Тема: Тригонометрические уравнения

МОУ «Алгашинская СОШ»

Элективный курс

Тема:

Выполнила:

Учительница математики

МОУ «Алгашинская СОШ»

Шумерлинского района Ч. Р.

Научный руководитель:

старший преподаватель

естественнонаучных

дисциплин ЧРИО.

2007 г.

Пояснительная записка.

Элективный курс посвящен одному из ключевых вопросов алгебры – тригонометрическим уравнениям.

К сожалению, в основной школе, где на изучение темы отводится мало часов, трудно поддерживать интерес обучающихся к данной теме. Умение решать различные виды тригонометрических уравнений необходимо показать при сдаче ЕГЭ, т. е. при поступлении в ВУЗы. Предлагаемый курс является развитием ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр тригонометрических уравнений, посильных для обучающихся. Все входящее в элективный курс не вызовет трудностей у ученика, т. к. просто систематизирует и дополняет знания и умения учащихся, полученные на уроках алгебры и начал анализа. При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно решать предлагаемые уравнения. Данная тема позволит повысить интерес к изучению математики, осмыслить свои действия, наблюдать и делать правильный выбор. Организация на занятиях должна несколько отличаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы.

Учебно-тематический план.

№п/п	Тема занятий.	Количество часов.
1	Введение.	1ч.
2	Уравнения, сводимые к алгебраическим.	2ч.
3	Однородные уравнения.	2ч.
4	Уравнения, решаемые разложением на множители.	2ч.
5	Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.	2ч.
	Контрольная работа.	1ч.
6	Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.	2ч.
7	Уравнения вида asin x+bcos x = c	3ч.
8	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.	1ч.
	Контрольная работа.	1ч.
	Итого	17ч.

Содержание:

Тема 1. Повторить основные тригонометрические формулы. Познакомить учащихся с различными видами тригонометрических уравнений.

Форма работы: семинарские занятия.

Тема 2. Показать учащимся уравнения, сводимые к алгебраическим. Записать основные формулы, необходимые для их решения. Добиться, чтобы учащиеся поняли, что уравнения, сводимые к алгебраическим – это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.

Тема 3. Определение однородного уравнения, степень однородного уравнения, примеры решения однородных уравнений.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа, самостоятельная работа.

Тема 4. Повторить различные способы разложений на множители (вынесение за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения), а так же формулы из Темы 2, и формулы sin 3a = 3 sin a – 4sin3a, cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a. Разобрать решение нескольких уравнений данного типа.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.

Тема 5. Повторить формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, формулы синуса (косинуса) суммы и разности двух углов. Разобрать решение нескольких уравнений данного типа.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа, самостоятельная работа.

Тема 6. Формулы понижения степени:

sin2 t = ½ (1 – cos 2 t) и cos2 t = ½ (1 + cos 2 t)

Решить несколько уравнений.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.

Тема 7. Способы решения уравнений вида asin x + bcos x = c.

1-й способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - введение вспомогательного угла.

Ö a2+b2 * sin (х + j)= c. – формула (1)

Это уравнение имеет решение, если a2+b2 ³ c2, тогда

х + j = (-1) n arcsin c/Ö a2+b2 +pn, nÎZ

х = (-1) n arcsin c/Ö a2+b2 +pn - j, nÎZ.

Угол j находится из равенства tg j = sin j/cos j = a/ b,

Откуда j = arctg a/ b. Тогда

х = (-1) n arcsin c/Ö a2+b2 +pn - arctg a/ b, nÎZ.

2-ой способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - метод рационализации.

Выразим sin x, cos x, tg х через тангенс половинного угла. Метод рационализации заключается в том, что вводится вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно этого вспомогательного неизвестного.

Пусть tgх/2 =t, тогда получим:

а 2t/ (1+t2 ) +b(1+t2 ) /(1+t2 ) = c

Это уравнение - рациональное относительно t. Умножим обе части уравнения на (1+t2 ) ¹0 при t ÎR , получим

( b+c)t2 -2at + (c-b) = 0 (2)

D/4 = a2 + b2 – c2 . Полагаем, что b+c¹0 тогда

t1,2 = (a ±Ö D/4): (b+c) (3)

Значение t – действительные, если a2+b2 ³ c2.

Решить несколько уравнений, применяя наиболее рациональные методы.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.

Тема 8. Необходимые формулы:

arcsin x + arccos x = ½ p; arctg x + arcctg x = ½ p;

– ½ p < arcsin x < ½ p; – ½ p < arctg x < ½ p;

0 < arccos x < p; 0 < arcctg x < p;

sin (arcsin x) = x и cos (arccos x ) = x, если |x| <1;

tg (arctg x) = x и ctg (arcctg x ) = x, если x Î R.

Разобрать несколько примеров решения уравнений данного типа.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.

Дидактический материал.

Тема 2.

Примеры :

Решить уравнения

а) 2sin2x – 7cosx – 5 = 0

Решение. 2 (1- cos2x) – 7cosx – 5 = 0 1) cosx = - 3 < -1, x=Ø

2cos2x +7cosx +3 =0

cosx =y 2) cosx = - ½,

2y2 +7y +3= 0 x=+ 2/3p + 2kp, kÎZ.

y1 =-3, y2 = - ½.

Ответ: x=+ 2/3p + 2kp, kÎZ.

б) cos2x + 3sinx = 2.

Решение. 1-2sin2x + 3sinx = 2.

2sin2x - 3sinx + 1=0

Пусть sinx =y, 2y2 - 3y + 1 = 0

y1 =1/2 , y2=1. 2) sinx = 1

1) sinx = 1/2 x=p/2 + 2kp, kÎZ.

x=(-1)np/6 +pn, nÎZ.

Ответ: x=(-1)np/6 +pn, p/2 + 2kp, n, k ÎZ.

Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:

1.  3sin22x + 7cosx – 3 =0

2.  25sin2x + 100cosx = 89

3.  cos2x + 5sinx - 3 =0.

4.  2cosx – cos2x – cos22x = 0.

5.  cos2x + sin2x + sinx = 0,25.

Тема 3.

Решить уравнения.

а) cos2x + sinx cosx = 0

В условии не указано, что cosx≠0, а потому делить уравнение на cos2x нельзя. Но можно утверждать, что sinx ¹ O, так как в противном случае

cosx = 0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:

ctg2x + ctgx =O

ctgx (ctgx + l) = O.

1) ctg x = 0, x=p/2 +pn, nÎZ. или 2) ctg x = -1 , x= 3/4p + kp, k ÎZ.

Ответ: x=p/2 +pn, x= 3/4p + kp, n, k ÎZ.

б) 4sin2x+2sin х cosx = 3.

Решение.

Умножим правую часть уравнения на sin2x + cos2x. Получим:

4 sin2 х + 2 sinx cos х =3 sin2x +cos2x,

sin2 х +2 sinx cos x — 3cos2x = 0.

Очевидно, что cos x ≠ O. Разделим на cos2x, получим:

tg2x + 2tgx -3 =0,

tgx = -3 tgx = 1

x=arctg3 + kp, k ÎZ. x=p/4+pn, nÎZ.

Ответ: x=arctg3 + kp, x=p/4+pn, k, nÎZ.

Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:

1.  3cos2x -5 sin2x – sin2x =0.

2.  sin х - cosx = 0.

3.  cos2x - 3 sin xcos x +2sin2x = 2.

4.  3sin2x– 2sin2x +5cos2x = 2.

5.  2sin2x + 14cos2x -7 sin xcos x =2.

Тема 4.

Решить уравнения.

а) sin2x- sin х= 0.

Решение.

sin х(sin х-1) =0

1) sin х= 0. 2) sin х-1 =0

x=pn, nÎZ. sin х= 1

x=p/2+pk, kÎZ.

Ответ: x=pn, x=p/2+pk, n, kÎZ.

б) sin4x –cos2x = 0

Решение.

2 sin2x cos2x –cos2x = 0

cos2x (2 sin2x –cos2x) =0

1)  cos2x =0,

2x=p /2 +pn, nÎZ.

x=p /4 +n p /2, nÎZ

2) 2 sin2x –cos2x =0

2tg2x -1 =0

tg2x=1/2

2x= arctg1/2 + kp, k ÎZ.

x=1/2 arctg1/2 +kp /2, kÎZ.

Ответ: x=p /4 +n p /2, x=1/2 arctg1/2 +kp /2, n, kÎZ.

Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:

1)  sin2x +cos2x = 1

2)  2tg3x-2tg2x+3tgx-3=0.

3)  cos2x= cosx –sinx .

4)  sin2x = cos4x/2 –sin4x/2.

5)  cos2x+ sin2x+ cosx–sinx =1.

Тема 5.

Решить уравнения

а) sinx + sin3x =4 cos3x

Решение.

2 sin2x cosx - 4 cos3x =0

4 sinx cos2x - 4 cos3x =0

4 cos2x ( sinx –cosx) =0

1) cosx = 0 2) sinx –cosx =0

x=p /2 +pn, nÎZ tgx -1 =0

tgx = 1

x=p /4 +kp, kÎZ.

Ответ: x=p /2 +pn, x=p /4 +kp, k, nÎZ

Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.

1)  sin3x + sin5x = sin4x.

2)  cos7x + sin8x =cos3x –sin 2x.

3)  cos9x – cos7x +cos3x - cosx =0.

4)  sin3x + sinx = 4sin3x.

5)  cos7x +sin22x = cos22x - cosx

Тема 6.

Решить уравнения.

а) 2 sin2x +cos4x = 0.

Решение. 1 – cos2x + cos4x = 0 .

1 + cos4x – cos2x = 0 .

2 cos22х – cos2x = 0

cos2x ( 2cos2x -1 )= 0

1) cos2x = 0 . 2) 2cos2x -1 = 0

2х=p/2 +pn, nÎZ cos2x =1/2

х = p/4 + n p/4, nÎZ 2x = + p/3 + 2kp, kÎZ.

х = + p/6 + kp, kÎZ. Ответ: х = p/4 + n p/4, х = + p/6 + kp, n, kÎZ.

6)  sin2x - sin22x + sin23x =1/2.

Решение. 2sin2x - 2sin22x + 2sin23x =1

1 – cos2x - 1 + cos4x+1 – cos6x =1

cos4x – cos2x – cos6x =0

cos4x – ( cos2x + cos6x ) =0

cos4x – 2cos4x cos2x =0

cos4x (1 – 2cos2x ) = 0

1) cos4x = 0 2) 1 – 2cos2x = 0

4x = p/2 +pn, nÎZ cos2x = 1/2

x = p/8 + np/4, nÎZ 2x = + p/3 + 2kp, kÎZ.

х = + p/6 + kp, kÎZ.

Ответ: x = p/8 + np/4, х = + p/6 + kp, k, nÎZ

Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.

1.  sin22х + sin23x + sin24x+ sin25x =2.

2.  6 sin2х + 2 sin22x = 5.

3.  sin25x = cos22x - 2 sin22x -1 .

4.  sin2x + sin22x + sin23x =1,5.

5.  cos2x + cos22х - cos23х - cos24х =0.

Тема 7.

Решить уравнения.

а) 3sinx + 4 cosx = 2

Решение.

a =3, b= 4, c=2, a2 + b2 =25, c2 =4, a2+b2 > c2, следовательно уравнение имеет решение.

5sin (х +j) = 2,

sin (х +j) = 2/5, откуда получим

х +j = (-1) n arcsin 2/5 +pn, nÎZ

х = (-1) n arcsin 2/5 +pn - j, nÎZ

j = arctg 4/ 3. По четырехзначной математической таблице найдем

arcsin 2/5 » 23 °35¢

j = arctg 4/ 3 » 53° 08¢

х = (-1) n 23 °35¢+180°n - 53° 08¢ , nÎZ

Ответ: х = (-1) n 23 °35¢+180°n - 53° 08¢ , nÎZ

б) 3sinx - 4 cosx = 5.

Решение.

a =3, b= - 4, c=5, 32 + 42 = 52 , т. е. a2+b2 = c2 ,значит уравнение имеет решение.

3* 2t/ (1+t2 ) - 4 *(1+t2 ) /(1+t2 ) = 5

6t-4 + 4t2 = 5 +5t,

t2 -6t +9 =0

(t-3)2 =0 t=3, tg x/2= 3,

x/2= arctg3 +pn, nÎZ

x= 2arctg3 +2pn, nÎZ

Ответ: x= 2arctg3 +2pn, nÎZ.

Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.

1.  5sinx – 12cosx =13.

2.  5sinx – cosx =5.

3.  4sinx + 5cosx =6.

4.  sin4x + cos4x =4.

5.  cosx – sinx =1.

Тема 8.

Решить уравнения.

а) 4 arctg(х2 -3х -3 )-p = 0.

Решение. arctg(х2 -3х -3) =p/4

Так как значения арктангенса находятся в промежутке (-p/2 ; p/2 ), то в этом случае из равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделанными замечаниями, получим:

х2 -3х -3 = 1

х2 -3х -4 = 0

т. е. х1= -1 и х2 =4.

Ответ: . х1= -1 , х2 =4.

б) 6 arcsin (х2 -6х + 8,5) =p

Решение. arcsin (х2 -6х + 8,5) =p/6,

х2 -6х + 8,5=0,5

х2 -6х + 8=0, откуда х1=2 и х2= 4.

Ответ: х1=2 , х2= 4.

Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.

1.  arcsin(2x -3) = p/2.

2.  arccos( x2 -2) =p.

3.  arctg(4x2 – 12x + 10) = p.

4.  4 arcctg(x2 – 9x + 15) - p=0.

5.  2 arcsinx = arcsin2x.

Контрольная работа №1.

Вариант 1.

1.  Решить уравнение 4sin2x + cosx – 3,5 =0.

2.  Решить уравнение 3cos2x = 4 sin xcos x - sin2x

3.  Решить уравнение tg23х - 2 sin23х =0.

4.  Решить уравнение cos5x + cos7x + cos6x =0

Вариант 2.

1.  Решить уравнение 2sin2x - 7cosx – 5 =0.

2.  Решить уравнение sin2x - sin xcos x – cos2x =1.

3.  Решить уравнение сtg2х - tg2х = 4 cos2x .

4.  Решить уравнение cos2x - cos8x + cos6x =1.

Контрольная работа №2.

Вариант 1.

1.  Решить уравнение cos2x + cos22х + cos23х + cos24х =2.

2.  Решить уравнение cosx – sinx =1,5.

3.  Решить уравнение Ö3sinx – 2cosx =4.

4.  Решить уравнение arcsin(x +1) = p/6.

Вариант 2.

1.  Решить уравнение cos2x + cos22х - cos23х - cos24х =0.

2.  Решить уравнение cosx – sinx =Ö2/2

3.  Решить уравнение sinx + cosx =Ö2

4.  Решить уравнение arccos( x2 - 5х+7) =0.

Литература:

1.  Бородуля уравнения и неравенства: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1989.

2.  и др. Алгебра и начала анализа. – М. Просвещение, 2005г.

3.  Башмаков и начала анализа. – Дрофа, 1996г.

4.  , , Шварцбурд материалы по алгебре и началам анализа 10 кл. М. Просвещение, 2003г.

5.  и др. Тригонометрия. М. Просвещение, 2005г.