Комбинаторика в задачах (стр. 4 )

15.  Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

16.  Из трех игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде (порядок игроков не важен). Сколькими способами это можно сделать?

17.  Сколькими способами можно выбрать 49 предметов из 50?

18.  Сколькими способами можно отобрать стартовую шестерку в волейбольном матче, если в команде заявлено 10 игроков?

19.  Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

20.  Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.

21.  Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четверками и двумя единицами.

Прояви смекалку!!!

1.  В магазине «Канцтовары» продаются 5 разных видов фломастеров, 3 разных вида авторучек и 4 разных вида карандашей.

а) Сколькими способами можно купить там один пишущий инструмент?

б) Сколькими способами можно купить набор «Фломастер + авторучка»?

в) Сколькими способами можно купить набор «Фломастер + авторучка + карандаш»?

г) Сколькими способами можно купить набор из 2 различных пишущих предметов?

2.  В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В — 4 дороги (см. рис.1). Сколькими способами можно проехать от А до В?

a.  Рис.1 Рис. 2

3.  В Стране Чудес построили еще один город — Г и несколько новых дорог (см. рис.2). Сколькими способами можно теперь добраться из города А в город В?

4.  В магазине «Канцтовары» по-прежнему продаются 5 видов фломастеров, 3 вида авторучек и 4 вида карандашей. Известно, что один из фломастеров, одна из авторучек и один из карандашей изготовлены фирмой «Паркер». Сколькими способами можно купить набор «Фломастер + авторучка + карандаш», в котором:

а) нет предметов, изготовленных фирмой «Паркер»?

б) 1 предмет, изготовленный фирмой «Паркер»?

в) 2 предмета, изготовленных фирмой «Паркер»?

г) 3 предмета, изготовленных фирмой «Паркер»?

5.  Забор состоит из 10 досок. У маляра Вася есть краска четырёх различных цветов. Сколькими способами он может покрасить лишь одну доску забора?

6.  В бригаде маляров кроме Васи есть ещё маляры Люся и Нюся. Сколькими способами кто-то из маляров может покрасить одну доску забора?

7.  Вася, Люся и Нюся работают с понедельника по пятницу. Сколькими способами кто-то из них может покрасить одну доску забора в рабочий день недели?

8.  Рассмотрим шестизначные числа. Сколько их всего?

а) Сколько чисел, все цифры которых нечётны?

б) Сколько чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

в) Сколько чисел, все цифры которых различны?

г) Сколько чисел, в которых любые две соседние цифры различны?

9.  Заяц прыгает в одном направлении по разделенной на клетки полосе. За один прыжок он может сместиться либо на одну, либо на две клетки. Сколькими способами может заяц добраться с 1-й клетки на 12-ю?

10.  Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

11.  В футбольной команде «Тюльпан» из 11 человек нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

12.  Попугай Иннокентий знает следующие слова: филин, кот, таракан, поёт, бежит, стучит, спит, говорливый, мудрый, усатый. Он может произносить такие фразы:

прилагательное + существительное + глагол.

Например, «Мудрый таракан поёт». Сколько разных фраз может сказать Кеша?

13.  Сколько имеется шестизначных чисел, в которых четные и нечетные цифры чередуются?

14.  На одной из двух параллельных прямых выбрано 8 точек, а на другой – 6 точек.

1)  Сколько можно построить отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых?

2)  Пусть отрезок АВ соединяет третью точку на первой прямой с четвёртой точкой на второй. Сколько отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых, пересечёт отрезок АВ внутри полосы?

15.  Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей, чтобы получилась допустимая правилами позиция?

16.  На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?

17.  15.Найдите количество различных делителей числа 1); 2) ; 3) .

18.  Найти количество различных делителей числа , имеющих в своем разложении на простые множировно два простых делителя; 2) не больше двух простых делителей.

19.  Найти количество 5-значных чисел, у которых есть хотя бы две одинаковые цифры.

20.  При передаче сообщений по телеграфу используется азбука Морзе (“·, –”), при этом приходится использовать от одного до пяти знаков. Нельзя ли обойтись меньшим числом знаков?

21.  У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

22.  В алфавите 22 согласных и 10 гласных букв. Сколько можно составить двухбуквенных слов со следующими условиями:

1)  Первая буква согласная, а вторая – гласная.

2)  Одна из двух букв согласная, а другая гласная, но буквы стоят в любом порядке.

3)  Никаких ограничений на буквы не накладывается.

4)  Обе буквы одинаковые.

5)  Обе буквы разные.

6)  Первая буква гласная, а вторая – произвольная.

7)  Хотя бы одна буква – гласная.

8)  Либо обе буквы гласные, либо обе согласные, но при этом разные.

23.  Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

24.  Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?

25.  Найти количество различных делителей числа 6!.

26.  У Вани имеется 5 различных ручек и 6 карандашей. Сколькими способами он может выбрать набор из ручки и карандаша?

27.  Сколько существует двузначных чисел, трехзначных, 100-значных?

28.  Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры нечетные? А трехзначных?

29.  Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры четные? А трехзначных?

30.  Ученик выполняет тест, состоящий из 10 вопросов, каждый из которых имеет два варианта ответов – “верно” или “неверно’. Сколько может получиться разных вариантов ответа на весь тест?

31.  Пятачок бежал в гости к Вини-Пуху по лестнице, содержащей 14 ступенек. На любую из этих ступенек он мог наступать или перепрыгивать. Сколькими разными способами он может подняться по лестнице?

32.  Сколькими способами можно поставить на шахматной доске черную и белую ладью так, чтобы они не били друг друга?

33.  Сколькими способами можно поставить на доску две черных ладьи так, чтобы они не били друг друга?

34.  Сколькими способами можно поставить на доску 8 разноцветных ладей 8 цветов так, чтобы они не били друг друга?

35.  Сколькими способами можно поставить на доску 8 черных ладей так, чтобы они не били друг друга?

36.  Из города A в город B ведут пять дорог, а из города B в город C – три дороги. Сколько путей, проходящих через B, ведут из A в C?

37.  Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

38.  Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

39.  На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами его можно сделать еще раз?

40.  Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?

41.  Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

42.  Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если один из цветов должен быть красным?

43.  Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих пяти языков?

44.  Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно отправить трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

45.  Электрик дядя Вася развешивает на елке новогоднюю гирлянду из 8 лампочек. Сколькими разными способами может зажечься гирлянда, если каждая лампа в ней может как гореть, так и не гореть.

46.  Из класса в 20 человек выбирают группу тех, кто пойдёт в театр. Число человек в такой группе может быть любым от 0 до 20 человек. Каким числом способов можно сделать такой выбор?

47.  Нужно расставить 40 книг на три полки. Сколькими способами это можно сделать, если полки могут оставаться пустыми?

48.  У человека не может быть больше 32 зубов. Сколько существует различных наборов зубов?

49.  У Тани есть 5 разных фломастеров, 7 разных карандашей и 11 разных тетрадей. Сколькими способами она может подарить Коле:

а) какой-то один предмет;

б) набор из 1 фломастера, 1 карандаша и 1 тетради;

в) набор из 2 фломастеров и 1 тетради?

50.  У Максима есть 100 конфет. Из них 60 с блестящим фантиком, 26 шоколадных, 63 вкусных, 13 шоколадных с блестящим фантиком, 25 шоколадных и вкусных, 43 вкусных с блестящим фантиком. Более того, 12 из них – шоколадные вкусные и с блестящим фантиком.

а) Сколько у него невкусных не шоколадных конфет с обычным фантиком?

б) А сколько невкусных шоколадных?

в) Сколько вкусных, но не шоколадных конфет с блестящим фантиком?

51.  В Англии принято давать детям несколько имен, причем два раза одно имя повторяться не должно и порядок перечисления играет роль. Какое наибольшее число мальчиков могут быть названы по-разному, если имеется 300 различных имен, и можно давать не более трех имен?

52.  Встретились 10 друзей, которые познакомились в лагере «Дилемма». Сколько будет рукопожатий, если каждый поздоровается с каждым ровно один раз?

53.  Вершины треугольника обозначили буквами латинского алфавита A, B, C. Сколькими способами можно его назвать?

54.  Вершины десятиугольника обозначены десятью первыми буквами. Сколькими

способами можно его назвать?

55.  Сколько существует целых положительных чисел от 1 до 300, которые:

а) Делятся на 3 и на 5;

б) Делятся на 3, но не делятся на 5;

в) Делятся на 3 или на 5?

56.  Сколькими способами из 30 шестиклассников можно выбрать делегацию, состоящую из трех человек?

57.  В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать из них трех членов в Совет школы?

58.  Сколькими способами можно выбрать командира и четырех его помощников из 15 человек?

59.  Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?

60.  В классе 20 человек. Пятеро из них должны ехать на ученическую конференцию. Сколько может быть различных составов этой группы, если командир отряда, его заместитель и член Совета школы одновременно уезжать не должны?

61.  В фортепианном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова – 15, в вокальном кружке – 12 и в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить команду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?

62.  Имеется 12 красных гвоздик, 10 – белых, 7 – розовых. Сколько существует способов составления букета из пяти цветов?

63.  7 яблок и 3 апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и количество фруктов в них было одинаково. Сколькими способами это можно сделать?

64.  В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера?

65.  Из 10 тюльпанов и 8 нарциссов нужно составить букет так, чтобы в нем были 2 тюльпана и 3 нарцисса. Сколько таких букетов можно составить?

66.  На окружности отмечено 8 различных точек.
а) Сколько хорд можно провести, соединяя любые две из этих точек;
б) Сколько различных треугольников с вершинами в данных точках можно построить;
в) Сколько выпуклых четырехугольников с вершинами в данных точках можно
построить?

67.  Агрохимик проверяет шесть типов минеральных удобрений; ему нужно провести несколько опытов по изучению совместного влияния любой тройки удобрений. Для каждого опыта берется участок 0,25 га. На какой площади проводится все исследование?

68.  В одном учреждении был обнаружен несгораемый шкаф, сохранившийся с довоенных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться надо знать код; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери пять кружков с алфавитом (36 букв) устанавливались в определенном порядке. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды. Можно ли открыть шкаф в ближайшие 10 рабочих дней?

69.  В магазине «Планета чая» продаются 6 чашек разной высоты 4 блюдца разной ширины. Миша решил купить одну чашку и одно блюдце. Сколькими способами он может этот сделать?

70.  В магазине «планета чая» еще продаются 5 чайных ложек. Сколькими способами Миша может купить чайный комплект из одного блюдца, одной чашки и одной ложки?

71.  В волшебной стране есть 3 города: Мудрый, Светлый и Чудный. Из Мудрого в Светлый ведут 5 дорог, из Светлого в Чудный 6 дорог. Сколькими способами Миша может проехать из города Мудрый в город Чудный?

72.  В той же волшебной стране еще 4 города: Красный, Синий, Серый и Зеленый. Город Красный и город Синий связывают 5 дорог, города Синий и Серый связывают 7 дорог. Из Красного в Зеленый ведут две дороги, из Зеленого в Серый три дороги. Сколькими способами Миша может проехать из города Красный в город Зеленый?

73.  В магазин «Планета Чая» привезли для продажи 5 чашек, 4 блюдца и 3 ложки. Сколькими способами Миша может купить два разных предмета?

74.  Миша решил называть числа «приятными», если в их записи участвуют только четные цифры. Помогите ему сосчитать количество 4-значных «приятных» чисел.

75.  Буратино три раза бросил монету. Сколько различных последовательностей выпадения орлов и решек он мог при этом получить?

76.  Миша решить разделить огород на 4 части на каждой посадить или картофель или свеклу. Сколько различных вариантов посадок существует?

77.  Номер телефона репетитора по математике 756-93-95. Миша запомнил только первые 5 его цифр и то, что какие-то две цифры повторяются дважды. Он выписал все возможные комбинации окончаний и позвонил на каждый из номеров. Правильным оказался последний вариант. Какое количество звонков сделал Миша?

78.  Миша захотел предсказать итог проведения пяти товарищеских матчей двух баскетбольных команд. Итогом каждой встречи может быть или победа первой команды или поражение. Сколько разных прогнозов Миша мог бы сделать?

79.  Алфавит жителей другой планеты состоит из трех разных букв. Словом является любая их последовательность, состоящая не более чем из 4 букв. Сколько слов в языке инопланетян.

80.  Указание репетитора по математике: считайте отдельно количество слов с одной буквой, потом с двумя буквами, потом с тремя и четырьмя.

81.  В футбольной команде имеются семь игроков, которые удачно пробивают пенальти. Тренеру нужно выбрать пятерку финалистов для выяснения победителя матча. Сколько разных составов могут пробить серию пенальти. Порядок в котором они пробиваются не учитывается.

82.  На горку ведут 7 дорог. Сколько существует маршрутов, которыми можно подняться на горку, а затем спуститься с нее? Решите эту же задачу при условии, что нельзя спускаться и подниматься по одной и той же дороге.