Контрольная работа

Контрольная работа

Вариант 14

Задание 1

Целевая функция потребления имеет вид . Цена на первое благо равна , а на второе благо . Доход составляет D = 550. Найти:

а) кривые безразличия;

б) оптимальный набор благ.

Решение:

1) Кривые безразличия имеют вид:

; , откуда .

Получаем множество гипербол расположенных в первой координатной четверти и расположенных на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С.

2) Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

.

Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: .

Подставляем в целевую функцию: .

Находим производную и приравниваем ее к 0:

или , откуда .

Тогда .

Таким образом, оптимальный набор благ составляет 55/3 и 55/2 единиц.

Задание 2

Имеется баланс двух взаимосвязанных отраслей (сельское хозяйство и машиностроение) за предыдущий год.

Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет валовой продукт каждой отрасли, если конечный продукт сельского хозяйства необходимо увеличить на 40 %, а машиностроения уменьшить на 20 %. Матрица межотраслевых материальных связей xij и матрица валового выпуска Xj приведены в таблице.

, .

Решение:

Конечный продукт определим по формуле:

,

где – единичная матрица, – матрица прямых затрат, элементы которой определяются по правилу .

В результате .

.

– конечный продукт отраслей.

Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу:

.

Имеем – чистая продукция c/x,

– чистая продукция машиностроения.

Для нахождения валового продукта, соответствующего новому конечному продукту вида , используем формулу:

.

Находим обратную матрицу:

, , тогда

.

В результате .

Задание 3

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции для 4 отраслей имеет вид:

Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет конечный продукт каждой отрасли, если валовой продукт первой отрасли увеличится в 2 раза, у второй увеличится на половину, у третьей не изменится, у четвертой – уменьшится на 10 процентов.

Матрица межотраслевых материальных связей xij и матрица валового выпуска Xj приведены в таблице:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Валовой продукт
1	2	3	4
1	0	5	80	95	550
2	15	60	20	40	750
3	55	50	20	40	525
4	0	35	10	60	820

Решение:

1) Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу:

.

,

,

,

.

2) Конечный продукт отраслей:

.

,

,

,

.

3) Элементы матрицы прямых затрат определяем по правилу .

Например, , .

В результате .

4) Новый валовой продукт .

Конечный продукт отраслей:

.

,

,

,

.

Задание 4

По данной производственной функции найти средние и предельные производительности каждого ресурса, частные эластичности выпуска по каждому ресурсу, эластичность производства и предельную технологическую норму замены.

Решение:

Средние производительности:

, .

Предельные производительности равны:

, .

Частные эластичности равны:

,.

Эластичность производства: .

Технологическая норма замены есть: .

Задание 5

Некоторое предприятие затрачивает а1 = 7 тыс. тонн ресурса и b1 = 32 тыс. часов труда для выпуска с1 = 65 тыс. единиц продукции. В результате расширения производства оказалось, что при затратах а2 = 8 тыс. тонн ресурса выпуск возрос до с2 = 67 тыс. единиц продукции, а при увеличении трудоемкости до b­2 = 34 тыс. часов, выпуск возрос до с3 = 70 тыс. единиц продукции. Найти линейную производственную функцию и производственную функцию Кобба-Дугласа.

Решение:

Запишем для удобства исходные данные в виде таблицы:

x1	7	8	–
x2	32	–	34
y	65	67	70

Линейная функция .

Найдем параметры функции:

, .

Получаем .

Для нахождения b используем первый столбец таблицы:

, откуда .

В результате линейная производственная функция имеет вид:

.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

.

Коэффициенты уравнения:

, .

Получаем .

Для нахождения b используем первый столбец таблицы:

, откуда .

В результате производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

.

Задание 6

Производственное объединение состоит из 4 предприятий (n = 4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 млн. руб. (b = 700), выделяемые предприятием суммы кратны 100 млн. руб. Если j-е предприятие получает инвестиции в объеме x млн. руб., то прирост годовой прибыли на этом предприятии составит fj (x) млн. руб. в год. Значения функций fj (x) приведены в таблице:

Требуется найти такое распределение инвестиций между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли на всех предприятиях вместе.

Решение:

Составляем первую вспомогательную таблицу:

		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	26	40	52	59	61	66	66
0	0	0	26	40	52	59	61	66
100	24	24	50	64	76	83	85	90
200	35	35	61	75	87	94	96
300	51	51	77	91	103	110
400	68	68	94	108	120
500	84	84	110	124
600	96	96	122
700	104	104

Составляем основную таблицу для F2(x) и .

Х	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(x)	0	26	50	64	77	94	110	124
	0	0	100	100	300	400	500	500

Продолжая процесс, табулируем функции F3(x) и :

		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	26	50	64	77	94	110	124
0	0	0	26	50	64	77	94	110
100	21	21	47	71	85	98	115	131
200	47	47	73	97	111	124	141
300	58	58	84	108	122	135
400	80	80	106	130	144
500	88	88	114	138
600	94	94	120
700	96	96

Х	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(x)	0	26	50	73	97	111	130	144
	0	0	0	200	200	200	400	400

В последней таблице заполняем только одну диагональ для значения х = 700.

		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	26	50	73	97	111	130	144
0	0								144
100	36							166
200	58						169
300	82					193
400	96				183
500	110			160
600	122		148
700	131	131

Наибольшее число на диагонали млн. руб., причем 4-ому предприятию должно быть выделено 300 млн. руб.

На долю оставшихся 3-х предприятий должно быть выделено 700 – 300 = 400 млн. руб.

Третьему предприятию должно быть выделено:

млн. руб.

Второму предприятию должно быть выделено:

млн. руб.

Первому предприятию должно быть выделено:

млн. руб.

Таким образом, наилучшее распределение вложений по предприятиям:

, , , .

Оно обеспечивает наибольший возможный прирост прибыли 193 млн. руб.