Задача 1

Задача 1.

Крестьянское решение без использования теории сравнений (почти).

Так как , то , где t – целое число.

Так как , то , где k – целое число.

Так как , то , где s – целое число.

Найдем связь между t и k: . Выразим отсюда k: . Для того чтобы k было целым надо, чтобы числитель делился на 10 без остатка. Это возможно если десятичная запись числа t заканчивается на 9. Поскольку нам надо найти какое-нибудь частное решение (для начала), попробуем t=9. При t=9 имеем: . Проверяем, удовлетворяет ли x условию задачи. Подставляем в исходные равенства и видим – удовлетворяет.

Так как 12=3*4, то всякое решение сравнения является решением сравнения . Так как числа 3, 8 и 5 взаимно простые, то система сравнений

имеет единственное решение с точностью до сравнения по модулю 3*8*5=120. Значение x=22 является решением как первой системы, так и последней. Но все решения первой системы являются решениями последней. А у последней оно одно (с точностью до сравнения по модулю 120). Значит и у первой оно одно. Поэтому ответ:

.

Задача 4.

Тоже крестьянское решение.

Поделим обе части данного уравнения на 2, получим: 22x – 17y = 7. Общее решение можно записать в виде: , где x0 и y0 – некоторое частное решение, а x1 и y1 – решение однородного уравнения, то есть уравнения . Из последнего получаем: . Поскольку x1 – целое число, то y1 должно делиться на 22, то есть его можно представить в виде: , где k – любое целое число. Тогда имеем:

. Теперь остается найти любое частное решение исходного уравнения. Закрывая левый глаз, видим, что является решением данного уравнения. Подставляем все результаты в формулу общего решения и получаем: , где k пробегает все целые числа, является общим решением данного уравнения. Теперь надо надо выяснить – при каких значениях k значения x и y от -10 до 60. Составляем систему неравенств: . Выражаем в каждом из них k: . Поскольку k – целое число, то оно может принимать значения только 0, 1 и 2.

При k=0 ; при k=1 ; при k=2 .