Вероятностно-статистические модели и методы в управлении (стр. 2 )

Математическое ожидание неотрицательной случайной величины
больше 0.

Если Х непрерывная случайная величина, то P(X=Med X)=0.5.

Для любых двух событий А и В Р(АВ)=Р(А)Р(А|В).

Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/6, то математическое ожидание количества выпадений 6 при 7 бросках равно 7/6.

Задача 4.2.

Доказать, что для зависимых случайных величин и справедливо утверждение:

Задача 4.3.

Дана таблица данных по затратам предприятия на рекламу своей продукции Х и объемами продаж этой продукции Y (в условных денежных единицах) в разные месяцы:

Х	3	4	5	3	6
Y	3,5	4,0	5,0	4,0	6,5

Построить график, отражающий связь Х и Y. Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайных величин, найдите для точечные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии, на основе коэффициента корреляции Пирсона оцените их влияние друг на друга.

Задача 4.4.

Данный прибор состоит из двух устройств. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет для первого устройства вид , а для второго устройства вид .

Найти вероятность того, что в течение времени от 0 до T прибор будет работать, если он функционирует при условии работы хотя бы одного устройства.

Задача 4.5.

Случайная выборка 345 людей, обратившихся в брачное агентство, показала, что 210 из них нашли себе пару с его помощью. Построить 95% доверительный интервал для доли всех людей, обратившихся в это агентство и нашедших себе супруга с его помощью. Найдите минимальный объем выборки, при котором предельная ошибка выборки для доли всех людей, обратившихся в это агентство и нашедших супруга, не превысит 0.015.

Фамилия, Имя

группа

Вероятностно-статистические модели и методы в управлении

2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ) КР3 Билет №5

Задача 5.1.

Функция распределения положительной случайной величины определена при х>0.

Математическое ожидание случайной величины меньше её дисперсии.

Если Х непрерывная случайная величина, то P(X>Med X)=0 .

Р(А|А)=1.

Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/6 то математическое ожидание количества выпадений 6 при 7 бросках равно 6/7.

Задача 5.2.

Известно, что , причем
Найдите .

Задача 5.3.

Получены данные по затратам предприятия на рекламу своей продукции и объемам продаж этой продукции (в стоимостном выражении) за пять месяцев:

	2	3	5	3	5
	4	5	3	4	3

Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайных величин, найдите для точечные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии. По наблюдениям постройте график, отражающий связь двух параметров. Найдите выборочный коэффициент корреляции; сделайте вывод о тесноте связи между этими параметрами.

Задача 5.4.

Случайная величина подчинена показательному (экспоненциальному) закону распределения с интенсивностью потока событий, равному 7 событий за год. Чему равны математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение такой случайной величины? Покажите эти величины на графике распределения.

Задача 5.5.

Аналитик рынка ценных бумаг оценивает среднюю доходность определенного вида акций. Случайная выборка из 16 дней показала, что средняя доходность по акциям данного типа составляет 8% с выборочным средним квадратическим отклонением в 4%. Предполагая, что доходность акции подчиняется нормальному закону распределения, определите 99% - ый доверительный интервал для средней доходности интересующего аналитика вида акций.

Фамилия, Имя

группа

Вероятностно-статистические модели и методы в управлении

2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ) КР3 Билет №6

Задача 6.1.

Интеграл интегральной функции распределения по всей прямой равен 1.

Дисперсия отрицательной случайной величины не больше 0.

Если Х непрерывная случайная величина, то P(X>Med X)=1

Р(В|В)=0.

Медиана всякой случайной величины обязательно совпадает с ее математическим ожиданием.

Задача 6.2.

Имеются две зависимые случайные величины и с известными математическими ожиданиями и дисперсиями:
Известно также, что .

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Задача 6.3.

Для отрасли имеются данные по 6 предприятиям: время эксплуатации оборудования ( в годах) и стоимость на обслуживание этого оборудования в течение года( в тыс. долл.):

№ предприятия	1	2	3	4	5	6
Время	1	2	3	4 6. Монета брошена 200 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 80 раз. Найти вероятность того, герб выпадет более 150 раз. Найти наивероятнейшее число выпадений герба.	5	6
Стоимость	4	4.5	5.2	5.5	6	7

Постройте график, отражающий связь двух параметров. Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайных величин, найдите для точечные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии, найдите тесноту связи между параметрами.

Задача 6.4.

Данный прибор состоит из двух устройств. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет для первого устройства вид , а для второго устройства вид .

Найти вероятность того, что в течение времени от 0 до T прибор будет работать, если он функционирует при условии работы хотя бы одного устройства.

Задача 6.5.

Опрос 545 случайно отобранных жителей города показал, что 39% из них довольны деятельностью вновь избранного мэра. Построить 95%-ный доверительный интервал для генеральной доли жителей всего города, которые довольны деятельностью мэра. Сколько следует опросить жителей города, чтобы доверительный интервал уменьшился в четыре раза?

Фамилия, Имя

группа

Вероятностно-статистические модели и методы в управлении

2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ) КР3 Билет №7

Задача 7.1.

Интегральная функция распределения определена для любой случайной величины.

Если Х и Y любые случайные величины, то Е(Х +Y)=Е(Х)+Е(Y).

Среднеквадратичное отклонение всегда меньше дисперсии.

Математическое ожидание случайной величины всегда положительно.

Медиана всякой случайной величины обязательно больше ее математическим ожиданием.

Задача 7.2.

Коэффициент корреляции между случайными величинами иравен . Найдите коэффициент корреляциимежду случайными величинами и .