Линейные модели в экономике (стр. 4 )

откуда .

Итак, оптимальное решение исходной задачи есть (0, 1, 4).

Рассмотрим теперь задачу с четырьмя переменными, которую также можно свести к двойственной задаче, решаемой графически.

Пример 10.6. Для данной задачи составить двойственную, решить ее и с помощью второй теоремы двойственности найти решение ее исходной задачи:

,

Решение. Составим двойственную задачу:

,

.

Решив ее графическим методом, находим точку (1, 1).

Теперь применим вторую теорему двойственности для нахождения решения исходной задачи. Мы видим, что третье и четвертое ограничения двойственной задачи выполняются как строгие неравенства. Следовательно, . Кроме того, так как , то

откуда (с учетом ) получаем . Следовательно, оптимальное решение исходной задачи есть точка (2, 1, 0, 0). При этом, очевидно,

.

Вопросы

1. Что такое технологическая матрица?

2. Что называется задачей оптимизации? Как она записывается?

3. Что называется допустимым решением задачи оптимизации? Какое решение называется оптимальным?

4. Как формулируется общая задача линейного программирования?

5. Как связаны между собой исходная и двойственная задачи линейного программирования?

6. Пусть исходная задача линейного программирования имеет размер . Каков размер двойственной задачи?

7. В чем заключается основное неравенство теории двойственности?

8. Как формулируется основная теорема двойственности.

9. Может ли задача линейного программирования с двумя переменными быть двойственной к задаче с пятью переменными?

Лекция11
МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА.
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА

11.1. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА

Эффективное функционирование многоотраслевого хозяйства возможно лишь при наличии баланса между отраслями. Предположим, что вся производственная сфера хозяйства представляет собой n так называемых чистых отраслей.

Чистая отрасль – это условное понятие, некоторая часть хозяйства, относительно цельная, производящая свой однородный продукт и определяемая только видом выпускаемого продукта (таковы, например, добыча сырья, энергетика, сельское хозяйство и т. д.). Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление (как данной отраслью, так и другими отраслями), а другая часть предназначена для потребления в непроизводственной сфере.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (обычно таким промежутком служит год).

Введем следующие обозначения:

– общий объем продукции i-й отрасли (валовой выпуск);

– объем продукции i-й отрасли, расходуемый j-й отраслью в процессе производства;

– объем продукции i-й отрасли, предназначенный для потребления в непроизводственной сфере (объем конечного потребления).

Так как валовой объем продукции i-й отрасли равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах, то:

, i = 1, 2, …, n. (11.1)

Уравнения (11.1) называются соотношениями баланса.

Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, мы будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (11.1), имеют стоимостное выражение.

Математическая модель, позволяющая анализировать связь между отраслями, разработана в 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым.

В. Леонтьев, анализируя американскую экономику в период перед второй мировой войной, обратил внимание на следующее важное обстоятельство: в течение длительного времени величины

, i = 1, 2, …, n (11.2)

меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это объясняется тем, что технология производства остается практически постоянной на протяжении довольно длительного времени.

Сказанное выше позволяет сделать следующее допущение: для выпуска продукции j-й отрасли объема необходимо затратить продукцию i-й отрасли объема , где – постоянный коэффициент. Это допущение называется гипотезой линейности. Согласно этой гипотезе

, i = 1, 2, …, n. (11.3)

Согласно гипотезе линейности числа постоянны, они называются коэффициентами прямых затрат.

Теперь уравнения (11.1) с учетом (11.3) можно записать в виде системы:

(11.4)

Введем вектор валового выпуска , матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления (или конечного продукта) :

, , . (11.5)

Теперь система (11.4) в матричной форме имеет вид

. (11.6)

Уравнение (11.6) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с интерпретацией (11.6) вектора , матрицы A и вектора это уравнение называют моделью Леонтьева.

Основная задача межотраслевого баланса: найти такой вектор валового продукта , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного потребления . Иначе говоря, сколько следует произвести продукции разных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления?

Очевидно, задача сводится к тому, чтобы решить уравнение (систему линейных уравнений) (11.6) с неизвестным вектором , с известной матрицей A и при заданном векторе .

Условимся для краткости называть матрицу A неотрицательной, если все ее компоненты неотрицательны. В этом случае пишем . Аналогично определяется неотрицательный вектор.

В сформулированной выше задаче, очевидно, , (это непосредственно следует из экономического смысла A и ). Искомый вектор также должен быть неотрицательным: .

Перепишем уравнение (11.6) в виде

. (11.7)

Если – невырожденная матрица, то существует обратная к ней матрица и существует (и притом единственное) решение уравнения (11.7):

. (11.8)

Матрица называется матрицей полных затрат.

Выясним экономический смысл матрицы полных затрат . Рассмотрим единичные векторы конечного продукта:

, , …, .

Для них из (11.8) получаем соответствующие векторы валового выпуска:

, , …, .

Следовательно, каждый элемент матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (11.6). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Оказывается, нет необходимости требовать существования решения уравнения (11.6) для любого вектора . Достаточно установить существование такого решения хотя бы для одного вектора , как показывает нижеследующая теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема 11.1. Если для и для некоторого вектора уравнение (11.6) имеет решение , то матрица A продуктивна.

Существуют различные критерии продуктивности. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Второй критерий продуктивности. Матрица продуктивна, если сумма элементов любого ее столбца не превышает единицы:

.

11.2. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА

Понятия собственного вектора и собственного значения матрицы (см. § 5.3) применимы, в частности, для анализа процесса взаимных закупок товаров.

Рассмотрим следующий вопрос: какими должны быть соотношения между бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т. е. практически бездефицитной для каждой из этих стран. Для ответа на этот вопрос рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли.

Пусть имеется n стран. Их национальные бюджеты обозначим соответственно через , , …, . Пусть – доля бюджета , которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Будем полагать, что весь национальный бюджет каждой страны расходуется только на закупку товаров либо внутри страны, либо вне ее, т. е. справедливо равенство:

, j = 1, 2, …, n. (11.9)

Рассмотрим матрицу, составленную из этих коэффициентов :

. (11.10)

Она называется структурной матрицей торговли.

В соответствии с (11.9) сумма элементов любого столбца матрицы A равна единице.

Для i-й страны выручка от внутренней и внешней торговли составит

. (11.11)

Условие сбалансированности торговли формулируется так: выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального бюджета, ть. е. торговля должна быть бездефицитной для каждой страны: для всех i, или

, i = 1, 2, …, n. (11.12)

Теорема 11.2. Условием бездефицитной торговли являются равенства

, i = 1, 2, …, n.

Доказательство. Предположим противное, т. е. что для некоторого i. Тогда выполняется строгое неравенство:

. (11.13)

Распишем это равенство с учетом (11.11):

Группируя слагаемые, получаем:

Из (11.9) следует, что все суммы, стоящие в скобках, равны единице. Получаем противоречие:

.

Следовательно, строгое неравенство невозможно ни при каком i. Поэтому все неравенства принимают вид равенств:

, i = 1, 2, …, n. (11.14)

Введем вектор бюджетов:

.

Тогда система равенств (11.14) принимает вид:

. (11.15)

Это уравнение означает, что собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению = 1, состоит из бюджетов стран, ведущих сбалансированную торговлю. Итак, задача свелась к нахождению собственного вектора структурной матрицы торговли, отвечающего собственному значению = 1.

Пример 11.1. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

.

При каких условиях достигается сбалансированность торговли этих стран?

Решение. Уравнение (11.15) перепишем в виде :

.

Ранг этой системы равен двум. Решая ее, получаем

Положив = 36 (чтобы не было дробных чисел), получаем вектор

,

который можно взять в качестве собственного вектора.

Итак, сбалансированность торговли этих стран достигается при условии, что их бюджеты находятся в соотношении:

.

Вопросы

1. В чем заключается гипотеза линейности?

2. Какой вид имеет уравнение линейного межотраслевого баланса?

3. Что называется моделью Леонтьева?

4. Какая матрица называется матрицей полных затрат? Каков экономический смысл этой матрицы?

5. Какая матрица называется продуктивной? В каком случае модель Леонтьева называется продуктивной?

6 Каковы критерии продуктивности матрицы?

7. Что такое структурная матрица торговли? Чем характеризуются столбцы этой матрицы?

8. В чем заключается условие сбалансированности торговли?