Сумісне наближення класів вейля-надя сумами зігмунда в рівномірній метриці

УДК 517.5

, кандидат фізико-математичних наук, доцент

, кандидат фізико-математичних наук, доцент

СУМІСНЕ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСІВ ВЕЙЛЯ-НАДЯ СУМАМИ ЗІГМУНДА В РІВНОМІРНІЙ МЕТРИЦІ

Одержано асимптотичні рівності для величини, яка характеризує сумісне наближення класів Вейля-Надя сумами Зігмунда в метриці .

Ключові слова: класи Вейля-Надя, суми Зігмунда, сумісне наближення

Вступ.Поряд із сумами Фур’є в якості агрегатів, що використовують в теорії наближення, розглядають всеможливі тригонометричні многочлени. Суми вигляду

, , (1)
називаються сумами Зігмунда. Відомо, що цей метод підсумовування є насиченим ([1]) і класом насичення є клас , але для неперервних -періодичних функцій послідовність збігається до рівномірно на всій осі. В даній роботі для функцій із класу Вейля-Надя розглядаються похідні в сенсі Вейля-Надя такі, щоб , . Величину

(2)
приймемо за сумісне наближення класів Вейля-Надя сумами Зігмунда в рівномірній метриці.

Допоміжні твердження.

У роботі [2] були доведені наступні твердження.

Лема 1. Якщо функція — парна, функції — непарні, і при , то

.

Лема 2. Якщо функція — непарна, функції — парні, причому при , , при , ,, то.

Крім того, суми рядів

при монотонно спадні на проміжку , а суми рядів при невід’ємні на проміжку .

Основні результати.

Теорема.Якщо , , , , ; або ж , , тоді при справедлива асимптотична рівність

, (3)
де — стала найкращого наближення в метриці підінтегральної функції, — величина, рівномірно обмежена по .

Доведення. Оскільки для неперервних функцій, то

.

Якщо , то . При , як випливає із роботи [3],

,
де функції та пов’язані між собою так: якщо

, то , а — величина, рівномірно обмежена по .

Тому в силу (1)

,
де — одинична куля в просторі -періодичних сумовних суттєво обмежених функцій, елементи яких ортогональні константі.

Множина інваріантна відносно зсуву по аргументу і функції одночасно їй належать, тому

(4)

Далі, застосовуючи леми 1 та 2, можна показати, що із співвідношення (4) випливає справедливість (3).

Теорема доведена.

Використовуючи міркування, наведені в цій статті, можна розв’язувати задачу сумісного наближення сумами типу Зігмунда, тобто -методами, для яких , і т. д.

Список використаних джерел:

1.  Степанец А. И. Методы теории приближений: в 2-х ч. / А. И. Степанец. — К.: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — ч.1. — 427 с.

2.  Сорич Н. Н. Одновременное приближение функций и их призводных суммами Фейера / Н. Н. Сорич. — К., 1985. — С.16. — (Препр / Ин-т математики АН УССР; 85.27).

3.  Бушев Д. Н. Приближение класов непрерывних переодических функций суммами Зигмунда / Д. Н. Бушев. — К., 1984. — 62с. — (Препр / Ин-т математики АН УССР; 84.56).

Obtained the asymptotic equations for variables that characteriz the joint approximation of the Weill-Nady’s classes by Sigmund sums in -metric.

Key words: Weill-Nady’s classes, Sigmund sums, the joint approximation.