Гравитационное поле однородной сферы

РАБОТА 1.

Гравитационное поле однородной сферы

«И все-таки она вертится»

1.  Цель работы

Изучить основные свойства потенциала притяжения и его компонент.

2.  Задачи работы

Рассчитать и построить графики гравитационного потенциала и его производных для однородного плотностного источника шарообразной формы.

3.  Краткая теоретическая основа

Потенциальная функция притяжения V – основополагающая функция гравиметрии и гравиразведки, на её свойствах базируется современная теория этих наук.

3.1. Основные свойства потенциала притяжения

1. Потенциал V и его производные – однозначные, непрерывные и конечные функции координат притягиваемой точки во всем пространстве вне притягивающих масс;

2. Потенциал V – функция регулярная, т. е. в бесконечности стремится к нулю: ;

3. При удалении от притягивающих масс М произведение стремится к пределу ;

4. В каждой точке вне притягивающих масс потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

3.2. Гравитационное поле шара

Для шарообразного тела радиуса R, плотностью s, массой M с центром в точке (ξ, η, ζ) потенциал притяжения V(x,y,z) и его компоненты описываются формулами (1)-(8):

во внутренней области:
потенциал притяжения	,	(1)
первая производная по направлению к центру масс (сила притяжения F)	,	(2)
вторая производная потенциала	.	(3)
во внешней области:
потенциал притяжения	,	(4)
первая производная по направлению к центру масс (сила притяжения F)	,	(5)
вторая производная потенциала	.	(6)
в декартовой системе координат первые частные производные потенциала вдоль координатных осей во внешней области:
частная производная по направлению oX		(7)
частная производная по направлению oZ		(8)
(x, y,z) – координаты точки наблюдения (точки расчета); (ξ, η, ζ) – координаты центра масс тела; ρ – расстояние от центра масс тела до точки наблюдения; – гравитационная постоянная. Единицы измерения:, , , .

4.  Исходные данные

1.  Физические параметры (радиус R, плотность σ, скорость вращения вокруг собственной оси) любого шарообразного космического объекта кроме Земли и Луны. Вариант каждый студент выбирает самостоятельно, но так, чтобы входные параметры между студентами не повторялись. Преимущество имеет первый сдающий!

2.  Простая модель, аппроксимирующая реальную геологическую ситуацию: в однородном полупространстве вмещающих пород находится геологическое тело близкое по форме к шару (изометричная куполообразная складка, соляной или глиняный диапир, лакколит, карстовая депрессия и т. п.). параметры модели (глубина залегания центра масс h, радиус шара R, плотности тела σтела и вмещающих пород σвм. п.) выбираются самостоятельно, но должны быть геологически обоснованными.

5.  Практическое задание

1.  Для шарообразного тела рассчитать потенциал притяжения и его компоненты согласно формул 1 – 6.

1.1.  Выбрать любой шарообразный космический объект (астероид, планета, звезда и т. п. кроме планеты Земля и Луны), для которого известны (по справочным данным) радиус R, плотность σ, скорость вращения вокруг собственной оси.

1.2.  Рассчитать потенциал притяжения V (ρ) во внутренней и внешней областях. В качестве точек расчета взять следующие: ρ = 0R, 0.1R, 0.4R, 0.8R, R, 1.5R, 2R, 3R, 4R, 5R, 6R, 10R (если графики полей не вышли на асимптоту, добавить точки).

1.3.  Для того же объекта в тех же точках рассчитать силу притяжения F (ρ).

1.4.  Для того же объекта в тех же точках рассчитать вторые производные потенциала ¶2V/¶r2 (ρ). Обратить внимание на различие значений в окрестности поверхности шара в зависимости от формулы расчета (вне и внутри шара).

1.5.  Построить графики функций V(ρ), F(ρ), ¶2V/¶r2 (ρ) (абсциссы графиков задаются в тыс. км, ординаты – в см2/с2, Гал (мГал), Этвешах соответственно). Изобразить на рисунке контур тела в масштабе горизонтальной оси (рис. 1).

1.6.  Для каждой функции во внутренней и внешней областях рассчитать по одной точке вручную (в системе СГС). Отметить точки расчета на соответствующих графиках. Точки выбрать не в центре тела и не на поверхности. Внимание: расчет вручную – см. раздел “Замечание о расчетах вручную”.

1.7.  Рассчитать центробежную силу на поверхности тела (используя скорость вращения космического тела вокруг собственной оси и его радиус) и сравнить ее с силой притяжения. Вычислить процентное соотношение двух сил. На рисунке указать направления векторов сил на поверхности тела на экваторе, широте 45о, полюсе.

2.  Рассчитать гравитационный эффект от геологической модели (решить прямую задачу гравиразведки для шарообразного тела с известными параметрами): оценить амплитуду горизонтальной Vx и вертикальной Vz производных гравитационного потенциала согласно формул 7 – 8.

2.1.  Придумать геологическую ситуацию, для которой в однородном полупространстве вмещающих пород находится геологическое тело близкое по форме к сфере (изометричная куполообразная складка, соляной или глиняный диапир, лакколит, карстовая депрессия и т. п.). Параметры модели (глубина залегания центра масс h, радиус шара R, плотности тела σтела и вмещающих пород σвм. п.) выбрать самостоятельно. При расчетах использовать избыточную плотность Δσ = σтела – σвм. п.. Выбирать плотности геологических комплексов из диапазона 1,5 – 3,10 г/см3.

2.2.  Рассчитать горизонтальную Vx(x) и вертикальную Vz(x) производные гравитационного потенциала вдоль профиля, проходящего над центром шарообразного тела (профиль и тело не пересекаются).

2.3.  Построить графики зависимостей Vx (x) и Vz (x) (графики полей должны достигать асимптот). Под графиками изобразить геологическую модель (рис. 2).

2.4.  Привести ручной расчет для одной точки (в системе СГС) значений Vx и Vz. Отметить точку расчета на графиках. Внимание: расчет вручную – см. раздел «Замечание о расчетах вручную.

2.5.  Сопоставить особые точки графиков (положение экстремумов, области максимального градиента графиков функций, ширина аномалий) и характерные особенности аномалообразующего тела (размер, глубина залегания).

6.  Отчетный материал

1.  Рисунок с графиками V(ρ), F(ρ), ¶ 2V/¶r2 (ρ).

2.  Для каждой функции расчеты вручную (всего шесть расчетов).

3.  Развернутый ответ на вопрос пункта 1.7 практического задания.

4.  Рисунок с графиками Vx (x) и Vz (x).

5.  Расчеты вручную значений функций Vx (x) и Vz (x) для выбранной точки.

6.  Развернутый ответ на вопрос пункта 2.5 практического задания.

7.  Контрольные вопросы

1.  Гравитационный потенциал, эквипотенциальная поверхность, сила притяжения, центробежная сила, сила тяжести, ускорение свободного падения, закон Ньютона.

2.  Единицы измерения гравитационного потенциала и его элементов (первые и вторые производные).

3.  Гравитационное поле Земли. Вектора ускорений на поверхности Земле. Значения компонент силы тяжести на экваторе, полюсе. Изменение силы тяжести с глубиной.

4.  Притяжение однородного слоя и сферы, их потенциал и его производные.

5.  Уравнение эквипотенциальной поверхности. Направление силы притяжения относительно эквипотенциальной поверхности. Как изменяется на эквипотенциальной поверхности сила притяжения?

6.  Фигура Земли. Теорема Клеро. Нормальная формула силы тяжести.

7.  Вторые производные потенциала силы тяжести, их физический и геометрический смысл.

8.  Рекомендуемая литература

Курс гравиразведки. Л.: Недра, 1980.

Гравиметрия. М.: Мир. 1999.

9.  Порядок выполнения работ и их сдачи

1. Подготовленные и полностью оформленные отчетные материалы, сдаются на проверку.

2. При отсутствии замечаний авторы работы, допускаются к теоретическому собеседованию по теме задачи и контрольным вопросам.

4. При успешном прохождении собеседования работа считается принятой.

Рис. 1. Гравитационный потенциал и сила притяжения шарообразного тела с параметрами (радиус, плотность), близкими к параметрам планеты Земля.

Рис. 2. Частные производные по направлениям oX и oZ над сферическим телом.

10.  Замечание о расчетах вручную

В задаче требуется сопроводить автоматизированные расчеты по формулам расчетом, выполненным вручную.

Вручную – означает выписать формулу полностью, подставить расчетные значения и упростить в несколько приемов, доведя до окончательного результата, без использования калькулятора и других вычислительных устройств; согласовать единицы измерений всех величин, участвующих в расчете.

Такой подход позволяет исключить ошибки, связанные с неправильно введенными формулами в вычислительные устройства и избежать перекладывания собственной ответственности студента на компьютер по принципу: «Компьютер так посчитал».