6. Эффективная граница множества инвестиционых возможностей при разрешенных коротких
продажах ценных бумаг
Предположим, что на рынке имеются ценные бумаги n видов с ожидаемыми доходностями 
, ковариационная матрица доходностей которых имеет следующий вид:
.
Будем считать, что ранг матрицы 
равен количеству видов этих ценных бумаг, т. е. 
, а среди чисел есть несовпадающие.
В силу теоремы 5.1 эффективная граница 
совпадает с множеством точек вида 
, где 
ожидаемая доходность допустимого портфеля с наименьшим риском, а 
наименьшее стандартное отклонение доходности допустимых портфелей с ожидаемой доходностью, равной 
.
Для отыскания портфеля с наименьшим стандартным отклонением доходности при ожидаемой доходности, равной , имеем следующую задачу выпуклого программирования:
| (6.1) |
| (6.2) (6.3) |
Замечание. Так как среди чисел имеются несовпадающие, то система линейных уравнений (6.2) – (6.3) всегда имеет решение. Из условия 
следует, что квадратичная функция 
является положительно определенной. Следовательно, можно утверждать, что задача (6.1) – (6.3) имеет и притом единственное решение при любом значении .
Теорема 6.1. Существуют числа 
, не зависящие от , такие, что вектор 
является оптимальным решением задачи (6.1) – (6.3).
▲ Функцию Лагранжа для решения задачи (6.1) – (6.3) можно записать в следующем виде: 
.
Поэтому для оптимальности решения задачи (6.1) – (6.3) необходимо и достаточно соблюдение следующих условий:
| (6.4) |
Так как (6.1) – (6.3) всегда имеет и притом единственное оптимальное решение, то система линейных уравнений (6.4) имеет единственное решение.
Следовательно, расширенную матрицу этой системы уравнений (табл.6.1) с помощью метода Гаусса можно преобразовать к виду, приведенному в табл.6.2.
Числа зависят только от элементов матрицы и ожидаемых доходностей . Следовательно, каково бы ни было
|
| . . . |
|
|
| Табл. 6.1 |
|
| . . . |
| 1 |
| 0 |
|
| . . . |
| 1 |
| 0 |
. . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
|
| . . . |
| 1 |
| 0 |
1 | 1 | . . . | 1 | 0 | 0 | 1 |
|
| . . . |
| 0 | 0 |
|
|
| . . . |
|
|
| Табл. 6.2 |
1 | 0 | . . . | 0 | 0 | 0 |
|
0 | 1 | . . . | 0 | 0 | 0 |
|
. . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
0 | 0 | . . . | 1 | 0 | 0 |
|
0 | 0 | . . . | 0 | 1 | 0 |
|
0 | 0 | . . . | 0 | 0 | 1 |
|
число , оптимальное решение задачи (6.1) – (6.3) имеет вид
.■
Следствие 1. Множество инвестиционных возможностей 
определяется уравнением вида 
, где 
и 
.
▲ Так как оптимальное решение задачи (6.1) – (6.3) имеет вид , то
, где
Из положительной определенности квадратичной функции
следует, что и .■
Следствие 2. Эффективная граница множества инвестиционных возможностей при разрешенных коротких продажах ценных бумаг определяется уравнением вида 
, где 
.
▲ Множество определяется уравнением .
Наименьшее значение функции 
достигается при 
. Очевидно, что это ожидаемая доходность допустимого портфеля с наименьшим риском. Тогда по теореме 6.1 эффективная граница задается условиями , .
На рис. 6.1 изображены множества и эффективная граница .■
Теорема 6.2. Если портфели 
и 
определяют инвестиционные возможности из множества , то M 
, где M
– множество инвестиционных возможностей, порожденное портфелями и .
▲ Так как портфели и определяют инвестиционные возможности из множества , то по теореме 6.1 сушествуют числа 
такие, что 
Рис. 6.1
Любая инвестиционная возможность из множества M определяется вектором 
, где 
. Так как 
то этот вектор определяет инвестиционную возможность из множества . Следовательно, M 
.
С другой стороны, любая инвестиционная возможность из множества определяется вектором вида
.
Так как 
, а 
, то вектор 
определяет инвестиционную возможность из множества M. Значит 
M . Тем самым доказано, что M.■
Пример 6.1. Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 10, 15 и 19%, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
.
Найдем эффективную границу 
множества инвестиционных возможностей при данных ценных бумагах.
▲ Вначале определим портфель с наименьшим стандартным отклонением доходности при ожидаемой доходности, равной . Исходная система уравнений приведена в табл. 6.3, а ее решение в табл. 6.4. Следовательно, 
.
Тогда 
(45,4545r2–10,9091r+0,7752)1/2 .
Таким образом, множество определяется уравнением
σ=(45,4545r2–10,9091r+0,7752)1/2
|
|
|
|
| Табл.6.3 |
1 | -0,4 | 0,4 | 1 | 0,1 | 0 |
-0,4 | 0,8 | 0,2 | 1 | 0,15 | 0 |
0,4 | 0,2 | 0,8 | 1 | 0,19 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
0,1 | 0,15 | 0,19 | 0 | 0 | r |
|
|
|
|
| Табл. 6.4 |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | * |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | * |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|
0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
|
Так как 
0,1200, то эффективная граница задается уравнением σ=(45,4545r2–10,9091r+0,7752)1/2 при r≥0,1200.
Эффективная граница изображена на рис. 6.2.■
Г(Ω3)
0,19
0,15
r* = 0,12
0,10 {σmin(r),r}
0j,3474 0,7752 σ
Рис.6.2
З А Д А Ч И
6.1. Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями: 
, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
.
Найти множество портфелей, определяющих эффективную границу . Записать уравнение эффективной границы и изобразить ее на рисунке.
6.2. Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 
, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
.
Найти множество портфелей, определяющих эффективную границу . Записать уравнение эффективной границы и изобразить ее на рисунке.
