ПЗ-5: «Волновые свойства частиц»

ПЗ-5: «Волновые свойства частиц»

Выписка из рабочей программы дисциплины «Квантовая микро - и макрофизика»

№ рейтингового блока	Тема практического занятия	№ темы из раздела 2	Объём времени, час
норм.	сокращ. (ускорен.)
очная	заочная	очная	заочная
1	Волновые свойства частиц.	2.2	4

Краткая теория

Соотношение де Бройля:

.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга:

,

,

,

.

Для частицы, находящейся в стационарном силовом поле (электрическом, гравитационном) уравнение Шредингера имеет вид:

где символом обозначена сумма вторых частных производных волновой функции по координатам (оператор Лапласа) ;

Е – полная энергия частицы;

U – потенциальная энергия частицы в силовом поле;

m – масса частицы;

– постоянная Планка.

Если волновая функция зависит только от одной координаты х, то уравнение Шредингера примет вид:

Примеры решения задач

1. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину ~10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома.

Дано: Ек = 10 эВ = 10×1,6×10-19 = 1,6×10-18 Дж.

Найти: lmin = ?

Решение

Если атом имеет линейные размеры l, то можно взять

, откуда

Физически разумным является взять т. к. ошибка в определении импульса не должна превышать сам импульс (в этом случае Dр£рмах, и l=lmin),

Из условия Е0 = m0с2 = 51,2×104 эВ.

По условию задачи Екин = 10 эВ < Е0, следовательно электрон можно рассматривать как классическую частицу и

2. Определить уширение спектральной линии возникают в атоме водорода при его переходе из возбужденного состояния с п= 4. Время жизни в этом состоянии t = 10-10с.

Решение

3. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна «l». Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы при минимально возможной его энергии.

Решение:

если Dxmax = l.

4. Частица массой m движется в одномерном потенциальном поле (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частиц в таком поле.

Решение:

из условия min:

а) mx3® ¥, x®¥ - не имеет физ. смысла

б) mk×x4-h2 =0

знак «-» не имеет физ. смысла.

- положение минимума энергии.

5. Частица находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной «l» с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < l ).Найти вероятность пребывания частицы в области , считая, что состояние частицы описывается волновой функцией вида:

Решение:

для случая одномерной потенциальной ямы с абсолютно непроницаемыми стенками:

(п=1,2,3 ...)

т. к. состояние основное, то п=1, и

6. Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной «1» с абсолютно непроницаемыми стенками. Определить распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы в квантовом состоянии с п=3. Принять, что состояние частицы в потенциальной яме описывается волновой функцией вида.

Решение:

- плотность вероятностей обнаружения частицы в области вблизи координат х.

Т. к. состояние с п=3, то

и

Исследуем зависимость от х.

всегда, когда т. е.

7. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном «ящике» шириной l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Dl=0,01l в двух случаях: а) вблизи стенки (0£ x £ Dl); б) в средней части «ящика»

Решение

Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x+dx) пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции.

в случае конечного интервала Dх

а) х1 = 0; х2 = 0,01×l

можно иначе

т. к. 0£ х £ l, то аргумент величина малая м можно

тогда

б)

т. к. квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума на расстоянии практически не изменяется, то можно считать

Dх2 =Dl.

8. Определить степень вырождения многоэлектронного атома, находящегося в состоянии с п=3. Перечислить возможные состояния, изобразить схематично

Решение:

п=3, N=2n2 = 18.

п=3; l=0,1,2; mi = 0,±1, ±2; ms = ±1/2.

n=3, l=0. ml = 0, ±1; ms =±1/2.

n=3, l=1, ml =0, ±1, ms =±1/2.

n=3, l=2; ml =0, ±1,±2, ms =±1/2.

8. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность уровней dN/dE, т. е. их число на единичный интервал энергии в зависимости от Е. Вычислить dN/dE для Е=1,0 эВ, если l=1,0 см.

Решение:

Для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками, энергия (U=0) определяется соотношением:

где l - ширина потенциальной ямы.

Энергетический интервал между двумя соседними уровнями:

при =10-2 м, Е=1,6×10-19 Дж.

Условия задач

1. Определить длину волны электрона находящегося на первой боровской орбите, радиус которой . Постоянная Планка .

2. Электрон из состояния покоя пролетел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев U1=51 В, U2=51.104 В.

3. Электрон из состояния покоя пролетел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев U1=1 В, U2=100 В.

4. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля l =2,02 пм. Найти массу т частицы, если ее за­ряд численно равен заряду электрона.

5. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью .

6. Найти длину волны де Бройля для шарика массой 1 г, движущегося со скоростью .

7. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре 300 К.