Перестановки

Перестановки

1. Среди перестановок числа 1 234 567 сколько таких, кото­рые начинаются с 123?

2. Среди перестановок числа 2 348 569 сколько таких, кото­рые начинаются с цифр 3, 4, 9, причем эти цифры расположе­ны в любом порядке?

3. Среди перестановок числа 56384 сколько таких, где циф­ры 6 и 8 расположены рядом?

4. Среди перестановок числа 32891 сколько таких, которые начинаются с рядом стоящих цифр 8 и 1?

5. На книжной полке помещается 25 томов. Сколькими раз­личными способами их можно расставить, чтобы при этом 5-й и б-й тома стояли рядом?

6. За одним столом надо рассадить 5 юношей и 5 девушек так, чтобы не было двух рядом сидящих юношей и двух рядом сидящих девушек. Сколькими различными способами это можно сделать?

7. На книжной полке помещается 25 томов. Сколькими раз­личными способами их можно расставить, чтобы при этом 5-й и б-й тома не стояли рядом?

8. Сколько всевозможных пятизначных чисел можно соста­вить из цифр О, 1, 2, 3, 4, не повторяя цифры в числах?

9. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить из цифр О, 2, 4, 5, не повторяя цифры в числах?

10. Какое наибольшее число предметов может находиться в не котором ящике, если известно, что число всех перестановок из этих предметов не превосходит 1000?

11. Какое наименьшее число предметов может находиться в некоторой емкости, если известно, что число перестановок из этих предметов не меньше 500?

12. Бабушка купила 2 яблока, 3 груши и 5 апельсинов. Десять дней подряд она каждый день будет предлагать внуку по од­ному фрукту. Сколькими различными способами она может это сделать?

13. Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв слова «математика»? Ответ обоснуйте.

14. На один ряд, в котором 7 стульев, рассаживаются 4 юноши и 3 девушки. Сколькими различными способами они могут сесть, чтобы не все юноши оказались сидящими рядом?

15. На один ряд, в котором 9 стульев, рассаживаются 5 юно­шей и 4 девушки. Сколькими различными способами они мо­гут сесть, чтобы не все девушки оказались сидящими рядом?

16. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, не кратные 5 и не содержащие одинаковых цифр. Сколько существует таких чисел?

17. Сколькими способами можно расставить белые фигуры: 2 коня, 2 слона, 2 ладьи, 1 ферзь и 1 король на первой линии шахматной доски?

18. На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Сочетания

1. Сколько различных обыкновенных дробей можно соста­вить из чисел 3,5, 7, 11, 13, 15? Ответ обоснуйте.

2. Из ящика, где находится 15 разных шаров, требуется вы­нуть три шара. Определите число различных комбинаций та­ких троек

3. В одиннадцатом классе 21 человек. Они обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было роз­дано?

4. На одной стороне треугольника взято 5 точек, на дру­гой - 8 точек и на третьей - 4 точки, причем ни одна из взя­тых точек не совпадает с вершиной этого треугольника. Сколько различных треугольников можно нарисовать с вер­шинами в этих точках? Ответ обоснуйте.

5. Сколькими различными способами можно выбрать трех дежурных из класса в 25 человек? Ответ обоснуйте.

6. Из скольких предметов можно последовательно составить 210 различных наборов по 2 предмета в каждом?

7. Сколько различных диагоналей можно провести в выпуклом десятиугольнике? (11-угольнике, 12-угольнике)

8. Из 1О юношей, 8 девушек и 5 мальчиков нужно составить шахматную команду, в которую входили бы 5 юношей, 3 девушки и 1 мальчик. Сколькими различными способами это можно сделать?

9. Сколькими различными способами класс в 20 учеников можно разделить на 3 группы так, чтобы в одной из них было 5 учеников, в другой - 7 учеников, а в третьей - 8 учеников?

10. Для почетного караула могут быть приглашены офицеры из различных родов войск - пехоты, авиации, пограничных войск, артиллерии, морского флота и ракетных войск. Сколь­кими различными способами можно избрать состав почетного караула в количестве 8 человек? Ответ обоснуйте.

11. В продажу поступили фрукты 8 разных видов. Сколькими различными способами можно образовать набор из 10 фрук­тов?

12. Сколько различных окружностей можно провести через 12 точек, если никакие четыре точки не лежат на одной ок­ружности и никакие три не лежат на одной прямой?

13. На плоскости дано 1О точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных треугольников можно получить, соединяя эти точки?

14. Сколькими различными способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 подгруппы так, чтобы в одной груп­пе было 8 учащихся, а в другой - 9?

15. В подразделении 70 солдат и 6 офицеров. Сколькими раз­личными способами можно выделить караул, состоящий из четырех солдат и одного офицера? Ответ обоснуйте.

16. В хирургическом отделении работает 50 врачей-хирургов. Скольки­ми различными способами из них можно образовать бригаду, состоящую из одного хирурга, который непосредственно опе­рирует, и трех хирургов-ассистентов?

17. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в 4 одинаковых конвертах так, чтобы в каждом конверте лежало по 7 открыток?

18. На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

19. На окружности отмечено 10 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

20. На лугу пасутся кони: 5 белых, 4 рыжих и 6 вороных. Сколькими способами можно выбрать:

А) трех коней одинаковой масти;

Б) трех коней разных мастей;

В) двух коней так, чтобы среди них не было белых;

Г) трех коней так, чтобы среди них был хотя бы один черный?

21. На окружности отмечено 10 точек: 5 красных, 3 белые и 2 синие. Сколько существует треугольников …

А) все вершины которых разного цвета;

Б) имеющих две вершины одного цвета;

В) у которых нет белой вершины;

Г) у которых есть хотя бы одна белая вершина?

22. Много раз бросают три игральных кубика. Какая сумма очков будет выпадать чаще: 9 или 10?

23. В обыкновенном наборе домино значения, указанные на косточках, изменяются от 0 до 6. Почему в наборе домино 28 косточек?

24. Сколько косточек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 12?

25. Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

26. Сколько составных чисел можно составить из двух про­стых делителей числа 8820?

27. Сколько составных чисел можно составить из трех простых делителей числа 2310?

Размещения

1. Сколькими различными способами из собрания в 30 чело­век можно выбрать президиум в составе председателя собра­ния, его заместителя и секретаря? Ответ обоснуйте.

2. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо из­брать председателя кружка, его заместителя, редактора стен­газеты и секретаря. Сколькими различными способами можно образовать эту четверку? Ответ обоснуйте.

3. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не по­вторяется? Ответ обоснуйте.

5. Сколько различных пятизначных чисел можно составить, из цифр 1,2,3,4,5,6, чтобы цифры не повторялись и первая и последняя цифры были четными?

6. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были нечетными

7. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, не повторяя цифры в числе.

8. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если цифры в каждом числе не повторяются?

9. Сколько различных трехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в каждом числе не повторяются?

10. В чемпионате страны по футболу принимает участие 16 команд. Допуская, что каждая команда способна занять первое место, найдите число способов распределения трех первых мест.

11. В классе 32 ученика. Из низ 6 человек надо посадить за первые три стола. Сколькими различными способами это можно сделать?

12. Сколько различных четырехцветных флажков можно сде­лать, если использовать ткань красного, белого, синего и зелено­го цветов?

13. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр О, 2, 3, 5, 9, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

14. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр О, 1, 4, 5, 6, 8, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

15. Из 10 различных книг выбирают 4 для посылки по 4 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

16. В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов. Сколькими способами могут распреде­ляться места, занятые в турнире школьниками, если никакие два участника не набрали одинаковое количе­ство очков.

17. Имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивоч­ной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев?

18. Сколькими способами можно разделить 5 различ­ных конфет между тремя детьми?

19. Сколько шестизначных номеров можно составить из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

20. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если любую из них в каждом числе использовать не более одного раза?

21. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

22. Каждую клетку квадратной таблицы 2×2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?