Великая Теорема Ферма.

Уравнение (1) не имеет решений для натуральных чисел x, y, z, n

при n>2

Доказательство.

Часть 1.

n=3, 5, 7 … нечётное.

Представим уравнение (1) в виде:

Обозначим:

Подставим эти переменные в уравнение (2), и получим теорему Пифагора:

Тройки Пифагора для уравнения (4) можно найти по формулам Диофанта:

[1]

a, b – натуральные числа.

Используя формулы (3) и (5) запишем:

Заменим целочисленную переменную b таким образом, чтобы из 2ab извлекался корень из степени n.

k =1,2,3… натуральное число

Из формулы (6), используя (7), найдём переменную x

Переменная x является целочисленной.

Найдём переменные y и z из формул (3), используя формулы (5) и (8)

Обозначим:

Целочисленную переменную a можно выбрать так, чтобы из неё извлекался корень из степени n.

d=1, 2, 3 …

По условиям теоремы Ферма переменные x, y, z должны быть целочисленными при любых значениях d и k из натурального ряда чисел 1, 2, 3 …

Можно убедиться, что переменная x, при данных подстановках остаётся целочисленной:

Переменные y и z также должны быть целочисленными.

Поэтому из целочисленных выражений и

должен извлекаться корень из любой степени.

Лемма:

Невозможно извлечь целочисленные корни любой целочисленной степени для двух целых чисел, находящихся на расстоянии двух друг от друга.

Поэтому переменные y и z не могут быть обе целыми.

Часть 2.

n=4, 6, 8 … четное

Представим уравнение (1) в виде:

m=2, 3, 4 …

n=2m

Обозначим:

Переменные A, B, C определяются по формулам (5)

Выводы такие же, как и первой части.

Доказательство леммы.

Имеем две переменных a и b

c – целое число.

Допустим, что найдено такое целое число c-1, из которого извлекается корень из степени n.

a - целое число

Предположим, что из числа an+2 извлекается корень из степени n, то есть, что b – также целочисденное.

Подкоренное выражение должно быть положительным.

Это возможно только при bn>2.

И следовательно: ?

?

Откуда следует, что a – нецелочисленное.

По нашему допущению a – целочисленное.

Значит наше предположение, что b также целочисленное - неверное.

10.10.2013

Инженер по электротехнике Иван Горин.