Волновые процессы в областях сложной формы в терминах композитных поверхностных интегральных операторов (стр. 6 )

Для удобства перепишем формулу в следующем виде:

,

где граничные данные могут быть представлены следующим образом:

,

Норма оператора меньше единицы (очевидно следует из известных норм составляющих операторов). Это позволяет представить в виде ряда Неймана [28]:

,

Подставляя в представление, получим:

Первое слагаемое в равно фундаментальной матрице для неограниченной однородной среды. В нем может содержаться физически нереализуемое решение для точек, находящихся в зоне геометрической тени. Если зоны тени отсутствуют, тогда все компоненты ряда в, начиная с первой, обращаются в нуль, так как .

3.4 О постановке задачи в неоднородной области.

В этом Разделе рассматривается постановка задачи для физически реализуемых ядер интегральных представлений в неоднородной области. Содержание этого Раздела использует результаты публикаций [5], [6].

Для постановки задачи в неоднородной области недостаточно просто воспользоваться общими интегральными представлениями, выведенными в Главе 2. Физически реализуемое фундаментальное решение в неоднородной области выражается через физически реализуемое фундаментальное решение для однородной области. Ниже кратко приводятся соответствующие выкладки.

Рассмотрим неоднородную область с границей . Матрица материальных параметров определена в. Перенося в правую часть матрицу с переменными коэффициентами, получим:

.

Это и есть наша конкретная задача в неоднородной области . Применяя теорему о дивергенции, затем теорему взаимности, переписывая объемные и поверхностные интегралы, в итоге получим:

В ядра интегральных операторов построены на основе физически реализуемого решения для однородной области, определенного в. Как и раньше, . Условия излучения для неоднородной области определены следующим образом:

Условия на ребрах и вершинах определены так:

С учетом и представление принимает вид:

Рассмотрим поверхностный интеграл в представлении. Если он не равен нулю, это значит, что граничные значения содержат в себе волновые поля от несуществующих источников, расположенных за пределами области . Поэтому для физической корректности нам потребуется новое условие поглощения на гладкой границе:

Подставляя это последнее условие в, получим:

Интегрирование в производится по ограниченной области вместо неограниченной (в общем случае) , так как в . Ядро интегрального оператора и первое слагаемое в представлены физически реализуемым фундаментальным решением для однородной области. Необходимо подчеркнуть, что представление формальное, так как в подынтегральном выражении присутствует неизвестная функция . Нахождение из этого интегрального уравнения – это проблема, находящаяся в процессе решения в настоящее время (см. [22] ).

Итак, постановка нашей задачи в неоднородной области выглядит так:

Каждое решение системы является физически реализуемым решением в неоднородной области .

4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

В этой главе выводится интегральное представление и явный вид композитного поверхностного интегрального оператора в терминах математической теории волн.

4.1 Спектральное разложение решения в специальной системе Римановых координат

Во введении к данной работе упоминалось о Методе наложения концевых волн (МНКВ), использующего аппроксимации операторов прохождения через границы и операторов распространения, являющихся основным объектом данного исследования. Однако МНКВ работает с плоскими волнами, а полученное в Главе 2 интегральное представление описано в терминах механики сплошной среды. Таким образом, необходимо перейти к базису, который позволил бы описать представление в виде плоских волн. В этом разделе описывается данный переход.

При переходе от глобального декартового базиса к локальному криволинейному базису, заданному в инфинитезимальной окрестности регулярной (класса ) поверхности области , волновой вектор будет иметь следующий вид:

Матрица R в осуществляет “поворот” в локальный базис исходного вектора. Соответственно, тензорное волновое уравнение может быть переписано следующим образом:

Это значит, что для того, чтобы описанная теория была применима в локальных римановых координатах, необходимо наличие изоморфизма дифференциальных матричных операторов и в декатровом и римановом базисах соответственно.

Представим оператор из системы в следующем виде:

,

Тензорный оператор в криволинейной системе координат имеет вид:

тогда и только тогда, когда:

Обоснование существования решения системы уравнений и его поиск в данной работе не приводится, так как этот вопрос находится за рамками настоящего исследования. Детальное исследование данного вопроса приведено в [3].

В новой системе координат можно использовать спектральную теорию дифференциальных операторов, исследованную для декартовых координат. Практически, достаточно в известных формулах осуществить замену декартовых координат на длины дуг в специальных римановых координатах: . С помощью частичного преобразования Фурье, решение представимо в виде:

где . Подстановка в тензорное волновое уравнение приводит к следующему представлению:

где - производная в направлении, которое ортогонально к заданной поверхности при приближении точки к ней.

Согласно спектральной теории [12], решение данного уравнения может быть представлено в виде суммы собственных векторов с неизвестными коэффициентами :