УДК 538.9
МЕТОД СЕТКИ ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ АТОМОВ
Кафедра теоретической физики КемГУ
*****@***ru
Исследование и разработка новых вычислительных методов и подходов продолжает оставаться одним из важных направлений в области изучения свойств многоэлектронных систем. В настоящее время сеточный метод Лагранжа (LM) приобретает все большую популярность, как удобный и точный метод решения многих квантово-механических задач [1,2]. Метод LM, как и его близкий аналог DVR [3], является приближенным вариационным методом, который основан на представлении собственных функций в виде линейной комбинации функций Лагранжа 
(1)
ассоциированных с гауссовой схемой интегрирования 
на интервале 
(2)
и удовлетворяющих соотношению:
. (3)
Применение стандартной процедуры к уравнению Шредингера
(4)
приводит к матричному уравнению
(5)
где матрица потенциала, благодаря (2) и (3), имеет диагональный вид 
. В настоящей работе схема (1)-(5) расширена для самосогласованных расчетов электронной структуры многоэлектронных атомов в рамках теории функционала плотности. В этом случае уравнение для определения радиальной функции имеет вид:
(6)
где 
- электронная плотность. Базисные функции, использованные при решении (6) имеют вид
(7)
где 
- полином Лагерра и 
, при этом гауссова схема интегрирования (2) является точной центробежного потенциала. Некоторую особенность представляет решение уравнение Пуассона для потенциала 
. Как показали предварительные расчеты, аналитическое вычисление кулоновского потенциала, что допустимо в силу (7), является очень неустойчивым из-за погрешностей округления, поэтому при самосогласованном решении (6) уравнение Пуассона удобнее сначала интегрировать численно на дополнительной неравномерной сетке, а значения 
далее определять с помощью сплайн-интерполяции.
В настоящей работе самосогласованный метод LM был реализован в виде компьютерной программы и выполнены расчеты для большого числа атомов (Z=2-30) в полноэлектронном и псевдопотенциальном вариантах. На первом этапе вычислений рассматривались одноэлектронные атомы (атом водорода и многозарядные ионы более тяжелых атомов). Как видно из результатов, представленных в таблице, точность метода LM составляет порядка 10-13 а. е., что находится в согласии с выводами работ [1-3]. В случае многоэлектронных атомов, как видно из сравнения с результатами вычислений стандартным методом интегрирования скалярно-реляти-вистского радиального уравнения на логарифмической сетке, самосогласованный метод LM также имеет хорошую точность, особенно для легких атомов (N). Для более тяжелых атомов отличия энергий остовных состояний несколько больше, что можно объяснить заметным влиянием релятивистских эффектов, которые в настоящей численной реализации самосогласованного метода LM пока не учитывались.
Атом водорода | Многоэлектронные атомы | ||||||
Орбитальное квантовое число (N=100) | Точное решение, (а. е) | Численное решение методом Лагранжа, (а. е) | Атом | Кон фигу рация | Численное решение методом конечных разностей, (эВ) | Mетод LM, (эВ) | Метод LM для псевдопотенциала (эВ) |
l=0 | -0,4999999999999 -0,1250000000000 -0,0555555555555 | -0,500000000000000 -0,125000000000000 -0,055555555555555 | N | 1s2 2s2 2p3 | -381.29913 -18.399246 -7.2473677 | -381.46693 -18.420487 -7.2435069 | -18.425111 -7.2203002 |
l=2 | -0,0555555555555 -0,0312500000000 -0,0200000000000 | -0,055555555555555 -0,031250000000000 -0,020000000000000 | Zn | 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 | -9387.3549 -1130.1604 -997.29836 -124.43329 -82.235935 -6.0659108 -10.847711 | -9506.9054 -1156.1592 -1003.4959 -128.62130 -83.264756 -6.2258993 -10.423695 | -6.2399198 -10.179678 |
Литература
1. D. Baye, K. D. Sen, Phys. Rev. B, 78, 026701 (2008)
2. F. Buisseret, C. Semay, Phys. Rev. E, 75, 026705 (2007)
3. Barry I. Scheider, N. Nygaard, Phys. Rev. E 70, 056760 (2004)
Научный руководитель – д. ф.-м. н., профессор Гордиенко А.Б.
