Тема: Правильные многогранники

Тема: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Проект разработан для 10 класса на базовом курсе « Геометрия 10-11 класс» по учебнику …..

Выполнили: учащиеся 10 Б класса ГОУ гимназии № 000

Руководитель: учитель математики

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.  Краткая аннотация…………………………………………………….

2.  Введение……………………………………………………………….

3.  Основная часть…………………………………………………………

3.1  Определение правильного многогранника.

3.2  Исследование возможности существований правильных многогранников.

3.3  Свойства правильных многогранников. Теорема Эйлера.

3.4  Философская концепция Платона об устройстве мироздания.

3.5  Теория Кеплера.

3.6  Многогранники в природе.

А) Кристаллы – природные многогранники

Б) Правильные многогранники в живой природе.

3.5  Многогранники в искусстве.

3.6 Архитектура

4. Заключение……………………………………………………………..

5. Библиография…………………………………………………………..

Краткая аннотация

Эпиграф: «Математика есть прообраз красоты мира». И. Кеплер

Тема: “ Правильные многогранники”.

Основная идея проекта:

“Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”. Бертран Рассел

Основной целью проекта является обеспечение углубленного изучения учащимися математики, в частности геометрии; повышения уровня мотивации изучения предмета, создание условий для реализации творческих способностей учащихся; совершенствование навыков школьников в работе с дополнительной литературой, справочниками и другими источниками информации.

При исследовательской работе учащимся предстояло ответить на такие вопросы, как, например:

Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Исследовать возможность существования правильных многогранников.

Что такое Эйлерова характеристика? Какая существует связь между пифагорейско-платоновской теорией пяти стихий и правильными многогранниками. Чем привлекательны многогранники?

Они познакомились с богатой историей, которая связана с таким знаменитыми учеными древности, как Пифагор, Евклид, Архимед. Рассмотрели симметрию природных кристаллов. Создали мультимедийную презентацию проекта Power Point, с целью использования в дальнейшем на уроках геометрии в 10 классах.

И многое - многие другое… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Существуют ли они в природе?

Цели исследовательской работы:

·  Образовательные: Дать понятие правильных многогранников, выяснить сколько их существует, каковы их названия, и где они применяются. Осуществить связь между новым материалом, ранее изученным и изучаемым в дальнейшем. Познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории многогранников. Формирование пространственных представлений учащихся. Способствовать активному овладению учебным материалом, развитию познавательного интереса учащихся;

·  Развивающие: Способствовать овладению основными способами мыслительной деятельности (сравнение, сопоставление, анализ, обобщение); развитие познавательных интересов, развитие самостоятельности. Сформировать и отработать навыки исследовательской деятельности учащихся на содержательном теоретическом материале и специально подобранных практических упражнениях; совершенствовать навыки школьников в работе с дополнительной литературой, справочниками и другими источниками информации. Получить практические навыки в создании мультимедийной презентации проекта Power Point

·  Воспитательные: Всесторонне способствовать развитию устойчивого интереса к математике. Способствовать воспитанию уважительного отношения друг к другу, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности, аккуратности (при оформлении заданий), эстетичности.

2. Вступление

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке.

3. Основная часть. Правильные многогранники.

3.1 Определение.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани равные правильными многоугольниками, в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

3.2 Исследование возможности существования правильных многогранников.

В этом исследовании мы опираемся на свойство плоских углов многогранного угла. (Сумма плоских углов выпуклого многогранника при одной вершине меньше 360о).

Обозначим : -угол правильного многоугольника (грани), n – количество углов при одной вершине

а) Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. = 60о.

Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 60о n < 360o, n < 6, значит

n = 3, 4, 5, т. е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

б) Пусть грани правильного многогранника – квадраты.

Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 90о n < 360o, n < 4, n = 3, т. е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб.

в) Пусть грани - правильные пятиугольники.

Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 108о n < 360o, n < 3, … n = 3 - додекаэдр

г) У правильного шестиугольника внутренние углы:

= 180о * (6 – 2 ) : 6 = 120о 120о n < 360o, n < 3

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

И все-таки самым интригующим свойством правильных тел является то, что их всего 5.

3.3 Свойства правильных многогранников. Теорема Эйлера.

Нами была проделана следующая практическая работа.

Мы рассмотрели пять моделей правильных многогранников. Заполнили таблицу (см. Приложение). Подсчитали количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников. Заполним таблицу. Для всех многогранников подсчитали число В + Г – Р. Получился один и тот же результат: 2.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин, граней и ребер.

В – Р + Г = 2

Число В – Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна 2, а для других многогранников она может принимать значения 0; -2; -4; -6.

Эта формула была «подмечена» Декартом в 1640г., а позже доказал это удивительное соотношение Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков, поэтому формула названа его именем. Она верна не только для правильных, но и для всех выпуклых многогранников.

  Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Современная теория многогранников берет свое начало с его работ.

Из таблицы видно, что у куба и октаэдра одно и тоже число ребер, но у куба столько вершин, сколько у октаэдра граней, и, наоборот, у куба столько граней, сколько у октаэдра вершин. Аналогичные соотношения имеют место для додекаэдра и оксаэдра. Если центры граней октаэдра принять за вершины другого многогранника, то последний будет кубом. Куб и октаэдр называются взаимно двойственными многогранниками. Взаимно двойственными многогранниками будут также додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр двойственен самому себе.

Почему правильные многогранники получили такие имена?

Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка: эдр – грань

4	6	8	12	20
тетра	гекса	окто	додека	икоси

Правильные многогранники имеют большое число элементов симметрии.

Например:

1.Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

2. Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

3. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

3.4 Философская концепция Платона об устройстве мироздания.

Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства.

Эти многогранники носят название «платоновских» тел – по имени древнегреческого философа Платона, в учении которого они играли важную роль.

Во времена пифагорейского союза, а возможно, и в нем самом, в древнегреческой философии родилась концепция 4 стихий – первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли. Согласно некоторым античным источникам, четыре космические стихии были геометризированы самим Пифагором: атом каждой стихии мыслился в виде определенного правильного многогранника. Видимо, это близко к истине, т. к. впоследствии, когда эта идея была блестяще развита Платоном в диалоге «Тимей», это послужило поводом для обвинения Платона в плагиате пифагорейских книг. Попытаемся восстановить, как Платон распределил правильные многогранники по стихиям.

Атомам земли Платон придал форму самого неподвижного и устойчивого многогранника, ибо земля неподвижна и устойчива – это куб.

Атом огня символизировал многогранник, острый, похожий на пламя свечи - тетраэдр.

Вода отличается текучестью, и ее атомы символизировали самый «катящийся» многогранник – это икосаэдр.

Воздух движется в разные стороны и оставшийся многогранник – октаэдр, как бы направленный в разные стороны, символизирует атом воздуха.

Для пятого Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность», додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

Конечно, пифагорейско-платоновская теория пяти стихий Мировоздания вызывает сегодня лишь вежливую улыбку. Но это была одна из первых попыток систематизации знаний.

3.5 Теория Кеплера.

Кеплер Иоганн (Kepler I,1571-1630г) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр.

( «Гармония мира» 1619г.)

И. Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов хорошо согласовались с действительными расстояниями между планетными орбитами

Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.

Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет - именно шесть планет гармонировали с пятью Платоновыми телами.

Однако даже на тот момент эта привлекательная модель имела один существенный недостаток: сам же Кеплер показал, что планеты вращаются вокруг Солнца не по окружностям ("сферам"), а по эллипсам (первый закон Кеплера). Нечего и говорить, что позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

3.6 Многогранники в природе.

А) В кристаллах – природных многогранниках, тесно соединяется математическая строгость и красота реального мира. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.

Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Алмаз – самый дорогой и таинственный камень на Земле. Считается, что кристаллы алмазов обладают огромной энергетикой и являются носителями исторической информации, впитывая ее. В России лучшими друзьями девушек они стали не сразу, а всегда считались камнями царей. Природа алмаза капризна и для того, чтобы камень «заиграл», очень важно, чтобы он побывал в руках опытного гранильщика. Ведь только после огранки алмаз превращается в бриллиант. Поговорка «глаз-алмаз» тоже имеет смысл, т. к. природные алмазы используются в офтальмологии, для изготовления хрусталика глаза. Но, конечно, главное место алмазов – на ювелирном олимпе.

Б) Правильные многогранники в живой природе.

Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Вирусы.

Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра.

Оказалось, что вирусы имеют различные, иногда весьма причудливые формы и довольно сложно построены. По внешнему виду многие вирусы можно опознать сразу. Зафиксировав на фотоснимках разные вирусы, морфологи (так именуют ученых, изучающих строение объектов) создали целую галерею портретов подданных царства вирусов. Эта коллекция оказалась весьма полезной для охотников за вирусами. Располагая таким альбомом, можно было быстро определить, какой именно вирус попался в руки ученому.

3.7 Многогранники в искусстве.

Правильные многогранники на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать пытливые умы симметрий, мудростью и совершенством форм.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. Архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Он любил мастерить каркасы правильных тел и преподносить в дар знатным особам, возможно, пытаясь таким образом приобщить сильных мира сего к философским размышлениям о красоте вечных истин.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр.

  Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих его работах. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе, лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом, нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Форму додекаэдра, по мнению древних, имела  ВСЕЛЕННАЯ, т. е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра. На переднем плане картины Сальвадор Дали «Тайная вечеря (1955)» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра

3.8 Архитектура.

В связи с правильными многогранниками возник вопрос: можно ли ими заполнить пространство так, чтобы не было просветов? Оказалось, что есть только один способ заполнить пространство многогранниками только одного вида. Для этого нужно выбрать куб. В детстве каждый из нас, играя в кубики, много раз проделывал опыт такого «заполнения пространства». Но оказывается, что если использовать Платоновы тела 2-х видов: тетраэдры и октаэдры, то ими можно заполнить пространство таким образом (решетка Фуллера) – эта изящная решетка нашла широкое применение в строительных конструкциях, созданных архитектором . Система Фуллера создается из алюминиевых трубок, образующих ребра своеобразных сот, ячейки которых имеют форму правильных тетраэдров и октаэдров. Знаменитые сетчатые перекрытия Фуллера – это решетчатые конструкции, в которых максимальная жесткость достигается при минимальных массе и стоимости.

 4. Заключение.

С многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни – это древние Египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп, прочные конструкции – шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека.

 Теория многогранников – современный раздел математики, имеющий практическое приложение в алгебре, теории чисел, в естествознании, в областях прикладной математики – линейном программировании, теории оптимального управления.

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Льюис Кэрролл

5. Библиография:

1.  «Геометрическая рапсодия», , М, «Знание», 1976 год.

2.  «В мире многогранников», , М, «Просвещение», 1995 год.

3.  «Квант» № 5, 1989 год

4.  «История математики в школе, IX – X классы», , М, «Просвещение», 1983 год.