7. Расчет круглых и кольцевых пластин
Расчет круглых и кольцевых пластин целесообразно проводить в полярной системе координат. Гипотезы Кирхгофа изгиба пластин остаются правомерными при расчете тонких пластин в произвольной системе координат.
Углы поворота сечений пластинки в полярной системе координат определяются по формулам:
; 
. (7.1)
Тогда, тангенциальные перемещения согласно гипотезам Кирхгофа определяются по формулам:
; 
. (7.2)
Тангенциальные деформации получаем в соответствие с формулами (2.3.1, раздела II):
; 
;
, (7.3)
где 
, 
; 
- изгибные кривизны и кривизна кручения пластинки в полярной системе координат.
Используя закон Гука и интегрируя нормальные и тангенциальные напряжения по толщине пластинки, получаем формулы изгибающих и крутящего моментов (рис. 7.1):
;
;
. (7.4)
изгибная жесткость пластинки
Поперечные силы в определяем из условий равновесия элемента пластинки (рис 7.1):
; 
, (7.5)
- оператор Лапласа в полярной систе6ме координат.
Разрешающее уравнение изгиба круглых и кольцевых пластин в перемещениях (прогибах) получаем, используя формулу (2.4) (заменяя бигармонический оператор в прямоугольной системе координат на оператор в полярной системе координат)
, (7.6)
где 
- бигармонический оператор в полярной системе координат (см. раздел II,2, формула (2.4)).
7.1. Осесимметричный изгиб круглых и кольцевых пластин
Осесимметричный изгиб круглых и кольцевых пластин возникает, если нагрузка, действующая на пластину 
, и условия закрепления не зависят от полярного угла q (рис. 7.2). Изогнутая срединная поверхность представляет в этом случае поверхность вращения и прогиб и внутренние усилия не зависят от полярного угла.
На рисунке не показаны опоры, которые могут располагаться по любому кольцу в пределах пластинки.
Уравнение равновесия и выражения внутренних усилий получаем, положив нулю производные по координате q в формулах (7.4-7.6):
Уравнение равновесия
. (7.7)
Внутренние усилия:
; 
;
. (7.8)
Крутящий момент H и круговая поперечная Qq сила равны нулю.
Введем безразмерный радиальный параметр (координату)
, 
, (7,9)
Учитывая, что 
, поручим уравнение равновесия и формулы внутренних усилий в безразмерных координатах
. (7.10)
; 
;
.(7.10,а)
Интегрируя уравнение (7.10), получаем
, (7.11)
где wq(x) - получаем, интегрируя функцию нагрузки - правую часть уравнения (7.7); 
- произвольно выбранное значение нагрузки; G - произвольная константа, назначаемая для удобной формы записи решения
. (7.12)
В случае постоянной нагрузки q=q0 получаем 
. Принимая 
, получим 
.
Константы интегрирования Сi Определяются из условий опирания пластинки.
Для круглой пластинки (без отверстия) с опиранием по одной круговой линии из условий ограничения прогиба в центре пластинки коэффициенты С3, С4 принимаются равными нулю. Решение получаем в виде
. (7.13)
Отметим, что в случае одной кольцевой опоры, погонная реакция круговой опоры Vо и поперечные силы Qr в сечениях определяются из условий равновесия пластинки (для Vо) или отсеченной внешней или внутренней (по отношению к круговой опоре) части пластинки:
, rоп - радиус круговой опоры;
, 
; 
, 
, (7.14)
rB - внутренний радиус кольцевой пластинки (радиус отверстия). Для круглой пластинки (без отверстия) rB = 0.
Для постоянной нагрузки получаем:
, 
; 
, 
. (7.15)
Рассмотрим примеры расчета круглых пластин (без отверстия), опертых по внешнему контуру.
Пример 1. Пластинка с жестким защемление по внешнему кругу (rоп= R). Пластинка загружена постоянной нагрузкой q = q0 (рис. 7.3). Граничные условия: 
, 
.
Здесь и далее обозначаем символом ¢ обозначаем производную по безразмерной координате x
Для постоянной нагрузки имеем 
Функцию прогиба принимаем в виде:
. (7.16)
Для изгибающих моментов, получаем:
;
.
(7.17)
Поперечную силу определяем в соответствии с формулой (7.14)
. (7.18)
Удовлетворяя граничные условия, получаем
® 
; 
® 
; 
.
Тогда
;
; 
. (7.19)
Нетрудно убедиться, что определение поперечной силы, по формуле (7.10), приводит к формуле (7.18). Эпюры прогибов и изгибающих, и значения в характерных сечениях (x = 0, (x = 1) приведены на рис. 7.3,
Пример 2. Пластинка шарнирно опертая по внешнему кругу (rоп= R). Пластинка загружена постоянной нагрузкой q = q0 (рис. 7.4). Граничные условия: 
, 
.
Используя формулы (7.16-7.17), удовлетворяя граничные условия опирания пластинки имеем:
® ;
® 
; 
.
Тогда
;
;
. (7.20)
Эпюры прогибов и изгибающих, и значения в характерных сечениях (x = 0, (x = 1) приведены на рис. 7.3.
Пример 3. Пластинка шарнирно опертая по внешнему кругу (rоп= R) загружена на внешнем контуре равномерно распределенным изгибающим моментом М0. Нагрузка в площади пластинки отсутствует q = 0. Граничные условия 
, 
.
Так как q = 0, то wq.= 0, Qr = 0. Функции прогибов и изгибающих моментов получаем в виде
; 
; (7.21)
Удовлетворяя граничные условия, получаем:
® 
; 
® 
.
; 
. (7.22)
Из формулы (7.22) следует, что при действии распределенного момента по внешнему контуру круглой пластинки, что пластинка изгибается и форме параболы вращения, а изгибающие моменты постоянны в области пластинки - чистый изгиб.
Пример 4. Круглая пластинка шарнирно опертая по внешнему контуру, загруженная линейно распределенной по радиусу нагрузкой 
(рис 7.5).
Граничные условия: 
, .
По формуле (7.12) получаем 
; G = 1/225. и
.
Удовлетворяя граничные условия получаем
® ;
® 
; 
.
;
;
; 
.
Эпюры прогибов и изгибающих моментов и их значения в характерных точках представлены на рис 7.5.
При обратном линейном распределении нагрузки по радиусу (наибольшее значение в центре, нулевое значение на контуре) 
нагрузку можно рассматривать как разность равномерной нагрузки 
и линейно распределенной по радиусу 
и получать результаты расчета суммируя (с учетом знака) результаты примеров 1 и 4.
7.1.1 Расчет кольцевых пластин
При расчете кольцевых пластин используем общее решение в безразмерных координатах (7.11). Дифференцируя функцию прогиба (далее производные по безразмерной координате x будем обозначать dw/dx = w¢), получим:
;
Ошибка! Ошибка внедренного объекта.;
, (7.1.1)
G - константа, зависящая о типа нагрузки, может принимать G - 1.
Для внутренних усилий по формулам (7.10,а) имеем:
;
;
, (7.1.2)
; 
; 
.
.
Формулы функции нагрузки и 
соответствуют функциям при расчете круглых пластин. В частности, при постоянной нагрузке 
, получаем: 
, G=1/64, 
; 
; 
.
Радиус отверстия кольцевой пластины в безразмерных координатах определяется параметром 
Пример 5. Кольцевая пластинка шарнирно-опертая по внешнему контуру и защемленная на внутреннем контуре загружена постоянной нагрузкой 
, (рис.7.6), l=0.25. Граничные условия 
, 
, 
, 
.
 |
Удовлетворяя граничные условия, получаем систему алгебраических уравнений:
. (7.1.3)
Решая систему уравнений (7.1.3), можно получить формулы коэффициентов сi и далее формулы внутренних усилий. 0днако формулы будут громоздкими, поэтому целесообразно дальнейшие вычисления проводить на ЭВМ в системе "MathCad".
Эпюры прогибов и внутренних усилий, а также их значения в характерных сечениях приведены на рис 7.6.
Используя формулы (7.1.1), (7.1.2) несложно составить матрицу уравнений удовлетворяющим стандартным граничным условиям: защемление контуров, шарнирное опирание или свободный край пластинки при любых их комбинациях на внешнем и внутреннем контурах и реализовать расчеты на компьютере.
Получив из решения системы уравнений (7.1.3) коэффициенты сш, далее вычисляют и строят эпюры прогибов и внутренних усилий в нужных сечениях.
