Изучить, законспектировать, выполнить практические задания к первому занятию

Изучить, законспектировать, выполнить практические задания к первому занятию

Уроки –1-2.

Тема: Понятие функции. Способы задания функции и ее свойства.

Прямая и обратная пропорциональности, их графики и свойства.

Цели: обобщить знания студентов о функции, способах ее задания, свойствах функции; рассмотреть

графики и свойства линейной функции, прямой и обратной пропорциональности; показать

использование прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач

с пропорциональными величинами в начальной школе, формировать познавательную

самостоятельность, работать над развитием логического мышления и речи студентов.

Оборудование: ОК - 2.2; ОК - 2.3; таблицы, опорные схемы к задачам, опорные карточки, учебники

математики для 3-4 классов.

Ход урока.

I Организация урока.

II Сообщение темы и формы проведения занятия. Постановка проблемы.

Урок - семинар по теме «Числовые функции» вам предлагается,

Ваши знания о функциях обобщаются, расширяются и углубляются.

Сначала нам надо обосновать, почему эту тему

будущему учителю начальных классов надо хорошо знать?

Функциональная пропедевтика в начальной школе начинается,

В задачах с пропорциональными величинами

свойства прямой и обратной пропорциональности применяются,

Вам как будущим учителям начальных классов это надо знать,

Свойства прямой и обратной пропорциональности применять.

Задача нашего семинара -

понятие функции, некоторые виды функций, их свойства и графики разобрать,

Чтобы в начальной школе пропедевтику понятия функции осуществлять.

III Изучение нового материала.

1.  Заслушивание рефератов студентов по теме.

План семинара вам такой назначается:

1.  Понятие функции. Способы задания функций. Основные свойства функций.

2.  Линейная функция, ее график и свойства.

3.  Прямая пропорциональность, ее график и свойства.

4.  Обратная пропорциональность, ее график и свойства.

5.  Использование прямой (обратной) пропорциональности при решении

текстовых задач с пропорциональными величинами в начальной школе.

По первым четырем вопросам заслушать рефераты предлагается,

Пятый вопрос будем вместе разбирать,

Учиться задачи с пропорциональными величинами анализировать

и разными способами решать.

Студенты выступают со своими вопросами, используя составленный ими опорный конспект по теме.

-  Как связано понятие функции с понятием соответствия?

-  Будет ли это соответствие взаимно однозначным? Почему?

1. Понятие функции. Способы задания функций. Основные свойства функций.

Функция – это соответствие между числовыми множествами Х и У, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества У.

Обозначают функцию буквами f, g, h и пишут: у = f (х),

где х – аргумент или независимая переменная, у – функция или зависимая переменная

Свойства функции:

1.  Область определения D(f ) - множество значений аргумента, при которых функция определена.

2.  Область значений E(f ) - множество значений, которые принимает функция.

Например: а) , D(f ) = (-¥; 1) È (1; +¥), E(f ) = (-¥; 0) È (0; +¥),

б) ; D(f ) = [-5; +¥), E(f ) =[0; +¥),

3.  Монотонность:

Функция - возрастающая, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. выполняется условие: х1 > х2 Þ f(х1) >f(х2).

Функция – убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. выполняется условие: х1 > х2 Þ f(х1) < f(х2).

Способы задания функции:

1.  аналитический (формулой): у = х2

2. табличный (таблицей): 3. графический (графиком): у = х2

Некоторые функции задаются только таблицей, например, зависимость давления от температуры

2. Линейная функция, ее график и свойства

Линейная функция - функция вида у = kх + b, где х - независимая переменная, k Î R,

k - угловой коэффициент функции. График линейной функции – прямая.

у = kх + b, k > 0 у = kх + b, k < 0

Свойства: 1. D(f ) = R; 2. Е(f ) = R;

3. Если k > 0, то функция возрастающая; если k < 0, то функция убывающая.

1) Если у = k1х + b1 и у = k2х + b2, то при k1= k2 графики функций параллельны;

при k1¹ k2 графики пересекаются.

2) Если k = 0, то у = b - прямая, параллельная оси Ох;

3) Если b = 0, то у = kх - прямая пропорциональность

Связь с начальной школой: 1) при решении задач: 2) при изучении состава чисел:

у = 10 - х у = - х + 8

3) в буквенных выражениях: 5 + х, х = 10; 12; 15 у = 5 + х

3. Прямая пропорциональность, ее график и свойства.

Прямая пропорциональность - функция вида у = kх, х - независимая переменная, kÎR, k¹0.

График - прямая, проходящая через начало координат.

Свойства: 1) D(f) = R; 2) E(f) = R; 3) Если k>0, то f - возрастает; если k<0, то f - убывает.

4) С увеличением (уменьшением) х в › раз, соответствующее значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз: для " х1 и х2 , у1=kх1, у2=kх2, тогда

4. Обратная пропорциональность, ее график и свойства.

Обратная пропорциональность - функция вида у = , х - независимая переменная, , kÎR, k¹0. График - гипербола, состоящая из двух ветвей.

у =, к >0 у =, к <0

Свойства: 1) D(f) =(-¥; 0)È(0;+¥) ; 2) E(f) =(-¥; 0)È(0;+¥); 3) Если k>0, то f - убывает;

если k<0, то f – возрастает. 4) С увеличением (уменьшением) х в › раз, соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз: для " х1 и х2 , у1=k¤х1

у2=k¤х2, тогда

Связь с начальной школой: 1) при решении задач:

у = 8х у =

2) при заполнении таблиц: у = 3х, у =

3) в буквенных выражениях:

5а, а = 12; 4; 2 у = 5х 4800 : с, с = 100; 200; 400. у =

2. Семинар - практикум по анализу и решению задач с пропорциональными величинами.

Для решения текстовых задач с пропорциональными величинами необходимо

знать: уметь:

- определение прямой (обратной) - распознавать прямую или

пропорциональности; обратную пропорциональность;

- свойства прямой (обратной) - применять свойства прямой или

пропорциональности. обратной пропорциональности

при решении текстовых задач.

Образец выполнения задания.

Задача 1. Масса 280 л бензина 196 кг. Какова масса 250 л бензина?

Решение: В задаче рассматриваются объем и масса бензина, которые связаны прямой пропорциональной зависимостью, так как характер изменения одной величины (например, увеличение или уменьшение в несколько раз) определяет характер изменения (соответственно увеличение или уменьшение во столько же раз) другой величины. Иначе: если обозначить через х(л) объем бензина, через у(кг) - его массу, а через к - массу 1л бензина, то . Зависимость между х и у, выражаемая данной формулой, прямо пропорциональная.

Рассмотрим два способа решения задачи:

Первый способ: (нахождение коэффициента пропорциональности):

1)находим массу 1л бензина: 2)находим массу 250 л бензина:

Второй способ: (способ отношений)

Так как зависимость между массой и объемом бензина прямо пропорциональная, то во сколько уменьшился объем бензина, во столько же раз уменьшится его масса. Используем это свойство при решении задачи:

1)  находим, во сколько раз 250л бензина меньше 280л: 2) находим массу 250 л бензина:

Ответ: 175 кг масса 250л бензина.

Задача 2: (из начального курса математики) Из куска ткани можно сшить 16 детских плащей, расходуя на каждый плащ по 2м. Сколько плащей для взрослых выйдет из этого куска ткани, если расходовать по 4м на каждый плащ?

Решение: В задаче рассматриваются величины: расход ткани на один плащ, количество плащей и общий расход ткани. Одна величина (общий расход) здесь - постоянная, две другие - переменные, причем зависимость между ними обратно пропорциональная.

Обозначим через х(м) - расход ткани на один плащ, к(м) - общий расход ткани, у - количество плащей. Тогда и зависимость между х и у обратно пропорциональная.

Решить задачу можно двумя способами:

Первый способ: (нахождение коэффициента пропорциональности):

1)  2·16 = 32(м) - ткани в куске;

2)  32:4 = 8(пл.) - для взрослых

Второй способ: (способ отношений)

1)  4:2 = 2(раза) - расход на один взрослый плащ больше;

2)  16:2 = 8(пл.) - для взрослых можно сшить.

Ответ: 8 плащей для взрослых можно сшить из этого куска ткани.

Решая задачу первым способом, сначала нашли коэффициент пропорциональности k: k = 32. Тем самым получили возможность выразить зависимость между величинами формулой: затем, зная конкретное значение переменной х (х=4), нашли соответствующее значение у (у=8).

Второй способ основан на свойстве обратной пропорциональности: с увеличением (уменьшением) значения одной переменной в несколько раз значение другой переменной уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Для данной задачи: во сколько раз больше надо ткани на один плащ для взрослого, во столько же раз меньше можно сшить плащей для взрослых из одного и того же куска ткани.

В начальных классах эту задачу можно решить двумя способами, опираясь при этом на интуитивные представления и опыт детей. Однако, если отношения величин (в данном случае двух длин) не будет выражаться натуральным числом, то решение задачи вторым способом в начальных классах невозможно, например:

Из куска ткани можно сшить 16 плащей, расходуя на каждый по 3м. Сколько плащей выйдет из этого куска ткани, если расходовать по 4м на каждый плащ?

3. Фронтальная беседа (обсуждение вопросов семинара)

Подведем итоги нашего семинара:

-  Какое соответствие называется числовой функцией?

-  Какими способами можно задать функцию?

-  Как называют независимую переменную (зависимую)?

-  Что понимают под областью определения функции?

-  Что представляет собой область значений функции?

-  Какие основные свойства функции мы вспомнили? В чем суть каждого свойства?

-  Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функции, можно обратиться к пословицам. Ведь пословицы - это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа. Какие свойства отражают пословицы: «Чем дальше в лес, тем больше дров»? «Как аукнется, так и откликнется», «Больше дела - меньше слов» и др.

-  На таблице найдите график линейной функции (прямой, обратной пропорциональности) и расскажите все, что знаете об этой функции.

-  Как используется понятие функции в начальной школе?

-  Зачем будущему учителю начальных классов надо знать понятие функции и ее свойства?

IV Задание на дом.

Чтобы творческие способности свои развивать,

Предлагаю вам сказку о какой либо изученной функции написать,

Задачу с пропорциональными величинами решить,

И опорные конспекты по теме «Функция» изучить.

А также задачи № 000 и № 000 из учебника М-4И не только решать,

Но и методически их разобрать!

Какие в них рассматриваются величины определить,

Зависимость между ними установить

V Итог урока.

А теперь давайте выступления наших товарищей обсуждать,

Свои рекомендации по изучению данной темы предлагать,

И оценки за рефераты выставлять.

(анализ рефератов студентов, оценка их выступлений)

Уроки – 3-4.

Тема: Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых

задач различными способами.

Цели: формировать умения решать задачи с пропорциональными величинами различными

способами, используя свойства прямой и обратной пропорциональности, проверить умения

студентов проводить методическую работу над задачей, работать над развитием логического

мышления и речи студентов.

Оборудование: табло конкурса, карточки-задания к каждому конкурсу, опорные схемы к задачам,

сигнальные карточки, таблицы.

Ход урока.

I Организация урока. Сообщение темы и формы проведения занятия.

Дорогие друзья! Мы приветствовать вас рады

На конкурсе «Знатоков задач»,

Где методические умения показать вам надо.

Свойства прямой и обратной пропорциональности

при решении текстовых задач применять,

Познавательную активность проявлять.

На две команды вас разбиваем,

И всех активное участие принять предлагаем!

Первая команда - «Условие».

Их девиз: «Поставь условие,

Добейся цели!

Ответ дай на любой вопрос!»

Вторая команда - «Вопрос».

Их девиз: «Вопрос - вот гвоздь любой задачи.

Старайся разрешить его,

А для того - смотри в условие,

Оно не зря дано!»

II Формирование умений и навыков.

Готовность учителя начальных классов к обучению решению задач предполагает сформированность огромного числа методических умений. Наш конкурс направлен на то, чтобы приблизиться к достижению этой цели. Но сегодня предметом нашего разговора будут задачи с пропорциональными величинами.

-  В чем особенность таких задач?

-  Какие виды задач с пропорциональными величинами изучаются в начальной школе? В чем особенность каждого вида?

-  Какие тройки пропорциональных величин рассматриваются в таких задачах?

-  Какими способами решаются задачи с пропорциональными величинами?

-  Какое свойство прямой (обратной) пропорциональности используется в таких задачах? Сформулируйте его.

-  Покажем умение использовать эти свойства при решении задач и методические умения грамотно проводить работу над задачей, используя разнообразные приемы.

I конкурс поэтов.

Покажите свои умения -

Слова складывать в стихи,

Составить должны вы были задачу - стихотворенье

И на уроке применить!

Каждый учитель должен быть романтиком и чуточку поэтом. Предлагаем от каждой команды по очереди прочитать 1-2 задачи, составленные дома.

Например: Таня и Лена в магазин пошли,

Открытки к празднику купить решили они.

Таня 4 открытки купила и 20 рублей за них заплатила,

Лена 8 таких же открыток купить решила.

Сколько же денег Лена заплатить должна, определите!

Разными способами задачу решите!

И ответ точный назовите!

Команды, обсудив задачи, составленные студентами дома, выбирают, кто от их команды прочитает свои задачи. От каждой команды читают по 2-3 задачи. Оценивается творчество студентов.

II конкурс художников.

Ну а без художественных способностей учителю просто не обойтись.

Изобразить должны вы были задачу точно и наглядно,

Чтобы с моделью вашей было работать приятно!

Студенты дома должны были подготовить различные модели к задаче, и показать их на уроке, оценивается правильность, разнообразие и красочность моделей.

III конкурс «Разминка»

На таблицу внимательно посмотрите!

Вид задачи вы определите!

Укажите особенность ее,

Обоснуйте свой ответ - и все.

Величины там как связаны скажите,

Да, конечно, это докажите!

Каждой команде предлагается по 2 таблице, на которых даны модели задач с пропорциональными величинами.

IV конкурс «Решение задач»

Методическое умение - организовать работу с учащимися по решению задач различными способами неразрывно связано с математическим умением самого студента решать задачу различными способами.

Разными способами задачи решите,

Использование прямой или обратной пропорциональности покажите!

1)  Показать решение задач различными способами, определив вид зависимости между величинами, данными в задаче и обосновать способы решения задачи: № 000 М-4И; № 000 М-4И; № 14 на с.56 М-3М (2часть);

Проявите свое умение -

Отыщите для задачи 5 способов решения!

Оформите решение с пояснением,

А потом дадите объяснение.

2)  Отыщите 5 различных способов решения задачи: Нужно перевезти 540 т угля на трех машинах. За сколько дней это можно сделать, если на каждую машину грузить по 3 т и делать по 5 ездок в день?

От каждой команды по одной студентки выполняют это задание на доске, а остальные - в своих рабочих тетрадях.

Оценивается быстрота и точность выполнения задания.

V конкурс «Задача с урока»

Каждый учитель должен уметь организовать работу учащихся над задачей на уроке.

Здесь победит, конечно, тот,

Кто методически задачу разберет,

Покажет, как над ней работать в классе,

И всех детей включить в активное участие!

От каждой команды одна студентка моделирует фрагмент урока «Работа над

задачей», т. е. показывает работу над одной из домашних задач: № 000 или

№ 000 М-4И, выступая в роли «учителя», остальные студенты команды выступают в роли «учеников» и участвуют в разборе задачи.

Оценивается работа студентки и всей команды.

VI конкурс «Преобразование задач».

Умение преобразовать один вид задачи в другой, составить задачи, обратные данной, является необходимым условием творческого подхода к планированию работы над задачей на уроке.

Творчество свое проявляйте,

Обратные задачи составляйте.

Данного вида задачу преобразуйте в другую,

Проделайте быстро и точно работу такую!

-  Какие виды задач с пропорциональными величинами рассматриваются в начальной школе?

-  Охарактеризуйте особенность каждого вида задачи.

-  Решите задачу разными способами; составьте к ней обратные задачи, преобразуйте данную задачу в задачу другого вида с пропорциональными величинами:

I команда - № 000 М-3И;

II команда - № 000 М-3И.

Оценивается быстрота и математическая грамотность выполнения заданий.

VII конкурс «Математическая зарядка»

Способности свои проявляйте,

Математическую зарядку выполняйте.

Упражнение «Устное решение задач» называется,

Ваша математическая смекалка проверяется.

Все вместе зарядку будем выполнять,

Вам надо внимательно задачу послушать,

И ответ точный назвать.

1)  Мать старше сына на 25 лет, и на 21 год старше дочери. Кто старше:

сын или дочь? На сколько лет? (дочь старше на 4 года).

2)  Сборщик хлопка может собрать 1т хлопка за 10 дней, а машина -

10т хлопка за день. Во сколько раз производительность машины выше,

чем сборщика вручную? (в 100 раз).

3)  54 км пешеход проходит за 9ч. Сколько времени потребуется

велосипедисту, чтобы проехать этот путь, если его скорость в 3 раза

больше?(162 км) Какое данное здесь лишнее? (время 9ч).

4)  На 34 рубля купили 2кг мандаринов. Сколько стоят 4кг апельсинов

по той же цене? (68р.)

5)  60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всех листов книги, в которой 240 страниц? (2 см)

6)  Во сколько раз лестница на 4 этаж дома длиннее лестницы на 2 этаж? (в 3 раза)

7)  Малыш может съесть 600 г варенья за 6 минут, а Карлсон - в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе? (за 2 мин)

8)  В 4 коробках на 21 кг конфет меньше, чем в 7 таких же коробках. Сколько килограммов конфет в 7 коробках? (49 кг)

Оценивается быстрота и точность ответов. Каждой команде по очереди предлагаются задачи, если команда дает неверный ответ, то право назвать правильный ответ дается второй команде.

III Итог урока.

Вот и подходит к концу наш урок,

Все конкурсы вы выполнили в срок.

Осталось нам результаты обсудить,

Какая команда победила определить.

Подведение итогов конкурса. Обсуждение результатов выполненной работы, формы проведения урока и возможности использования ее в начальной школе.

IV Задание на дом.

Много будущему учителю надо уметь и знать,

Поэтому надо не только на занятии активно работать,

Но и дома самостоятельно свои знания пополнять.

Домашнее задание запишите:

ОК - 2.2 и 2.3 учите, а также задачи решите,

Свойства прямой и обратной пропорциональности примените:

№ 000 и № 000 из учебника М-3И.

1. Понятие функции. Способы задания функций. Основные свойства функций.

Функция – это соответствие между числовыми множествами Х и У, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества У.

Обозначают функцию буквами f, g, h и пишут: у = f (х),

где х – аргумент или независимая переменная, у – функция или зависимая переменная

Свойства функции:

Область определения D(f ) - множество значений аргумента, при которых функция определена.

Область значений E(f ) - множество значений, которые принимает функция.

Например: а) , D(f ) = (-¥; 1) È (1; +¥), E(f ) = (-¥; 0) È (0; +¥),

б) ; D(f ) = [-5; +¥), E(f ) =[0; +¥),

Монотонность:

Функция - возрастающая, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. выполняется условие: х1 > х2 Þ f(х1) >f(х2).

Функция – убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. выполняется условие: х1 > х2 Þ f(х1) < f(х2).

Способы задания функции:

1.аналитический (формулой): у = х2

2. табличный (таблицей): 3. графический (графиком): у = х2

Некоторые функции задаются только таблицей, например, зависимость давления от температуры

2. Линейная функция, ее график и свойства

Линейная функция - функция вида у = kх + b, где х - независимая переменная, k Î R,

k - угловой коэффициент функции. График линейной функции – прямая.

у = kх + b, k > 0 у = kх + b, k < 0

Свойства: 1. D(f ) = R; 2. Е(f ) = R;

3. Если k > 0, то функция возрастающая; если k < 0, то функция убывающая.

1) Если у = k1х + b1 и у = k2х + b2, то при k1= k2 графики функций параллельны;

при k1¹ k2 графики пересекаются.

2) Если k = 0, то у = b - прямая, параллельная оси Ох;

3) Если b = 0, то у = kх - прямая пропорциональность

Связь с начальной школой: 1) при решении задач: 2) при изучении состава чисел:

у = 10 - х у = - х + 8

3) в буквенных выражениях: 5 + х, х = 10; 12; 15 у = 5 + х

Прямая пропорциональность, ее график и свойства.

Прямая пропорциональность - функция вида у = kх, х - независимая переменная, kÎR, k¹0.

График - прямая, проходящая через начало координат.

Свойства: 1) D(f) = R; 2) E(f) = R; 3) Если k>0, то f - возрастает; если k<0, то f - убывает.

4) С увеличением (уменьшением) х в › раз, соответствующее значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз: для " х1 и х2 , у1=kх1, у2=kх2, тогда

Обратная пропорциональность, ее график и свойства.

Обратная пропорциональность - функция вида у = , х - независимая переменная, , kÎR, k¹0. График - гипербола, состоящая из двух ветвей.

у =, к >0 у =, к <0

Свойства: 1) D(f) =(-¥; 0)È(0;+¥) ; 2) E(f) =(-¥; 0)È(0;+¥); 3) Если k>0, то f - убывает;

если k<0, то f – возрастает. 4) С увеличением (уменьшением) х в › раз, соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз: для " х1 и х2 , у1=k¤х1

у2=k¤х2, тогда

Связь с начальной школой: 1) при решении задач:

у = 8х у =

2) при заполнении таблиц: у = 3х, у =

3) в буквенных выражениях:

5а, а = 12; 4; 2 у = 5х 4800 : с, с = 100; 200; 400. у =