Заочная олимпиада по физике 2013 г. Тур 1

Заочная олимпиада по физике 2013 г. Тур 1

1.1. На первую четверть пути автомобиль затратил половину времени движения. На вторую треть пути он затратил четверть времени движения. Оставшийся участок автомобиль ехал со скоростью . Определите среднюю скорость движения автомобиля, а также скорости на каждом участке.

Решение.

По определению средняя скорость , где s – весь путь автомобиля, t – время его движения.

Скорость на первом участке .

Второй участок длиной автомобиль прошел со скоростью

Третий участок длиной со скоростью –

Отсюда . Подставляя числовые значения, получим

.

1.2. На выезде из города установлен светофор, который открывается на 1,0 минуту и затем закрывается на 2,0 минуты. Такой режим работы приводит к тому, что автомобили выезжают из города «пачками» - группами. Оцените, на каком расстоянии от города исчезают (расплываются) группировки. Считайте, что город покидают автомобили различных марок, скорости которых лежат в диапазоне от 70 до 90 км/ч.

Решение.

«Группировки» исчезнут в тот момент, когда самый быстрый автомобиль второй группы догонит самый медленный автомобиль первой группы. Отметим, что вторая группа стартовала спустя после первой. Связав систему координат со светофором, получим:

.

Тогда .

1.3. Когда хвост ползущего Удава поравнялся с пальмой, под которой сидела Мартышка, она, решив измерить длину Удава, побежала вдоль Удава и положила банан рядом с его головой. Затем Мартышка побежала обратно и положила второй банан рядом с кончиком хвоста. Потом пришел Попугай и измерил расстояния от пальмы до каждого из бананов, которые оказались равными 48 и 24 попугаев. Найдите длину Удава в попугаях, а также, во сколько раз быстрее бегает Мартышка, чем ползает Удав. Задачу решить графически.

Решение.

Задачу удобно решать воспользовавшись графическим представлением движения. На рисунке представлены графики движения головы и хвоста Удава, а также движение Мартышки от хвоста к голове Удава и обратно к хвосту. Начало координат совпадает с пальмой под которой сидела Мартышка. На графике отмечены расстояния от пальмы до головы Удава - , когда ее догнала Мартышка, и от пальмы до хвоста Удава , когда Мартышка поравнялась с ним на обратном пути. Очевидно, что Мартышка пробежала от пальмы до головы, а затем и до хвоста удава расстояние равное , в то время как Удав за то же время прополз путь равный . Полагая скорость Мартышки равной , а скорость Удава , получим следующее соотношение скоростей:

Зная соотношение скоростей несложно оценить длину Удава. Пусть время, за которое Мартышка добегает от пальмы до головы ползущего Удава, равно . Тогда расстояние . С другой стороны это же расстояние можно представить как сумму длины Удава и расстояния, которой проползет Удав за это время - . Из двух полученных соотношений можно составить систему уравнений, и исключив время определить длину Удава в попугаях.

Отсюда

Ответ: Длина Удава 32 Попугая.

Мартышка бегает в 3 раза быстрее, чем ползает Удав.

1.4. Два спортсмена бегут одинаковое время. Один бежит первую половину времени с ускорением а, вторую с ускорением 2а. Другой спортсмен – наоборот, т. е. первую половину времени с ускорением 2а, вторую – с ускорением а. Кто из них пробежит большее расстояние? Кто будет иметь большую скорость в конце дистанции?

Решение.

Для первого спортсмена в конце первого этапа имеем: . В конце второго этапа .

Для второго спортсмена в конце первого этапа . В конце второго этапа

.

Таким образом, мы видим, что в конце дистанции спортсмены имеют одинаковые скорости, но пробегают разные расстояния. Это связано с тем, что второй спортсмен большее время двигался с большей скоростью.

Задача становится наглядной, если построить график зависимости скорости от времени. Расстояния, которые пробегают спортсмены, равны площадям фигур под графиком.

1.5. Въезжая на поврежденный участок шоссе, каждый автомобиль уменьшает скорость от v1 до v2. Какой должна быть дистанция между автомобилями, чтобы они не сталкивались? Длина каждого автомобиля L.

Решение.

Пусть х – расстояние между автомобилями. Первый автомобиль должен выехать на поврежденный участок со скоростью v2, проехав свою длину l, за то же время, в течение которого второй автомобиль успеет уменьшить скорость от v1 до v2 на расстоянии х.

. Ускорение найдем из условия, что .

Подставив значение а, получим .

1.5. Из одной точки в горизонтальном направлении, в противоположные стороны брошено два тела со скоростями и . Через какой промежуток времени угол между скоростями тел составит 900? Какое расстояние будет между телами к этому моменту времени?

Решение.

Так как тела бросали в горизонтальном направлении, то вертикальная составляющая скорости у обоих тел будет одинакова . Пусть, спустя время t, скорость первого тела образует угол a с вертикалью. Тогда скорость второго тела образует угол a с горизонтом.

В таком случае, для первого тела ; для второго тела - . Следовательно, . Отсюда

Расстояние между телами к этому времени .