной S и основанием АВС…; О –ортогональная проекция S на плоскость АВС;

…

Доказать: О - центр окружности, вписанной в многоугольник АВС…

Доказательство.

А) Из условия следует, что SO, т. е. SO – высота пирамиды SABC… и потому SO – отрезок перпендикулярный любой прямой, лежащей в плоскости АВС (рис.2)

Опустим из точки О перпендикуляры на все стороны многоугольника АВС…:

ОА1 и соединим основания этих перпендикуляров с вершиной S пирамиды, т. е. проведём отрезки SA1, SB1, SC1,… Тогда по теореме о трёх перпендикулярах будем иметь SA1

Применяя теперь определение линейного угла двугранного угла, получим, что - линейные углы двугранных углов при ребрах АВ, ВС, СD,… основания пирамиды. По условию =…

Рассматривая теперь треугольники SA1O, SB1O, SC1O,…, видим, что они равны ( как прямоугольные, имеющие общий катет SO и равные острые углы)

откуда получаем ОА1=ОВ1=ОС1=…

Последнее означает, что точка О равноудалена от всех сторон основания и, следовательно, является центром окружности, вписанной в него, что и требовалось доказать.

Заметим, что точки А1, В1, С1,… являются точками касания этой окружности со сторонами многоугольника АВСD… .

Случай б) легко доказать по тому же чертежу.

Задача № 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найдите высоту пирамиды.

Из текста задачи видно, что для правильного построения чертежа к ней необходимо обосновать построение изображения высоты пирамиды (точнее, основания высоты, т. е. проекции вершины пирамиды на плоскость её основания) и изображения углов между боковыми ребрами пирамиды и плоскостью основания.

1.  Обоснование чертежа (проводится на черновом чертеже, рис.3).

Пусть SABC - данная пирамида с вершиной S и прямоугольным треугольником АВС () в основании. Предположим, что О –проекция вершины S на плоскость основания, т. е. SO-высота пирамиды.

Выясним, как точка О расположена по отношению к треугольнику АВС. Для этого соединим точку О со всеми вершинами основания. Очевидно, прямые ОА, ОВ, ОС являются проекциями прямых SA, SB, SC на плоскость АВС, откуда следует что - углы наклона боковых ребер пирамиды SABC к плоскости её основания. По условию .

Теперь имеем

(как прямоугольные с общим катетом SO и равными острыми углами), откуда

ОА=ОВ=ОС.

Последнее означает, что точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС и потому является центром описанной около него окружности. А так как по условию АВС прямоугольный, то О –середина гипотенузы АВ.

После проведённого анализа можно выполнить построение чистового чертежа к данной задача (рис.4).

2.  Вычислительная часть

Дано: SABC –пирамида с высотой SO; в , АВ= с; О - середина АВ, .

Найти SO.

Решение. В .Ответ: SO=.

Задача № 4. В правильной треугольной пирамиде двугранные углы при основании равны . Определите полную поверхность пирамиды, если её объём равен V.

1.  Обоснование чертежа

Пусть SABC - правильная пирамида с высотой SO. Это означает, что в основании пирамиды лежит правильный треугольник АВС, центр О которого совпадает с основанием высоты пирамиды. А так как центром правильного треугольника является точка пересечения медиан (высот, биссектрис), то точка О отсекает от каждой медианы одну треть, если считать от основания медианы (рис.5).

Пусть АА1 –одна из медиан АВС. Так как АА1 также и высота, то АА1ВС. Тогда по прямой теореме о трёх перпендикулярах SA1 BC, откуда следует, что SA1A- линейный угол двугранного угла при ребре ВС основания ( по определению линейного угла). По условию SA1A=.

2.  Вычислительная часть

Дано: SABC- правильная пирамида с высотой SO; SA1A=( A1- середина ВС); Vпир= V.

Найти Sполн.

Решение. 1. Обозначим через х сторону основания пирамиды, АВ=ВС=АС =х. Тогда

А) АА1= б) SABC= .

2. В

а) SO= , б) SA1= .

3. Vпир=

Подставляя в полученную формулу выражение S и SO через х, получим уравнение относительно х

.

4. S=.

5. Sполн=Sбок+ Sосн=.

Подставляя в последнюю формулу значение х, найденное в п.3, получим окончательный результат:

Sполн=

Ответ: Sполн=

Задача № 5. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с периметром 2p и углом при основании . Определите объём пирамиды, если её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом .

Необходимо обосновать построение изображения основания высоты пирамиды и построение изображений линейных углов двухгранных углов при ребрах основания пирамиды.

1.  Обоснование чертежа.

Пусть SABC – пирамида с высотой SO, в которой АВС –равнобедренный (АВ=АС, ). Так как все боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то точка О – основание высоты SO этой пирамиды –является центром окружности, вписанной в АВС (задача 2). Но мы знаем, что центр вписанной в треугольник окружности – это точка пересечения его биссектрис АА1, ВВ1, СС1 (рис.6).

По условию АВС –равнобедренный с основанием ВС, поэтому биссектриса АА1 является также высотой и медианой ( на чертеже А1 –середина ВС).

Опустим перпендикуляр из точки О на боковые стороны АВ и АС, ОВ0 ( на чертеже должно быть В0С0║Вс). Соединив точки А1, В0,С0 с вершиной S пирамиды, получим по прямой теореме о трёх перпендикулярах

SA1.

Применяя теперь определение линейного угла двугранного угла, будем иметь - линейный угол при ребре ВС, - линейный угол при ребре ВС, - линейный угол при ребре АС, SC0 –линейный угол при ребре АВ. По условию .

2.Вычислительная часть

Дано: SABC – пирамида с высотой SO; в АВС АВ=ВС, 1, ВВ1, СС1- биссектрисы АВС, О=АА1- линейные углы при ребрах ВС, АС, АВ; .

Найти Vпир.

Решение. 1. В .

2. В

S=pr=p BA1 tg .

BA.

3. S =

4. r= .

5. В

6. S=pr= .

7.  Vпир= .

Ответ: Vпир= .п