Лекция 5 Методы принятия решений, основанные на ранжировании

Лекция 5 Методы принятия решений,

основанные на ранжировании

1 Постановка задачи

2 Методы определения весовых коэффициентов

3 Решение задачи выбора с использованием весовых коэффициентов

4 Задачи с неоднократным определением весовых коэффициентов

Литература: Черноруцкий принятия решений. – СПб.: БХВ – Петербург. 2005. – 416 с. С 126-134

1 Постановка задачи

Рассматриваются методы решения многокритериальной задачи, которая в наиболее простом виде может быть записана как

, , (2.1)

где ,

m – число частных критериев и соответствующих им критериальных показателей, вычисляемых с использованием целевых функций в соответствии с которыми оценивается каждая альтернатива;

n – количество альтернатив, например, систем, среди которых осуществляется выбор.

Сформулированная задача может быть решена с использованием глобального критерия, оценивающего «важность» рассматриваемых частных критериальных показателей (и соответствующих им частных критериев).

В общем случае «важность» учитывается путём ранжирования, а в роли ранжируемых объектов могут выступать как частные критерии, так и альтернативы.

Пусть задано конечное множество ранжируемых объектов

,

необходимо построить вектор

с неотрицательными вещественными компонентами такими, что

. (2.2)

Числа интерпретируются как весовые коэффициенты, определяющие относительную «важность» или «полезность» объектов. Чем больше значение соответствует объекту, тем выше «полезность» этого объекта.

В исходной многокритериальной задаче (2.1) ранжироваться могут частные критериальные показатели, вычисленные с использованием целевых функций , а также альтернативы из X.

Основным объектом в рассматриваемых методах является треугольная матрица S, называемая матрицей попарных сравнений:

S= (2.3)

Элемент= матрицы нтерпретируется как коэффициент превосходства i-го объекта над j-м объектом из множества . Если > 1, то объект «важнее» объекта и т. д.

Задача состоит в отыскании вектора весовых коэффициентов по известной матрице попарных сравнений S.

2 Методы определения весовых коэффициентов

Метод Саати (учебник Черноруцкого, с. 127) предусматривает по треугольной матрице S построение полнозаполненной матрицы :

=, (2.4)

где элементы нижней треугольной части (i > j) матрицы удовлетворяют соотношениям:

= 1/.

Предполагается, что пользователь или ЛПР имеет возможность отвечать на вопросы типа: "Во сколько раз объект превосходит объект по важности?"

Коэффициенты могут выбираться пользователем из фиксированной балльной шкалы:

Для облегчения работы пользователя целые числа шкалы могут получать соответствующую смысловую интерпретацию, например:

1 – равная важность;

3 – слабое превосходство;

5 – сильное превосходство;

7 – очень сильное превосходство;

9 – абсолютное превосходство;

2, 4, 6, 8 – промежуточные случаи.

В этом случае искомый вектор определяется аналитически – он является собственным вектором матрицы , соответствующим максимальному собственному вектору матрицы , и может быть найден как решение системы уравнений

· = ·max. (2.5)

Существует единственное решение данной системы линейных алгебраических уравнений, удовлетворяющих условию нормирования (2.2).

Другим методом решения подобных задач является метод Коггера и Ю. (учебник Черноруцкого, с. 129), который отличается от метода Саати тем, что для нахождения вектора весовых коэффициентов ранжируемых объектов используется не система уравнений (2.5), а система вида

S·T·=, (2.6)

где S – треугольная матрица попарных сравнений,

T – диагональная матрица вида

T = diag[1/m, 1/m–1,...,1]. (2.7)

В данном случае матрица системы треугольная, что облегчает решение задачи.

При решении частных задач, имеющих небольшую размерность, можно использовать упрощенный метод выбора вектора

значений весовых коэффициентов с транзитивной шкалой путём построения цепочки коэффициентов превосходства вида

,

либо

. (2.8)

Определение системы предпочтений таким методом оказывается проще, так как при последовательном назначении цепочки коэффициентов превосходства достигается непротиворечивость информации взаимного ранжирования всех сравниваемых объектов.

Рассмотрим возможности применения рассматриваемого упрощенного метода на конкретном примере.

Исследуется три системы () (одинакового функционального назначения, при оценке каждой из которых используются шесть частных критериальных показателей характеристик c соответствующими критериями оптимальности

, .

Предположим, что в ходе диалога с лицом, принимающим решение, или в результате анализа результатов экспертных оценок, получены следующие данные:

=/= 2; = 4; = 1/4; = 1; = 4.

Это означает, например, что частный критерий в два раза превосходит по «важности» критерий , критерии и равнозначны.

Если принять = 1, то = 0,5 (в два раза меньше чем ); = 0,125 (в 4 раза меньше чем ); = 0,5; = 0,5; = 0,125.

С учётом условия нормирования (2.2) искомого вектора получаем нормированные значения весов:

=1/(+++++) =

= 1/(1+0,5+0,125+0,5+0,5+0,125) = 0,364;

= 0,182; = 0,045; = 0,182; = 0,182; = 0,045.

Легко подсчитать, что при упрощенном методе определения весовых коэффициентов общее число сравнений объектов (как критериев, так и альтернатив) по важности, выполняемых пользователем, равно

где т – число частных критериев, п – количество альтернатив.

При реализации методов Саати и Коггера и Ю число сравнений равно

что обычно существенно больше.

Так, для т = 6, п = 10 имеем:

Кроме того, как уже указывалось, при использовании упрощенного метода нет необходимости решать какие бы то ни было линейные сис­темы уравнений, связанные с поиском собственных векторов матриц.

3 Решение задачи выбора с использованием весовых коэффициентов

На практике возникает необходимость выбора требуемой системы из множества систем () одинакового функционального назначения. Каждая из систем оценивается числовыми значениями по нескольким критериальным показателям, определяемым на основе вычисления целевых функций (). Для рассматриваемых показателей определены весовые коэффициенты .

При реализации процедуры выбора вначале составляют матрицу значений =, полученных в результате вычисления всех рассматриваемых частных критериальных показателей для всех рассматриваемых систем:

, (2.9)

Для сравнительной оценки систем целесообразно использовать нормированные показатели.

Поскольку с увеличением одних критериальных показателей (первого вида) качество системы улучшается, а с увеличением других показателей (второго вида) ухудшается,

то матрица преобразуется во вспомогательную матрицу показателей одного вида.

Используем для нормирования (в каждом столбце) формулу . Если элементы первого вида сохраняются ( = ), а элементы второго вида превращаются в обратные величины ( = 1/), то улучшению качества системы будет соответствовать уменьшение, и таким образом, глобальный критерий предпочтения, который будет далее построен, может применяться и в случае, если некоторые частные критериальные показатели минимизируются, а не максимизируются (при этом знак численного значения частного критериального показателя (как в случае ) изменять не требуется.

Чем больше (для показателей обоих видов) приближается к , тем числитель дроби , записанной для получения , будет меньше, и тем менее высокой должна быть оценка по j-му критериальному показателю «качество» i-й системы.

Таким образом, после получения матрицы , содержащей только показатели второго вида

(2.10)

осуществляется переход к матрице нормированных значений :

, (2.11)

Исходя из этого, глобальный критерий должен обеспечивать предпочтение той системе из числа рассматриваемых, для которой сумма отличий по всем критериальным показателям от их максимально возможных значений (с учётом весовых коэффициентов ) минимальна:

. (2.12)

Рассмотрим конкретный пример выбора требуемой системы из трёх оцениваемых систем.

В строках таблицы 1 представлены исходные данные о значениях четырёх критериальных показателей для каждой из оцениваемых систем и используемые весовые коэффициенты.

Таблица 1. Значения критериальных показателей систем

и весовых коэффициентов показателей

Система
Цена, тыс. руб.	Коэффициент надежности	Потребность в обслуживающем персонале, чел.	Потребляемая мощность, кВт
	126	0,93	12	18
	87	0,85	10	15
	105	0,87	8	20
	0,45	0,25	0,20	0,10

С использованием данных таблицы 1 запишем матрицу :

.

Получим матрицу в которой элементы первого вида (), у которых значения чем больше, тем лучше, сохраняются ( = ), а элементы второго вида (, и ) превращаются в обратные величины ( = 1/)

Определяем максимальные значения в столбцах:

в первом столбце =1 / = 1 / 87 = 0,0114;

во втором столбце = = 0,93;

в третьем столбце 1 / = 1 / 8 = 0,1250;

в четвертом столбце 1 / = 1 / 15 = 0,0667.

Матрица с учётом того, что ,

при этом, например, элемент

,

имеет следующий вид:

.

Рассчитаем с использованием формулы (2.12) линейной свёртки значения критериальных показателей для каждой из трёх систем:

= 0,45 * 0,307 + 0,25 * 0 + 0,20 * 0,334 + 0,10 * 0,166 = 0,222;

= 0,45 * 0 + 0,25 * 0,086 + 0,20 * 0,200 + 0,10 * 0 = 0,062;

= 0,45 * 0,167 + 0,25 * 0,065 + 0,20 * 0 + 0,10 * 0,250 = 0,116.

Анализ полученных результатов численных значений критериальных показателей приводит к выводу, что наилучшей системой является система 2 с значением критериального показателя = 0,062.

4 Задачи с неоднократным определением весовых коэффициентов

Довольно часто встречаются задачи, при решении которых приходится неоднократно прибегать к выбору весовых коэффициентов.

Рассмотрим пример задачи выбора научного руководителя студентом стар­шего курса университета, приведенный в указанной в качестве рекомендуемой литературы учебнике

Глобальный показатель "качества", характери­зующий правильность выбора научного руководителя студентом, связывается с общим удовлетворени­ем работой в конкретной научной группе.

Так как такой показатель является достаточно расплывчатым и неопределённым, поэтому воспользуемся наиболее существенными частыми критериями, и задача трансформируется в некоторую многокритериальную задачу.

Будем рассматривать следующие частные критериальные показатели и соответствующие им критерии оптимальности, характеризующие в совокупности ис­ходный глобальный показатель:

1) Перспективность с позиций по­следующего трудоустройства проводимых в группе исследований

2) Личный интерес студента к проводимым исследованиям f2

3) Возможность получения дополнительной заработной платы в процес­се обучения f3

4) Связь научной группы с конкретными фирмами, принимающими на работу молодых специалистов

5) Профессионализм, характер и человеческие качества лично научного руководителя

6) Состав научной группы и отношения в коллективе

Предполагается, что все введенные частные показатели необходимо мак­симизировать, то есть большему значению каждого показателя будет соот­ветствовать более желаемое состояние для студента.

Рассмотрим ситуацию выбора, когда имеется три потенциальных науч­ных руководителя, обозначенных буквами А, В, С .

Будем исходить из того, что вектор весов для сформулированных частных критериев определён ранее в процессе рассмотрения простого метода выбора с транзи­тивной шкалой: = 0,364; = 0,182; = 0,045; = 0,182; = 0,182; = 0,045 и перейдём к процедуре вычисления значений частных критериальных показателей оптимальности, соответствующих трём вариантам А, В, С.

Вначале ещё раз с помощью того же самого подхода ранжируем варианты А, В, С по критерию (перспективность исследований). Пусть пользователь указал следующие значения коэффициентов превосходства:

; .

Соответствующий вектор весов имеет компоненты

= (;;) = (0,25; 0,25; 0,5);

которые интерпретируются как значения критериального показателя целевой функции для трёх вариантов А, В, С :

= 0,25; = 0,25; = 0,5.

Аналогично определяются значения критериальных показателей остальных целевых функций для ва­риантов А, В, С :

; ; =(0,571, 0,286, 0,143);

= 0,571; = 0,286; = 0,143.

; ;

= 0,333; = 0,333; = 0,333.

; ;

= 0,091; = 0,182; = 0,727.

; ;

= 0,727; = 0,182; = 0,091.

; ;

= 0,25; = 0,5; = 0,25.

Воспользовавшись методом линейной свертки, получим значения критериального показателя оптимальности для трёх вари­антов, среди которых осуществляется выбор, при = 0,364; = 0,182; = 0,045; = 0,182; = 0,182; = 0,045 и полученных значениях = 0,25; = 0,5; = 0,25:

= 0,3640,25 + 0,1820,571 + 0,0450,333+

+ 0,1820,091 + 0,1820,727 + 0,0450,25 = 0,370;

0,3640,25 + 0,1820,286 + 0,0450,333+

+ 0,1820,182 + 0,1820,182 + 0,0450,5 = 0,247;

0,3640,5 + 0,1820,143 + 0,0450,333+

+ 0,1820,727 + 0,1820,091 + 0,0450,25 = 0,383.

В данном случае чем каждый из весовых коэффициентов больше, тем лучше, то есть глобальным критерием является .

С учётом этого, наиболее перспективным с позиций применяемого мето­да признается выбор руководителя С. Однако видно, что выбор А ока­зывается почти столь же хорошим.

ВОПООСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

16) Методы принятия решений, основанные на ранжировании: постановка задачи

17) Методы определения весовых коэффициентов: метод Саати, метод Коггера и Ю

18) Упрощенный метод выбора вектора значений весовых коэффициентов с транзитивной шкалой (с пояснением на конкретном примере и оценкой числа сравнений)

19) Решение задачи выбора с использованием весовых коэффициентов (с пояснением на конкретном примере)

20) Задачи с неоднократным определением весовых коэффициентов (с пояснением на конкретном примере)