Задача 1

ЗАДАЧА 1

В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	10	60	570	0	0	800
2	20	0	25	20	45	0
3	0	140	0	0	50	1500
4	250	10	200	10	0	1000
5	100	900	6800	0	15	0

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 3%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 10% уменьшить;

6. Для II варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

Решение:

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.
Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то:
xi = (xi1 + xi2 + ... + xin) + yi, (i = 1,2,...,n).
Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.
Введем коэффициенты прямых затрат:
aij = xij/xj, (i, j = 1,2,...,n),
показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.
Находим валовой объем продукции xi;
x1 = 10 + 60 + 570 + 0 + 0 + 800 = 1440
x2 = 20 + 0 + 25 + 20 + 45 + 0 = 110
x3 = 0 + 140 + 0 + 0 + 50 + 1500 = 1690
x4 = 250 + 10 + 200 + 10 + 0 + 1000 = 1470
x5 = 100 + 900 + 6800 + 0 + 15 + 0 = 7815

№ цехов	Межцеховые поставки	Конечный	Валовой продукт
продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	10	60	570	0	0	800	1440
2	20	0	25	20	45	0	110
3	0	140	0	0	50	1500	1690
4	250	10	200	10	0	1000	1470
5	100	900	6800	0	15	0	7815

По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат:
a11 = 10/1440 = 0.00694; a12 = 60/110 = 0.545; a13 = 570/1690 = 0.337; a14 = 0/1470 = 0; a15 = 0/7815 = 0; a21 = 20/1440 = 0.0139; a22 = 0/110 = 0; a23 = 25/1690 = 0.0148; a24 = 20/1470 = 0.0136; a25 = 45/7815 = 0.00576; a31 = 0/1440 = 0; a32 = 140/110 = 1.273; a33 = 0/1690 = 0; a34 = 0/1470 = 0; a35 = 50/7815 = 0.0064; a41 = 250/1440 = 0.174; a42 = 10/110 = 0.0909; a43 = 200/1690 = 0.118; a44 = 10/1470 = 0.0068; a45 = 0/7815 = 0; a51 = 100/1440 = 0.0694; a52 = 900/110 = 8.182; a53 = 6800/1690 = 4.024; a54 = 0/1470 = 0; a55 = 15/7815 = 0.00192;

0.00694	0.545	0.337	0	0
0.0139	0	0.0148	0.0136	0.00576
0	1.273	0	0	0.0064
0.174	0.0909	0.118	0.0068	0
0.0694	8.182	4.024	0	0.00192

Коэффициент прямых затрат (aij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:
X = AX +Y
Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.
Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.
Пусть экономика страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть – идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).
Обозначим через Xi (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; xij – стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью Xj; Yi – конечный продукт i-й отрасли.
Критерии продуктивности матрицы А
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.
1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.
2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
3. Определитель матрицы (E - A) не равен нулю, т. е. матрица (E - A) имеет обратную матрицу (E - A)-1.
4. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т. е. решение уравнения |λE - A| = 0 строго меньше единицы.
5.

1.  Все главные миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

2.  Матричный ряд Е+А+А2+ А3+…сходится к (Е-А)-1
3. Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.

II. Определим матрицу коэффициентов полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.
Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
а) Находим матрицу (E-A):

0.993	-0.545	-0.337	0	0
-0.0139	1	-0.0148	-0.0136	-0.00576
0	-1.273	1	0	-0.0064
-0.174	-0.0909	-0.118	0.993	0
-0.0694	-8.182	-4.024	0	0.998

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:

1.026	1.148	0.402	0.0157	0.0092
0.0191	1.135	0.0528	0.0156	0.00689
0.0264	1.545	1.098	0.0212	0.016
0.184	0.489	0.206	1.014	0.00414
0.334	15.615	4.889	0.214	1.123

Найдем величины валовой продукции 5-х отраслей

X = (B-1*Y) =

1,026 1,148 0,402 0,0157 0,0092 0,0191 1,135 0,0528 0,0156 0,00689 0,0264 1,545 1,098 0,0212 0,016 0,184 0,489 0,206 1,014 0,00414 0,334 15,615 4,889 0,214 1,123

*

800 0 1500 1000 0

=

1440 110 1690 1470 7814,998

Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.
Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции (Zj), равной сумме амортизации (cj), оплаты труда (vj) и чистого дохода j-й отрасли (mj). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.
Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта: Zj = Xj - ∑xij
1440 - (10 + 20 + 0 + 250 + 100) = 1060
110 - (60 + 0 + 140 + 10 + 899.999) = -999.999
1690 - (570 + 25 + 0 + 200 + 6799.999) = -5904.999
1470 - (0 + 20 + 0 + 10 + 0) = 1440
7814.998 - (0 + 45 + 50 + 0 + 15) = 7704.999

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли					Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	3	4	5
1	10	60	570	0	0	800	1440
2	20	0	25	20	45	0	110
3	0	140	0	0	50	1500	1690
4	250	10	200	10	0	1000	1470
5	100	899.999	6799.999	0	15	0	7814.998
Чистый доход	1060	-999.999	-5904.999	1440	7704.999	3300
Валовый продукт	1440	110	1690	1470	7814.998		12524.998

Проверим основное балансовое соотношение по формуле основного балансового соотношения ∑yi = ∑zj = 3300

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

№ цехов	Межцеховые поставки	Конечный	Валовой продукт
продукт
	1	2	3	4	5
1	10	60	570	0	0	1003,52	1643,52
2	20	0	25	20	45	0	110
3	0	140	0	0	50	1881,6	2071,6
4	257,5	10,3	206	3	0	1000	1476,8
5	110	990	7480	0	16,5	0	8596,5

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

№ цехов	Межцеховые поставки	Конечный	Валовой продукт
продукт
	1	2	3	4	5
1	10	60	570	0	0	968	1608
2	20	0	25	20	45	0	110
3	0	140	0	0	50	1685,4	1875,4
4	250	10	200	10	0	1000	1470
5	100	900	6800	0	15	0	7815

Чтобы получить продолжение, - заказывайте работу.

Задача 2 Контрольное задание №2. Модели сетевого планирования и управления

1. Построить сетевой график (длина работы - tij )

2. Выделить критический путь и найти его длину.

3. Определить резервы времени каждого события.

4. Определить резервы времени (полные, частные первого вида, свободные и

независимые) всех работ и коэффициенты напряженности работ, не лежащих на критическом пути.

5. Выполнить оптимизацию сетевого графика по времени.

Работы	tij	dij	kij
	В-15
1,2	14	5	0,5
1,3	5	2	0,2
1,4	3	1	0,4
2,3	12	5	0,8
2,5	13	6	0,9
3,5	3	2	0,2
4,6	7	2	0,3
5,6	6	4	0,9
	В=180

Критический путь: (1,2)(2,3)(3,5)(5,6)
Продолжительность критического пути: 35

Для i=1 (начального события), tp(1)=0.
i=2: tp(2) = tp(1) + t(1,2) = 0 + 14;5 = 14.
i=3: max(tp(1) + t(1,3);tp(2) + t(2,3)) = max(0 + 5;2;14 + 12;5) = 26.
i=4: tp(4) = tp(1) + t(1,4) = 0 + 3;1 = 3.
i=5: max(tp(2) + t(2,5);tp(3) + t(3,5)) = max(14 + 13;6;26 + 3;2) = 29.
i=6: max(tp(4) + t(4,6);tp(5) + t(5,6)) = max(3 + 7;2;29 + 6;4) = 35.
Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 6: tkp=tp(6)=35

При определении поздних сроков свершения событий tп(i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4).
Для i=6 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): tп(6)= tр(6)=35
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т. е. 5. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5.
i=5: tп(5) = tп(6) - t(5,6) = 35 - 6;4 = 29.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т. е. 5. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5.
i=5: tп(5) = tп(6) - t(5,6) = 35 - 6;4 = 29.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т. е. 3. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3.
i=3: tп(3) = tп(5) - t(3,5) = 29 - 3;2 = 26.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т. е. 4. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 4.
i=4: tп(4) = tп(6) - t(4,6) = 35 - 7;2 = 28.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т. е. 3. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3.
i=3: tп(3) = tп(5) - t(3,5) = 29 - 3;2 = 26.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т. е. 2. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 2.
i=2: min(tп(3) - t(2,3);tп(5) - t(2,5)) = min(26 - 12;5;29 - 13;6) = 14.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т. е. 1. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 1.
i=1: min(tп(2) - t(1,2);tп(3) - t(1,3);tп(4) - t(1,4)) = min(14 - 14;5;26 - 5;2;28 - 3;1) = 0.
Таблица 1 - Расчет резерва событий

Номер события	Сроки свершения события: ранний tp(i)	Сроки свершения события: поздний tп(i)	Резерв времени, R(i)
1	0	0	0
2	14	14	0
3	26	26	0
4	3	28	25
5	29	29	0
6	35	35	0

Чтобы получить продолжение, - заказывайте работу.

Контрольное задание №3. Модели линейного программирования.

1.Записать прямую задачу. Определить план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной (при решении задачи показать все промежуточные симплекс-таблицы – просто решить в EXCEL без промежуточных вычислений не допускается – в этом случае задача защитываться не будет. Допускается использование EXCEL для проверки правильности решения). В остальных пунктах использовать таблицы EXCEL для ответа на вопросы допускается – но при этом необходимо их интерпретировать, т. е. пояснить смысл полученных значений.

2. Записать двойственную задачу. Получить решение двойственной задачи. Пояснить экономический смысл полученных объективно обусловленных (теневых) оценок ресурсов.

3.Найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению запаса ресурсов каждого вида.

4.Определить изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса 1 на 10 ед., ресурса П – на 50 ед. и уменьшении запаса ресурса Ш на 30 ед. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное влияние.

5.Сопоставить оценку затрат и прибыли по оптимальному плану и каждому виду продукции.

Ресурсы	Запас ресурсов, ед.	Нормы расхода сырья на единицу продукции
А	Б	В	Г
1	16	1	1	1	1
П	110	6	5	4	3
Ш	100	4	6	10	13
Прибыль от реализации единицы продукции, ден. ед.	30	20	60	110

Решение

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

max Z = 30x1 + 20x2 + 60x3 + 110x4 ;

x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 16 ;

6x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 110 ;

4x1 + 6x2 + 10x3 + 13x4 ≤ 100 ;

x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ,

Вычислим значение прибыли

	А	Б	В	Г	Расчет. Знач	Вид огрна	Кол. Ресурсов
	1	2
Прибыль	30	20	60	110	70	max
1	1	1	1	1	3		16
П	6	5	4	3	16		110
Ш	4	6	10	13	16		100

	А	Б	В	Г	Расчет. Знач	Вид огрна	Кол. Ресурсов
	0	0	0	7,69
Прибыль	30	20	60	110	846	max
1	1	1	1	1	7		16
П	6	5	4	3	23		110
Ш	4	6	10	13	100		100

Нормированная стоимость показывает изменение целевой функции при увеличении соответствующей переменной на единицу. Например, если ввести x4 = 1, то x2 и x3 не изменяться, а величина целевой функции изменится на 7,69.

Допустимое увеличение и уменьшение определяют интервал изменений коэффициентов целевой функции, внутри которого сохраняются значения переменных оптимального плана.

В разделе отчета «Ограничения» теневые цены это двойственные оценки ресурсов, а Допустимое увеличение и уменьшение показывают допустимые диапазоны изменения правых частей ограничений, в пределах которых в оптимальный план входят те же переменные, хотя возможно и с другими значениями.

Чтобы получить продолжение, - заказывайте работу.