Лекция №1 Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка

Лекция №1 Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

Квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида

, (1)

где - функции, определенные в некоторой области переменных . Для решения уравнения (1) нужно составить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

,

интегрируя которую находим n независимых первых интегралов:

(2)

Общий интеграл уравнения (1) записывают в виде

,

где - произвольная дифференцируемая функция.

В частности, если u входит только в один из первых интегралов (2), например в последний, то общее решение можно написать в виде:

, (3)

где F - произвольная дифференцируемая функция. Разрешив равенство (3) относительно u, получим общее решение уравнения (1) в явном виде.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Составляем систему дифференциальных уравнений

.

Ясно, что одним из первых интегралов этой системы будет . Уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, общее решение которого имеет вид . Следовательно, еще один первый интеграл системы имеет вид . Поскольку найденные первые интегралы являются линейно независимыми, то общий интеграл данного уравнения имеет вид

.

Разрешив последнее уравнение относительно u, получим общее решение в виде,

,

где f - произвольная дифференцируемая функция.

Чтобы найти поверхность , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

(4)

и проходящую через данную линию

, (5)

надо найти два независимых первых интеграла системы (характеристической)

. (6)

Поскольку вдоль каждой интегральной кривой характеристической системы функции постоянны, а каждая интегральная кривая этой системы пересекается с заданной линией L, то

исключая из этой системы t, находим зависимость , тем самым на интегральной кривой C справедливо соотношение

. (7)

В силу произвольности интегральной кривой соотношение (7) является представлением решения поставленной задачи.

Пример 2. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

и проходящую через данную линию .

Решение.

Первые независимые интегралы системы

имеют вид . Исключив переменные x, y,u из соотношений

,

находим связь между интегралами через :

.

Так как вдоль каждой интегральной кривой , то тем самым получаем уравнение искомой поверхности

.