Задача № 5.138

Задача № 5.138.

Найти возможные значения энергии частицы , находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме при и , для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией , зависящей только от радиуса .

Указание: При решении уравнения Шредингера воспользоваться подстановкой .

Решение:

Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:

Рисунок 1

Потенциальная энергия:

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

Так как потенциальная яма в нашем случае сферически-симметричная, то будем использовать оператор Лапласа в сферических координат. Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид:

(2)

В нашем случае потенциальная яма сферически-симметричная и пси-функция не зависит от угловых координат и . Поэтому будем использовать только радиальную составляющую оператора Лапласа:

(3)

Уравнение Шредингера в этом случае примет вид:

(4)

или в виде:

(5)

где . Для решения дифференциального уравнения (4) воспользуемся подстановкой . В этом случае:

(6)

Тогда дифференциальное уравнение (4) примет вид:

(7)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(8)

В этом случае пси-функции собственных состояний имеют вид:

(9)

Используя условие непрерывности пси-функции, получим:

(10)

Учитывая, что , найдём энергетический спектр частицы в потенциальной яме заданного вида:

(11)

Ответ: Энергетический спектр частицы в потенциальной яме заданного вида:

.