Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

12.

Основы теории Максвелла для электромагнитного поля.

1.  Вихревое электрическое поле. Первое уравнение теории Максвелла в интегральной форме.

2.  Взаимосвязь электрического и магнитного полей. Второе уравнение теории Максвелла в интегральной форме.

3.  Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Относительный характер электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля.

Между электрическим и магнитным полями существует глубокая внутренняя связь, проявляющаяся в том, что эти поля могут превращаться друг в друга. Взаимное превращение электрических и магнитных было открыто во второй половине 19 века Максвеллом, который развил общую теорию электромагнитного поля в покоящихся средах. Теория Максвелла позволяет с единой точки зрения охватить совокупность рассмотренных нами фактов, касающихся свойств электрических и магнитных полей. Рассмотрим основные идеи этой теории.

1.

Возьмём замкнутый проводник в магнитном поле. Проводник неподвижен. При всяком изменении магнитного поля в таком проводнике в следствие электромагнитной индукции возникает э. д.с. и появляется индукционный ток.

(направление соответствует возрастанию ). Источников тока нет, а электрический ток есть. На заряды действует электрическое поле и направление движения этих зарядов проходит по замкнутому контуру, следовательно, силовые линии возникающего электронного поля замкнуты ( в отличие от силовых линий электростатического поля).

Поле, силовые линии которого замкнуты, мы назвали вихревым. Следовательно, электрическое поле, возникающее под действием переменного магнитного поля, является вихревым. Замкнутый проводник является в данном случае только индикатором электрического поля, которое существует здесь и при отсутствии проводника.

Т. о. углубленное истолкование явления электромагнитной индукции приводит к следующему выводу, выражающему первое основное положение теории Максвелла: всякое изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля.

Полученный результат можно выразить с количественной стороны: из закона электромагнитной индукции . - магнитный поток, пронизывающий площадку , ограниченную контуром . - проекция вектора на положительную нормаль .

В то же время ; тогда

(1)

Это первое уравнение теории Максвелла в интегральной форме. Оно показывает, что вихревое электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем.

Возникновение в пространстве вихревого электрического поля под действием переменного магнитного поля лежит в основе действия ускорителей электронов – бетатронов.

; по второму закону Ньютона

(1)

(2)

; В – индекс магнитного поля на орбите; <В> - среднее значения и. м.п. в момент времени t в пределах площади орбиты электрона. Служат для получения желаемого рентгеновского излучения.

2.

Должно, по-видимому, существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление вихревого магнитного поля.

Для доказательства этой гипотезы Максвелла можно рассмотреть опыт Эйхенвальда:

Имеются два диска, на одном – положительный заряд, на другом – отрицательный. Между дисками – электростатическое поле. Магнитная стрелка, помещённая в металлический кожух, на него не реагирует. Т. к. магнитное поле внутри кожуха =0.

Если один из дисков вращать, то между пластинами будет уже переменное электрическое поле и магнитная стрелка поворачивается. Магнитная стрелка в опыте является индикатором магнитного поля.

Другой опыт:

К – позволяет менять полярность батареи. Постоянный ток в цепи 1 течь не может (конденсатор представляет собой разрыв для тока). Лампочка не горит. Если менять полярность иона с некоторой частотой, наблюдаются вспышки лампочки. И при частоте переключения 100 раз в секунду отдельные вспышки наблюдаться уже не будут, лампочка горит равномерно, т. е. в цепи возникает длительный переменный ток.

Следовательно … токов, изменяющийся или переменные токи могут существовать и в разомкнутых контурах. (этот ток обусловлен перемещением зарядов между обкладками конденсатора) и связан с изменяющимся во времени эл. полем между обкладками. Ток, обусловленный в разомкнутом контуре (между обкладками) переменным электронным полем получил название тока смещения. По сути, это изменяющееся во времени электрическое поле.

Рассмотрим подробнее процессы, происходящие при прохождении переменного тока по цепи, содержащей конденсатор:

В диэлектрике между пластинами конденсатора заряды не могут перемещаться, линии тока обрываются у поверхности пластины.

Ток проводимости оказывается разомкнутым - плотность тока внутри обкладки при разрядке конденсатора. В пространстве между плоскостями возникает переменное электрическое поле , т. е. или т. е. внутри пластины А налево направлены линии плотности тока проводимости: и численные значения и равны. см.

Линии плотности тока проводимости внутри проводящей пластины непрерывно переходят в линии вектора см между пластинами.

Согласно закона полного тока ; следовательно

(2)

- второе уравнение т. Максвелла в интегральной форме. В случае когда и уравнения (1) и (2) будут иметь вид

(1*)

(2*)

При описании магнитного поля уравнения (1*) и (2*) должны быть дополнены уравнениями

(3)

(4)

3.

Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

1)  Теорема Стокса

Если

(1)

(2)

(2*)

Аналогично, если

(3)

2)  Теорема Остроградского

;

- уравнение Пуассона

аналогично

Полная система уравнений

- удельное сопротивление

Т. Максвелла является макроскопической теорией, поэтому в ней не рассматриваются зависимости , и от молекулярного строения вещества.

Т. Максвелла описывает электромагнитные поля макроскопических зарядов и токов, но не объясняет тех явлений, где сказывается внутреннее строение вещества (например, физических процессов в диэлектриках и магнетиках).

Развитием т. Максвелла является электронная теория Лоренса, которая показывает, что электрические и магнитные свойства вещества определяются характером движения и взаимодействия зарядов, из которых состоят его атомы и молекулы.

Усреднение уравнений электронной теории приводит к уравнениям т. Максвелла.

Дальнейшее развитие электродинамика Максвелла-Лоренса получила в квантовой физике.

Относительность электрических и магнитных полей.

Пусть в неподвижной системе отсчёта координат созданы электрическое и магнитное поля с характеристиками , и , . Определим , и , движущейся относительно с. о.к. со скоростью системы отсчёта

1)  Рассмотрим

В более общем случае

2)  Аналогично, при движении системы отсчёта относительно электрического поля

Рассмотрим заряд, движущийся относительно наблюдателя со скоростью . Такой заряд создаёт магнитное поле

(Рисунок)

в более общем случае

Пример: (Рисунок)