Зачетная работа по теме «Метод координат в пространстве» 11 класс
Вариант№1
1.Точки А(2;0;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В
(0;0;2) являются вершинами куба 
.
А) Найдите координаты точек 
.
Б) Найдите координаты векторов 
.
В) Запишите разложение вектора 
по координатным векторам 
.
2. Точки А(-1;0;1), В(5;0;1), С(
, D(
являются вершинами пирамиды DABC.
А) Докажите, что пирамида правильная.
Б) Найдите координаты основания апофемы пирамиды, лежащей в грани DAC.
3. Длина ребра куба равна 2. Вычислите скалярное произведение векторов:
а) 
; б) 
.
4. Точки А(3;-1;1), В(1;-1;3), С(3;1;-1) являются вершинами треугольника. Найдите угол АВС.
5. Вычислите угол между векторами 
, где 
- единичные взаимно перпендикулярные векторы.
6. ABCD – правильный тетраэдр. Упростите выражение 
.
7. Дан куб . Найдите угол между прямыми 
и 
, где К-середина 
.
Зачетная работа по теме «Метод координат в пространстве» 11 класс
Вариант№2
1. Точки М(2;0;0), Н(0;0;0), Р(0;4;0), Н(0;0;4) являются вершинами прямоугольного параллелепипеда 
.
А) Найдите координаты точек М и К.
Б) Найдите координаты векторов 
.
В) Запишите разложение вектора 
по координатным векторам .
2. Точки 
являются вершинами тетраэдра DABC.
А) Докажите, что данный тетраэдр правильный.
Б) Найдите координаты основания биссектрисы DM грани DAC.
3. В правильной четырехугольной пирамиде EABCD все ребра равны 2, О - точка пересечения диагоналей основания. Вычислите скалярное произведение векторов:
А) 
; б) 
.
4. Даны вершины треугольника А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1). Найдите угол треугольника при вершине А.
5. Вычислите угол между векторами 
, где 
единичные взаимно перпендикулярные векторы.
6. В пирамиде HPMKE все ребра равны. Упростите выражение (РН-МК)(РН+МК)+НК(МК+КЕ).
7. Дан куб . Найдите угол между прямыми 
и 
.
Зачетная работа по теме «Метод координат в пространстве» 11 класс
Вариант№3
1. Точки А(2;0;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В(0;0;2) являются вершинами призмы 
, К - середина отрезка 
.
А) найдите координаты точек С и К.
Б) Найдите координаты векторов АА
.
В) Запишите разложение вектора 
по координатным векторам
.
2. Точки A(4;0;1),B(4;4;1), C(0;0;5), D(-1;2;0) являются вершинами пирамиды DABC.
А) Докажите, что все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.
Б) Определите вид треугольника АВС. Найдите координаты основания высоты пирамиды.
3. Длина ребра куба равна 
. Вычислите скалярное произведение векторов: а) 
; б) 
.
4. Точки A(1;1;5), B(4;7;5), C(8;5;5), D(5;-1;5) являются вершинами прямоугольника ABCD. Найдите больший угол между диагоналями прямоугольника.
5. Угол между векторами 
и 
равен углу между векторами 
и и равен 60°, 
. Вычислите скалярное произведение 
, если 
.
6. В тетраэдре BACD ÐBDC=ÐBDA=ÐDCA=90°, BC=3, AC=4. Найдите сумму 
.
7. Дан прямоугольный параллелепипед , основанием которого служит квадрат со стороной а. Найдите угол между прямыми 
и 
, если боковое ребро равно 2а.
Зачетная работа по теме «Метод координат в пространстве» 11 класс
Вариант№4
1. Точки М(0;0;0), Р(4;4;0), Н(0;4;0), М(0;0;6) Являются вершинами призмы 
, Е - середина отрезка 
.
А) Найдите координаты точек Р и Е.
Б) Найдите координаты векторов 
.
В) Запишите разложение вектора 
по координатным векторам .
2. В основании пирамиды с вершиной Е(-1;2;-1) лежит ромб. Точки М(0;0;4), Н(0;4;4), К(4;4;0), Р(4;0;0) являются основаниями высот боковых граней.
А) Докажите, что все боковые грани пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.
Б) Найдите координаты основания высоты пирамиды.
3. В правильном тетраэдре DABC точки M, N, K, P – середины ребер DC, BC, AB, DB соответственно. Ребро тетраэдра равно 4. Вычислите скалярное произведение векторов: а) 
; б) 
.
4.Точки А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;4;-1), D(1;-7;-1) являются вершинами ромба. Найдите острый угол ромба.
5. Векторы 
попарно перпендикулярны. Вычислите скалярное произведение 
, если 
.
6. В пирамиде РНКМ ребро РМ является высотой, ÐРКН=90°. Найдите сумму 
, если МК=6, КН=8.
7. В прямоугольном параллелепипеде, ребра AB, AD, AA соответственно равны 
. Найдите угол между прямыми BD и АВ.
