Дискретный аналог оптимизационного метода для решения двумерной обратной задачи геоэлектрики

, .

Дискретный аналог оптимизационного метода для решения двумерной обратной задачи геоэлектрики.

(1г. Астана, Евразийский национальный университет им. , 2г. Алматы, Институт магистратуры и докторантуры PhD Казахского национального педагогического университета имени Абая)

Бұл мақалада екіөлшемді геоэлектрика теңдеуінің тура және кері есептері қарастырылады

В работе рассматривается математическая модель двумерной обратной задачи для уравнения геоэлектрики в линеаризованной постановке. Для решения обратных задач применен оптимизационный метод. Выписаны градиенты функционалов и соответствующие им согласовано-сопряженные разностные задачи. Построены консервативные разностные схемы для решения прямой задачи. Проведены серии расчетов.

1.  Постановки задач

Рассмотрим постановки двумерной обратной задачи геоэлектрики [1], об определении из соотношений:

(1)

(2)

, (3)

по заданной дополнительной информации:

(4)

Здесь: компонента электромагнитного поля, - диэлектрическая проницаемость, считаем, что проводимость и магнитная проницаемость µ - известны.

Предположим что , имеем следующую структуру:

. (5)

Полагаем, что функции удовлетворяют следующим условиям [1]:

1.  ;

2.  Существуют константы М1, М2 и М3 такие что при всех имеет место: ; (6)

3.  Функция отлична от нуля при ,

Где - фиксированные числа. .

Тогда в силу этих предположении, время пробега на глубину h, равно и граница

Проведем линеаризацию, представим решение граничной задачи (1)-(3) в виде:

(7)

Здесь: есть решение следующей граничной задачи:

, (8)

(9)

- фиксированное значение переменной.

Пренебрегая членом , получаем для определения задачу:

, (10)

(11)

(12)

Здесь: - граница области для задачи.

Дополнительная информация для задачи (10)-(12) об определении и функции , примем в виде:

, (13)

где:

В качестве дополнительной информации для задачи (8)-(9), об определении, и функции , примем

(14)

Таким образом, решение обратной задачи (1)-(4), об определении и функции состоит из следующих этапов:

1.  Решаем обратную задачу (обратная задача 1), об определении, и функции на глубину h из соотношений (8)-(9) по известной дополнительной информации (14).

2.  Решаем прямую задачу (8)-(9) на глубину h и определяем (входит в правую часть уравнения (10)).

Решаем обратную задачу (обратная задача 2), об определении из соотношений (10)-(12) по известным уже функции, и дополнительной информации .

2. Решение обратной задачи 1.

Конкретизируем постановку обратной задачи. Найти и функцию из соотношений:

(15)

(16)

(17)

по известной дополнительной информации

(18)

Для решения обратных задач применяем оптимизационный метод [2].

Пусть q(z) – приближенное решение обратной задачи (15)-(18).

Рассмотрим квадратичный функционал

(19)

Приближение , определим методом наискорейшего спуска [3]:

Здесь: - коэффициент спуска, а градиент функционала (19), определяется из соотношения:

где: - есть решение соответствующей сопряженной задачи:

(20)

(21)

(22)

2.1. Численное решение прямой и обратной задачи

Область - непрерывно аргумента заменим сеткой ,

Функцию, заменим сеточной функцией и напишем неявную разностную схему:

(23)

(24)

(25)

Разностная схема (23)-(25) реализуется методом прогонки [4].

Аппроксимируем квадратичный функционал (19), формулой прямоугольников

(26)

Градиент функционала аппроксимируем формулой

(27)

Здесь - есть решение согласованно - сопряженной разностной задачи:

(28)

(29)

(30)

Разностную схему (28)-(30), реализуем методом прогонки.

3.Решение обратной задачи 2

Конкретизируем постановку обратной задачи 2. Найти и функцию из соотношений:

(31)

(32)

(33)

По известной дополнительной информации

(34)

А также, по уже известным вычислениям обратной задачи 1, имеем

Пусть – есть приближенное решение обратной задачи (31)-(34), рассмотрим функционал:

(35)

Используем как и выше, итерационный метод:

Где градиент функционала (35), определяется по формуле:

Здесь функция считается уже вычисленной на предыдущем этапе, а есть решение следующей сопряженной задачи:

(36)

(37)

(38)

(39)

Для численного решения прямой задачи (31)-(33) и вспомогательной задачи (36)-(39) используем схему расщепления [4].

Литература.

1. , . Обратная задача геоэлектрики. М.: Наука, 1991. - 303с.

2. , Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач НГУ, Новосибирск, 2001. - 315 с.

3. . Методы решения экстремальных задач, М.: Наука, 1981. – 400 с.

4. . Теория разностных схем. М. Наука. 1975.

5. Шолпанбаев обратная задача подповерхностной радиолокации в дискретной постановке // Вестник КазНПУ им. Абая, серия «Физико-математические науки», №4(32), С.173-178, 2010г.

6. Об одной обратной задаче электромагнитного каротажа, Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» Новосибирск, 21.-29.09.10

7. , , Двумерная обратная задача геоэлектрики II МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «Информационно-инновационные технологии: интеграция науки, образования и бизнеса», посвященная 20-летию Независимости Республики Казахстан. Алматы, Казахстан, 1-2 декабря 2011 года, стр 361-366.