Тема урока: «Общие методы решения уравнений при подготовке к ЕНТ»

Тема урока: «Общие методы решения уравнений при подготовке к ЕНТ».

Краткая аннотация урока:

Учебный предмет: Алгебра и начала анализа.

Уровень образования школьников: 11 класс

Раздел программы: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.

Место урока в изучении раздела: заключительный урок.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Форма проведения: традиционный урок.

Формы организации работы учащихся: индивидуальная, парная и групповая.

Цель урока:

- обобщение знаний учащихся об уравнениях и способах их решения в соответствии с требованиями ЕНТ.

- создать условия для осмысления учащимися своего отношения к вопросам темы;

- внедрять стратегии технологии критического мышления в процесс обучения.

Основная идея:

создать такую атмосферу учения, при которой учащиеся совместно с учителем активно работают, сознательно размышляют над процессом обучения, отслеживают, подтверждают или опровергают различные методы решения уравнений.

Образовательные результаты:

-умение работать с увеличивающимся и постоянно обновляющимся информационным потоком в разных областях знаний

-пользоваться различными способами интегрирования информации;

-задавать вопросы, самостоятельно формулировать гипотезу;

-решать проблемы;

-вырабатывать собственное мнение на основе осмысления различного опыта, идей и представлений;

-выражать свои мысли (устно и письменно) ясно, уверенно и корректно по отношению к окружающим;

-аргументировать свою точку зрения и учитывать точки зрения других;

-уметь самостоятельно заниматься своим обучением (академическая мобильность);

-брать на себя ответственность;

-участвовать в совместном принятии решения;

-выстраивать конструктивные взаимоотношения с другими людьми;

-умение сотрудничать и работать в группе и др.

Задачи урока:

- Использовать кластерную технологию для систематизации знаний;

- Развивать учебно-познавательные, коммуникативные компетенции;

- Воспитывать толерантность к чужому мнению.

Ход урока:

1 этап урока.Организационный.

а) проверка домашнего задания (у доски двое учащихся из тетради записывают решение д/з )

1.Упростить выражение: cos2t – cos4t + sin4t.

 Решение.  cos2 t – cos4 t + sin4 t = cos2 t∙ ( 1 - cos2 t) + sin4 t =cos2 t ∙ sin2 t + sin4 t = sin2 t (cos2 t + sin2 t) = sin2 t·1= sin2 t

2. Найти значение выражения tg 2 t + ctg2t, если  tgt + ctgt = 6

Решение: Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(tgt + ctgt)2 = 62

Вспомним формулу сокращённого умножения: Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)2=a2+2ab+b2 

Получим tg2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg2 t = 36

tg2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg2 t = 36

Так как произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно единице,

 значит  tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg2 t + ctg2 t = 34

Ответ: 34.

б)Одновременно с проверкой домашнего задания выполняются устные упражнения( слайд3)

в) Мозговой штурм:

Вступительное слово учителя. Мотивация необходимости повторения темы «Решение уравнений различных видов, способов их решения».

Начнем урок с «рассуждалок». Надеюсь, ребята, вы быстро поймете о чем пойдет речь на уроке. Итак:

-это такая штука, в которой что-то не знаешь, а потом вдруг узнаешь;

-не знаю, есть ли у него листья и стебли, но корни у него есть. Может один, а может больше. И только у некоторых нет и корней;

-иногда задачи решаются только с его помощью. Я не люблю их решать, потому что плохо умею это;

-в 7 классе они линейные, в 8-ом они квадратные, в 10-ом тригонометрические, а в 11-ом показательные и логарифмические.

Вопрос: вы догадались, о чем эти «рассуждалки»? Какие виды уравнений вы знаете? Различаются ли методы решения уравнений? Какой основной способ решения уравнений вы знаете?

2 этап урока. Актуализация опорных знаний. (парная и групповая работа)

Составление кластера по теме урока. ( На доске ватман. На нем запись «уравнения». Учащиеся перечисляют все виды уравнений и вносят их в кластер.)

Алгоритм составления кластера по теме урока.

Класс разбит на 3 группы :

1 группа (1 ряд)-линейные и квадратные уравнения

2 группа(2 ряд)-иррациональные и показательные уравнения

3 группа(3 ряд)-логарифмические и тригонометрические уравнения

Учитель задаёт вопросы для определения и группировки элементов будущего кластера.(слайд 4)

Каждая группа готовит информацию о двух видах уравнений. Ответы учащихся записывает на заранее подготовленных листах А-4 . Ребята в парах быстро формируют ответы на вопросы. Учащиеся свободно передвигаются по своему ряду. Обсуждают полученные ответы. Принимают решение кто будет отвечать на первый, второй вопросы от группы.)

1.Какие виды уравнений вы знаете?

2. Запишите общий вид каждого из названных уравнений .

(каждая группа описывает свой вид уравнений)

3. Запишите формулы для нахождения корней каждого из уравнений.

(каждая группа записывает формулы для своего вида уравнений)

4. Какую «полезную» информацию нужно помнить при решении каждого из этих уравнений? (каждая группа рассказывает про свой вид уравнений)

3 этап урока. Закрепление.

Задание 1.(слайд 5) Разделить уравнения из приложения 2 на две группы: трансцендентные и алгебраические.

(Трансцендентное уравнение, уравнение, содержащее трансцендентные функции :показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические, от неизвестного переменного.

Трансцендентный - лежащий за пределами опыта, недоступный познанию, непостижимый для разума (в идеалистической философии).

Не вычисляемый алгебраическим путем или выраженным алгебраически в математике).

Значение слова «Трансцендентный» по Ожегову:
Трансцендентный - находящийся за пределами мира.

Задание 2.(слайд 5 ) Парная работа. Взаимооценивание.

Провести классификацию уравнений (приложение 2) по виду, используя составленный кластер. На доске уравнения(слайд 6 ), на парте таблицы в которые вносят ответы( порядковый номер уравнения).

На доске проектируются правильные ответы и критерии оценки(слайд 7 ).

Оценка выставляется в оценочный лист (слайд 13).

Задание 3. Комментированное решение иррационального, показательного, логарифмического уравнений. (Оценивает учитель)

Теперь перейдем к решению иррациональных, показательных, логарифмических уравнений, взятых из сборников для подготовки к ЕНТ.
Уравнения написаны на карточках, которые лежат на столе учителя.

Пример 1(слайд 8)
Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения log4(x + 12)logx2 = 1

1) (- 4; - 2) 2) (5; 6) 3) (3; 5) 4) [-5; -3]

(показывается презентация о методах решения логарифмических уравнений (слайд 8))

log4(x + 12)logx2 = 1 log4(x + 12) = log4(x + 12) = log2x log4(x + 12) = log4x2 x + 12 = x2 x2 – x – 12=0 x1 = 4, 4О. Д.З. x2 = -3, -3 О. Д.З. 4(3; 5) Ответ: 4(3; 5), вариант (3)

О. Д.З. : x + 12 > 0 x >0 x ≠ 1 При решении использованы формулы: logba = logba = logba

Пример 2) Решите уравнение: = (слайд 9)

(показывается презентация о методах решения иррациональных уравнений (слайд 9))

1) 4, 2) 0, 3) 11, 4) 15,
Решение:

= х – 7
Возведем обе части уравнения в квадрат
(х – 11)(х +1) = (х – 7)2
х2 + х – 11х – 11 = х2 – 14х + 49
4х = 60
х = 15
Проверка: =

4 = 4

Ответ: 15 ,вариант4

Пример 3)(слайд 10) Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения

()2х()2х = 243
1) [0; -1] 2) [3; 4] 3) (-3; -2) 4) (2; 3)

(показывается презентация о методах решения показательных уравнений (слайд 10))

Решение:
()2х()2х = 243
()2х = 243
()2х = 35
32х = 35
2х = 5
х = 2,5, 2,5 (2; 3)
Ответ: 2,5 (2; 3), вариант (4)

Задание 4. Разноуровневая самостоятельная работа. Работа в парах ((слайд 11) приложение 3.)

Предлагается самостоятельная работа в трех вариантах различной сложности, с последующей взаимопроверкой по данным ответам :

А. Облегченный вариант, задания с 1,2,3,4,5,6

B. Средней трудности, задания с 7,8,9,10,11,12

С. Повышенной трудности, задания с 13,14,15,16,17,18.

Каждый ученик выбирает сам тот вариант, который по его силам.

Оценивается: А на «3», В на «4», С на «5».

Проверка разноуровневой самостоятельной работы (слайд 12).

4 этап урока. (приложение 4.)

Оценивание: (каждому ученику) (слайд 13)

Фамилия имя____________________________________

Оценка, которую я хочу получить на уроке____________

Этапы работы на уроке	Оценка
1. Устные вычисления
2. Теоретические сведения о решении уравнений. Работа в группах
3. Работа в парах.1-ая самостоятельная работа
4. Разноуровневая самостоятельная работа
6. Средний балл

Оценка, которую я получил(а) на уроке____________

5 этап урока. (приложение 4 (слайд 14) )

Итог урока:

1.Рефлексия. Заполни таблицу:

	Да	Нет	Не совсем
1. Сегодня я узнал, как определить вид уравнения
2. Я понял, как решать уравнение -иррациональное -показательное -логарифмическое
3. Теперь я смогу решить уравнение на ЕНТ
4. Сегодня на уроке мне было -интересно -трудно

2. Домашнее задание: П.20 стр.153 № 000 № 000

Приложение

Алгоритм составления кластера по теме урока

Учитель задаёт вопросы для определения и группировки элементов будущего кластера. Ответы каждая группа учащихся записывает на заранее подготовленных листах.

На экране:

1.Какие виды уравнений Вы знаете?

2. Запишите общий вид каждого из названных уравнений.

3. Запишите формулы для нахождения корней каждого из уравнений.

4. Какую «полезную» информацию нужно помнить при решении каждого из этих

уравнений.

Примерный кластер (расположение элементов может варьироваться):

 

Х= a≠0 в-любое D=b2-4ac X1= X2= x=an x=logab а>0 a≠1 x=ab a>0, a≠1 x=(-1)nargsina+πn, nϵZ x=argcosa+2πn, nϵZ
	Полезная информация: Для линейного уравнения, если а=0, то уравнение корней не имеет. Например, 0х=7. Либо х- любое число. Например, 0х=0. Для квадратного уравнения: если , то уравнение имеет два различных действительных корня; если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2; если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня: 3. Для иррационального уравнения: Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению, при этом могут появиться «лишние» корни. 4. Для показательного уравнения: Одним из самых простых приёмов решения показательных уравнений является метод сведения обеих частей уравнения к одному основанию. 5. Для логарифмических уравнений: Одним из самых простых приёмов решения логарифмических уравнений является использование определения логарифма .

Приложение

Определите вид уравнения, заполните таблицу:

1. log(14-x)=-2

2.

3. =4

4. 2x2-13x+15=0

5.

6. cos

7. -5x = 3

8. =11

9. 3x2+4x - 207 = 0

10. 9x-24 = 729

11. log5(2x+8) = -1

12. =

13. log15(3x-9) = log15(x-17)

14. 52x-4 =

15. x2 = 36x

16.

Вид уравнения	№ уравнения
Линейное уравнение
Квадратное уравнение
Иррациональное уравнение
Показательное уравнение
Логарифмическое уравнение
Тригонометрическое уравнение

ОТВЕТЫ К ТАБЛИЦЕ(на экране)

Вид уравнения	№ уравнения
Линейное уравнение	5;7
Квадратное уравнение	4;9;15
Иррациональное уравнение	3;8;12
Показательное уравнение	2;10;14;16
Логарифмическое уравнение	1;11;13
Тригонометрическое уравнение	6

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Оценка 5 - все ответы верные

Оценка 4 - 2 ошибки

Оценка 3 - 3 или 4 ошибки

Оценка 2 - 6 и более ошибок

Приложение

Дифференцированное решение уравнений по уровням.

Уровень А, задания с 1,2,3,4,5,6- оценка 3

Уровень Б, задания с 7,8,9,10,11,12- оценка 4

Уровень С, задания с 13,14,15,16,17,18- оценка 5

1. log (x+7)= -2 2. = 5 3.

4. log7(x-6) = 2 5. 6. 54-x=25

7. log5(x-4)=2 8. 9.

10. log3(2x-1)=2 11. 12. 7x-2=49

13. log5(3x+1)=2 14. 15.

16. log5(x+1)=log5(4x-5) 17. 18. 32-2x=81

ОТВЕТЫ:

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. 42	2. 5	3. 8
4. 55	5. -8	6. 2
7. 29	8. -1	9. 4
10. 5	11. -18	12. 4
13. 8	14. 6,-6	15. 3
16. 2	17. НЕТ РЕШЕНИЙ	18. -1

(приложение 4 )

Оценивание:

Фамилия имя___________________________________________

Оценка, которую я хочу получить на уроке_________________

Этапы работы на уроке	Оценка
1. Устные вычисления
2. Теоретические сведения о решении уравнений
3. Работа в парах. 1-ая самостоятельная работа
4.Разноуровневая самостоятельная работа
6. Средний балл

Оценка, которую я получил на уроке_________________

Рефлексия. Заполни таблицу:

	Да	Нет	Не совсем
1. Сегодня я узнал, как определить вид уравнения
2. Я понял, как решать уравнение -иррациональное -показательное -логарифмическое
3. Теперь я смогу решить уравнение на ЕНТ
4. Сегодня на уроке мне было -интересно -трудно

Домашнее задание: П.20 стр.153 № 000 № 000