Лекция 15. Криволинейные интегралы

ЛЕКЦИЯ 15. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Если понятие определенного интеграла обобщить на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая, то такой интеграл называется криволинейным.

15.1 Криволинейный интеграл I рода

Пусть функция задана вдоль непрерывной кривой на плоскости . Разобьем кривую произвольно на частей (рис.80) точками

.

Рисунок 80

Обозначим через длину дуги , - наибольшую из длин частичных дуг (т. е. ). Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

. (15.1)

Сумма (15.1) называется интегральной суммой для функции по кривой .

Если существует конечный предел интегральных сумм (15.1) при , не зависящий ни от способа разбиений кривой, ни от выбора точек в них, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой и обозначается

или .

Тогда, по определению имеем

=. (15.2)

Теорема. Если функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл первого рода существует.

15.2 Основные свойства криволинейного интеграла I рода

1)  =, т. е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2)  .

3)  , где .

4)  , где кривая состоит из двух кривых и .

5)  Если для всех точек кривой , то

.

6)  , где точка лежит на кривой , - длина кривой (теорема о среднем).

15.3 Вычисление криволинейного интеграла I рода

Для вычисления криволинейного интеграла I рода используют одну из следующих формул:

1)  если кривая задана уравнением , , то

; (15.3)

2)  если кривая задана параметрически , , , где и - непрерывно дифференцируемые функции по , то

; (15.4)

3)  если кривая задана уравнением , , то

. (15.5)

Замечание. Криволинейный интеграл первого рода от непрерывной в некоторой пространственной области функции по длине дуги определяется аналогично, т. е.

=, где .

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , , то

. (15.6)

Пример 15.1. Вычислить интеграл , где - отрезок прямой, заключенный между точками и .

Решение.

Найдем уравнение прямой : .

При движении от точки к точке меняется от 0 до 1. По формуле (15.3) имеем:

Пример 15.2. Вычислить интеграл , где - арка циклоиды , , причем .

Решение.

Так как

,

то по формуле (15.4) имеем

Пример 15.3. Вычислить интеграл , где - контур окружности .

Решение.

Перейдем к полярным координатам по формулам перехода

, .

Тогда уравнение данной окружности примет вид ,

.

Угол меняется от до , т. к. окружность расположена в I и IV четвертях. По формуле (15.5) имеем

15.4 Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

1) Длина кривой

Длина кривой вычисляется по формуле

. (15.7)

2) Площадь цилиндрической поверхности

Если образующая поверхность параллельна оси и ее направляющей является кривая , лежащая в плоскости , то площадь поверхности, задаваемой функцией , находится по формуле

.

3) Масса кривой

Если материальная кривая имеет плотность в точке, то её масса вычисляется по формуле

.

4) Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей и соответственно равны

,

,

а координаты центра тяжести вычисляются по формулам:

, .

5) Моменты инерции

Моменты инерции , , материальной кривой относительно осей и , начала координат соответственно равны

,

,

.

Пример 15.4. Найти координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды

если (рис.81).

Плотность считать равной единице в каждой точке кривой ().

Рисунок 81

Решение.

Учитывая симметрию кривой относительно прямой , получаем абсциссу центра тяжести: .

Найдем сначала массу кривой

.

Тогда

.

Итак, искомый центр тяжести дуги – точка .

15.5 Криволинейный интеграл II рода

Пусть на кривой в плоскости определены две ограниченные функции и . Разобьём кривую на частей точками:

.

Обозначим проекции вектора на оси координат через и . На каждой частичной дуге возьмем произвольную точку и составим сумму для функций и :

. (15.8)

Сумма (15.8) называется интегральной суммой для функции по переменной (для функции по переменной ).

Введем обозначения:

- длина дуги ,

.

Если существует конечный предел интегральных сумм (15.8) при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них, то его называют криволинейным интегралом второго рода от функции () по кривой и обозначают

.

Обычно рассматривают сумму интегралов по координате и по координате :

. (15.9)

Интеграл (15.9) называют общим криволинейным интегралом второго рода.

Теорема. Если функции и непрерывны на гладкой кривой , то криволинейный интеграл существует.

Криволинейные интегралы второго рода обладают теми же свойствами, что и криволинейные интегралы первого рода, только они зависят от выбора направления кривой (от к или от к ): если изменить направление обхода, то интеграл меняет знак, т. е.

.

Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

Условимся называть направление положительным, если область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру , пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают символом

.

15.6 Вычисление криволинейного интеграла II рода

Криволинейные интегралы второго рода сводятся к определенным интегралам.

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода пользуются одной из следующих формул:

а) если кривая задана уравнением и при перемещении из точки в точку меняется от до , то

. (15.10)

б) если кривая задана параметрическими уравнениями , и при перемещении из точки в точку параметр меняется от до , то

. (15.11)

Аналогично определяется криволинейный интеграл от непрерывных функций в некоторой пространственной области функций и по координатам вдоль дуги пространственной кусочно-гладкой кривой , расположенной в этой области:

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , то

.

Замечание. Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением:

,

где и - углы, образованные касательной к кривой в точке с осями и соответственно.

Пример 15.5. Вычислить , где - дуга параболы , пробегаемая от точки до точки (рис.82).

Рисунок 82

Так как при движении из точки в точку меняется от до , то по формуле (6.1) имеем

.

15.7 Формула Грина

Между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по границе этой области существует связь, определяемая формулой Грина.

Пусть - кусочно-гладкий контур на плоскости , а - ограниченная этим контуром замкнутая область.

Теорема. Если функции и непрерывны в области и имеют в этой области непрерывные частные производные, то справедлива формула

. (15.12)

Формула (15.12) называется формулой Грина.

Пример 15.6. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

,

где - контур треугольника с вершинами в точках , и (рис.83).

Рисунок 83

Решение.

Применим формулу Грина (7.1). В данном случае , , поэтому

, .

Тогда получаем

.

15.8 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Плоская область называется односвязной, если для любого замкнутого контура , лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области .

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области , в которой функции и непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

. (15.13)

Если выполнено условие (15.13) и - замкнутый контур, то

. (15.14)

Если выполнено условие (15.13), то выражение является полным дифференциалом некоторой функции, определенной в области , т. е.

.

Пример 15.7. Вычислить интеграл , где - окружность .

Решение.

Здесь , . Получаем

.

Так как условие (15.13) выполняется и контур замкнутый, тогда по формуле (15.14) данный интеграл равен нулю.

15.9 Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

1) Площадь плоской области

Площадь плоской области , расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , находится по формуле

, (15.15)

где направление обхода контура выбрано так, что область все время слева от пути интегрирования.

2) Работа силы

Работа, совершаемая переменной силой вдоль кривой , находится по формуле

. (15.16)

Пример 15.8. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки по прямой из точки в точку .

Решение.

Из формулы (15.16) следует, что

.