Примеры решения задач контрольного задания

Примеры решения задач контрольного задания

Задача 1: Определить показатель Рс надежности ИС, содержащей 4 элемента и имеющей следующую ССН:

 

Решение. Поскольку в ИС элементы 1 и 3 соединены последовательно в смысле надежности (отказ любого элемента приводит к отказу всей этой цепочки элементов), то показатель их общей надежности Р13=Р1*Р3 (принцип “ цепь не крепче ее наислабейшего звена”). Аналогично Р24=Р2*Р4. Теперь эквивалентная ССН ИС содержит 2 элемента и имеет следующий эквивалентный вид:

Поскольку элементы 13 и 24 соединены параллельно в смысле надежности (отказ одного из них не приводит к отказу всей ИС, т. к. другой элемент остается работоспособным, принцип “ сеть крепче ее сильнейшего звена”), то показатель их общей надежности Рс = 1 – Qс, где Qс – показатель "ненадежности" ИС (соответственно вероятность отказа ИС за заданное время, функция распределения отказов, коэффициент простоя и т. д.). [Всегда Рс + Qс ≡ 1]. Показатель системы Qс = Q13*Q24 , где Q13,Q24 – показатели "ненадежности" (например, вероятность отказа) ее элементов 13 и 24 (система откажет, если откажет и элемент 13, и элемент 24). Очевидно, что Q13= 1 – Р13, а Q24= 1 – Р24. Таким образом, окончательно имеем

Рс = 1 – Qс = 1 – Q13*Q24 = 1 –(1 – Р13) * (1 – Р24) =1 – (1 – Р1*Р3) * (1 – Р2*Р4). (П1)

Определить для указанной выше ИС вероятность безотказной работы Рс за заданное время, если вероятности безотказной работы ее элементов за это время составляют Р1= 0.9, Р2= 0.8, Р3= 0.9, Р4= 0.8.

Решение. Используя формулу (П1), имеем Рс = 1 – (1 – 0.81) * (1 – 0.64) =

= 1 –0.19 * 0.36 = = 1 – 0.0684 = 0.9316.

[При подготовке к зачёту самостоятельно подготовьтесь к решению задач по оценке надежности ИС по их структурным схемам надежности при различном числе элементов ИС (N=2,3,4,5)].

.

Задача 2: Поток отказов ИС подчинен закону Пуассона с параметром l=0.0001 1/час. Определить вероятность того, что за время с момента начала работы в течение t1 час ИС будет работоспособна, а в течение t2 час в ней не будет более N отказов. Пусть задано t1 = 1000 час; t2 = 1 год; N = 2.

Решение. В соответствии с законом Пуассона вероятность возникновения ровно К отказов за время t при простейшем потоке отказов с параметром l определяется следующей формулой:

. (П2)

Следовательно, вероятность того, что за время с момента начала работы в течение 1000 час ИС будет работоспособна (число отказов К =0), равна:

0,905.

Аналогично за время t2 = 1 год = 8760 час имеем:

Ро(8760)= exp(–0.0001*8760) 0,416.

В случае К =1 в соответствии с (П2) определим Р1(8760):

0,876*0,416 ≈ 0,364.

При К =2 в соответствии с (П2) определим Р2(8760):

0,384*0,416 ≈ 0,160.

Таким образом, вероятность того, что за время с момента начала работы в течение 1 года в ИС будет не более 2 отказов (число отказов К = 0,1 ,2), равна:

Рк<3(1 год) = Р0,1,2(8760) = Р0(8760) + Р1(8760) + Р2(8760) ≈ 0,416+0,364+0,160 ≈ 0,940.

Выводы: 1. В 1000 ИС через 1000 час отказ произойдет в среднем в 95 ИС (1000-905=95), а за 1 год – в 584 ИС (1000-416=584).

2. В течение 1 года из 1000 ИС в 940 ИС произойдет в среднем не более 2 отказов.

Задача 3: Функция надежности интерфейса ИС подчинена показательному закону с параметром l = 10-4 час-1. Определить показатели ее надежности: плотность распределения наработки до отказа, вероятность безотказной работы за 10000 час и за 1 год, среднюю наработку до отказа.

Решение. Пусть задано: интенсивность отказов l = 10-4 час-1, t = 104 час, N = 1 год.

Плотность распределения наработки до отказов f(t) в любых случаях определяется по формуле

f(t) = l (t).p(t), (1)

где p(t) – функция надежности интерфейса ИС.

Поскольку по условию l = const, то отказы интерфейса ИС имеют характер внезапных (период нормальной эксплуатации ИС), для таких отказов функция надежности интерфейса ИС

p(t) = e–lt. (2)

Следовательно, плотность распределения наработки до отказов интерфейса ИС соответствии с (1) и (2) определяется как

f(t) = l.exp(–lt) = 10-4exp(–10-4 .t). (3)

График зависимости плотности распределения наработки до отказов от времени эксплуатации интерфейса ИС f(t) имеет следующий вид:

{далее необходимо представить указанный выше график}.

Вероятность безотказной работы интерфейса ИС за 10000 час соответствии с (2) определяется как

Р0(10000 час) = p(t =10000) = e–l*10000 = exp(–10-4 .10000) = exp(–1) ≈ 0,368. (4)

{значение exp(х) можно определить с помощью программного средства Excel}.

Вероятность безотказной работы интерфейса ИС за 1 год Р0(8760 час) определяется аналогично (4), а именно

Р0(8760) = p(t =8760) = e–l*8760 = exp(–10-4 .8760) ≈ 0,416.

Поскольку по условию l = const (отказы интерфейса ИС имеют характер внезапных), то средняя наработка интерфейса ИС до отказа

Тср = 1/l = 1/10-4 = 10000 час.

Выводы: 1. Вероятность безотказной работы интерфейса ИС за 10000 час составляет около 0,368, а это означает, что в среднем через 10000 час из 1000 интерфейсов ИС откажет около 662 (1000–368=662).

2. В течение 1 года из 1000 ИС не откажет около 416, а откажет около 584 (1000 – 416 = 584).

3. Средняя наработка интерфейса ИС до отказа составляет около 10000 час или приблизительно 1,14 года.

Задача 4: В офисе размещено N рабочих станций (РС) сети, на которых постоянно должны работать N операторов. Сколько РС необходимо иметь в резерве, чтобы обеспечить непрерывную работу операторов с заданной вероятностью Рзад = 0.3 в течение времени t0, если интенсивность отказов каждой РС l=const.

Решение. Пусть задано: интенсивность отказов рабочей станции (РС) вычислительной сети l = 10-4 час-1, заданное время t0 = 104 час, N = 3. Поскольку по условию задачи 3 РС должны работать постоянно (т. е. отказ любой РС приводит к отказу такой системы), структурная схема надежности (ССН) системы имеет следующий вид:

 

Чтобы обеспечить непрерывную работу такой системы с заданной вероятностью, учитывая идентичность всех РС, целесообразно использовать скользящее резервирование (замещением отказавших РС резервными). В этом случае ССН резервированной системы имеет следующий вид:

 

Необходимо определить такое число М резервных РС, при котором обеспечивается непрерывная работа операторов в вычислительной сети с вероятностью Рс = 0.3 в течение времени t0= 104 час.

В случае скользящего резервирования вероятность безотказной работы системы за заданное время t0 определяется по формуле [9]:

Рс(t0) =Qк(t0) PМ+N–к(t0) , (1)

где – число сочетаний из Х по У

= Х!/(У!(Х–У)!); (2)

N и М – число соответственно основных и резервных элементов системы (в данном случае N=3, а М=?); Q(t0) – вероятность отказа одного элемента основной системы

(т. е. РС) за заданное время t0; P(t0) – вероятность безотказной работы одного элемента основной системы за заданное время t0. Очевидно P(t0) + Q(t0) ≡ 1.

Поскольку по условию задачи l=const, то отказы в системе внезапные. В таком случае P(t0) = e–lt0 = exp(–10-4*104) = exp(–1) = 0.368, а Q(t0) = 1– P(t0) = 0.632. {значение exp(х) легко определить с помощью встроенной функции ТП Excel }.

Пусть М=0, тогда в соответствии с (1) и (2) Вероятность безотказной работы основной системы Рс (t0) = Q0(t0) P3(t0) = 3!/(0!3!)*1*0.3683 = 1*1*0,050 = 0,050, что меньше заданной вероятности Рзад.

{для вычислений используйте возможности и встроенные функции ТП Excel }.

Пусть М=1, тогда в соответствии с (1) и (2) Вероятность безотказной работы резервированной (кратность резервирования 3:1) системы Рс (t0) = Q0(t0) P4(t0) + +Q1(t0) P3(t0)= 4!/(0!4!)*1*0.3684 + 4!/(1!3!)*0.632*0.3683 = 1*1*0,018 + 4*0.632* *0,050 = .... = 0,144, что меньше заданной вероятности Рзад.

Пусть М=2 (кратность резервирования 3:2), тогда аналогично Рс (t0) = Q0(t0)* *P5(t0) + Q1(t0) P4(t0) + Q2(t0) P3(t0) = 1*1*0.3685 + 5!/(1!4!)*0.632*0.3684 + +5!/(2!3!)*0.6322*0.3683 = 1*1*0,007 + 5*0.632*0,018 + 10*0,399*0,050= .... = 0,263, что меньше заданной вероятности Рзад.

Пусть М=3 (кратность резервирования 3:3), тогда аналогично Рс (t0) = ... = =0,003 + 0,027 + 0.108 + 0,252 = 0,389, что соответствует заданной вероятности Рзад.

Вывод: при использовании 3 резервных рабочих станций по схеме скользящего резервирования (с возможностью замещения любой из 3 отказавших основных рабочих станций резервной) обеспечивается непрерывная работа операторов в вычислительной сети с вероятностью 0.3 в среднем в течение 10 тысяч часов.

Задача 5: Определить вероятность того, что к моменту t0 (час) с начала работы информационной системы (ИС) с кратность резервирования 1:N она останется работоспособной, если поток отказов ИС подчинен закону Пуассона с параметром l=0.0002 час-1.

Решение. Пусть задано: t0= 1 год = 8760 час, N=3. Кратность резервирования 1:N при N=3 означает, что на одну основную ИС приходится 3 резервных. Т. е. такая резервированная ИС останется работоспособной, если к моменту t0 число её отказов равно 0, 1, 2, 3. {далее внимательно ознакомьтесь с решением задачи 2 и воспользуйтесь формулой (П2). В соответствии с ней : }

Искомая вероятность Рк<4(t0) = Р0(t0) + Р1(t0) + Р2(t0) + Р3(t0) =

exp(– λt) exp(–0.0002*8760)

= exp(–1.752) exp(–1.752) (1/0! + 1.752/1! +1.7522/2! +1.7523/3! ) =

= 0.17343*(1 + 1.752 +1.53475 + 0.89630) = 0.17343*5.18305 = 0,89888.

Вывод: Вероятность того, что в ИС, резервированной с кратность 1:3 с параметром потока отказов 0.0002 час-1, к моменту t0 = 1 год составляет около 0,9. Это означает, что за 1 год из 10 подобных ИС в среднем откажет одна, а 9 будут работоспособны.

Задача 6: ИС состоит из 6 частей, отказ любой из них приводит к отказу всей ИС. Определить в течение какого времени ИС проработает безотказно с заданной вероятностью Рзад=0.9, если распределение наработок всех частей до отказа подчинено экспоненциальному закону, а средние наработки частей до отказа равны 350, 480, 520, 670, 770, 1100 час.

Решение. Поскольку отказ любой из частей ИС приводит к отказу всей ИС, то функция надёжности ИС выражается формулой рс(t) = р i (t).

Так как распределение наработок Тi (i=1, ..., 6) всех частей ИС до отказа подчинено экспоненциальному закону, то интенсивности отказов всех частей ИС постоянны (ИС теоретически находится в периоде нормальной эксплуатации, когда её отказы имеют характер внезапных). В этом случае li(t) = const = 1/Тi, а функции надёжности частей ИС выражаются формулой р i(t) = exp(–l it).

Тогда рс(t) = exp(–lit) = exp(–l1t – ...–l6t) = exp(–Λt), где суммарная интенсивность отказов всех частей ИС равна Λ = i = 1/Ti = ...

{ вычислить её самостоятельно }.

По условию задачи Рзад = 0.9 = рс(t) = exp(–Λt). В этой формуле неизвестно только время t, которое необходимо определить.

Прологарифмируем её обе части, тогда получим выражение ln0.9 = –Λt. Искомое время t = –ln0.9/Λ = ....

{ вычислить его самостоятельно. Например, с помощью встроенной функции Excel }.

Вывод: ИС проработает безотказно с заданной вероятностью Рзад = 0.9 в течение времени { указать искомое время t }. Это означает, что в течение этого времени в среднем из 10 ИС одна ИС откажет, а 9 ИС останутся в работоспособном состоянии.

Задача 7: Поток отказов ИС простейший. ИС состоит из 6 частей, отказ любой из них приводит к отказу всей ИС. Определить кратность постоянного общего резервирования ИС, которая обеспечивает ее безотказную работу в течение времени t часов (пусть t = 1 год = 8760 часов) с заданной вероятностью Рзад (пусть Рзад = 0.9) , если средние наработки частей на отказ равны 5000, 3700, 4500, 8600, 9700, 12000 час.

Решение. { тут уж без ТП Excel никак не обойтись!!!}. Поскольку поток отказов ИС простейший (один из атрибутов простейшего потока отказов – это стационарность) { вспомните учебную дисциплину «Основы теории массового обслуживания» }, то потоки отказов всех частей ИС тоже простейшие и их интенсивности li = const. То есть теоретически ИС находится в периоде нормальной эксплуатации, когда её отказы имеют характер внезапных. В этом случае li(t) = li = 1/Тi, а функции надёжности частей ИС выражаются формулой рi(t) = exp(–lit).

Поскольку по условию задачи отказ любой из частей ИС приводит к отказу всей ИС (структурная схема надежности системы имеет вид последовательного соединения всех её частей), то функция надёжности ИС в целом (основной системы – ОС)

рос(t) = рi(t) = exp(–lit) = exp(–l1t – ...–l6t) = exp(–Λt),

где суммарная интенсивность отказов всех частей ИС равна

Λ = i = 1/Ti = ....

{ вычислить её самостоятельно }.

Вероятность безотказной работы основной ИС (ОС) за заданное время tо = 8760 часов выражается формулой

Рос(tо) = exp(–Λ tо) = ... (1)

{ вычислить её самостоятельно }.

Структурная схема надежности системы (ССН) при постоянном общем резервировании ИС имеет следующий вид:

 

Необходимо определить число N резервных ИС. При параллельном соединении элементов в ССН функция надёжности резервированной системы ррc(t) = 1 – qрc(t) =

= 1 – qi(t) = 1 – [1 – pi(t)], где pi(t) – функция надёжности одной системы. А так как все ИС (основная и резервные) идентичны (все pi(t) = рос(t)), то

ррc(t) = 1 – [1 – pос(t)]N+1. (2)

Вероятностью безотказной работы резервированной ИС за заданное время t0 в соответствии с формулами (2) и (1) и условием задачи равна

Ррс(t0)= 1 – [1 – Рос(t0)]N+1 = Рзад = 0,9.

Или 1 – [1 – Рос(t0)]N+1 = 0,9. Или [1 – Рос(t0)]N+1 = 0,1.

Прологарифмируем обе части последнего уравнения, тогда получим выражение (N+1)*ln [1 – Рос(t0)] = ln 0,1 = – 2,303.

Откуда следует, что N ≥ – 2,303 / ln [1 – Рос(t0)] – 1 = ...

{ вычислить самостоятельно. Самостоятельно принять решение по определению числа резервных систем, имея в виду, что N должно быть целым числом }.

Вывод: Для обеспечения вероятности безотказной работы ИС Рзад=0.9 в течение заданного времени tо = 8760 часов достаточно использовать кратность постоянного общего резервирования ИС 1:N { указать вычисленное число N }.